1、熱點專題八 能力型創新問題【考點聚焦】能力型創新問題已成為近年中考中較難題或壓軸題的主要方向，主要有以下四種類型：【熱點透視】熱點1：探索性問題探索是人類認識客觀世界過程中最生動、最活躍的思維活動，探索性問題存在于一切學科領域之中，在數學中則更為普遍初中數學中的“探索發現”型試題是指命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明的命題，它不像傳統的解答題或證明題，在條件和結論給出的情景中只需進行由因導果或由果索因的工作，從而定格于“條件演繹結論”這樣一個封閉的模式之中，而是必須利用題設大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索不明確的結論；或由結論去探索未給予的條件

2、；或去探索存在的各種可能性以及發現所形成的客觀規律例1（2008荊門）將兩塊全等的含角的三角尺如圖1擺放在一起，設較短直角邊長為1（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：_（2）如圖2，將RtBCD沿射線BD方向平移到的位置，四邊形是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：_（3）在RtBCD沿射線BD方向平移的過程中，當點B的移動距離為_時，四邊形為矩形，其理由是_；當點B的移動距離為_時，四邊形為菱形，其理由是_（圖3、圖4用于探究）解：（1）是，此時平行且等于CD，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（2）是，在平移過程中，始終保持平行且等于，一組對邊平行且相等的四邊形是平行

3、四邊形（3），此時，有一個角是直角的平行四邊形是矩形 ，此時點與點重合，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形點評：條件探索型結論明確，而需探索發現使結論成立的條件的題目例2（2008郴州）如圖5，矩形紙片的邊長分別為a、b（）將紙片任意翻折（如圖6），折痕為PQ（P在BC上），使頂點C落在四邊形APCD內一點，的延長線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻折，使A落在直線PM上一點，且所在直線與PM所在直線重合（如圖7）折痕為MN（1）猜想兩折痕之間的位置關系，并加以證明（2）若的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后，兩折痕間的距離有何變化？請說明理由（3）若的角度在每次翻折的過程中都為（如

4、圖8），每次翻折后，非重疊部分的四邊形，及四邊形的周長與a、b有何關系，為什么？解：（1） 四邊形是矩形，且在直線上，則有，由翻折可得：，故（2）兩折痕，間的距離不變，過作，則，的角度不變，的角度也不變，則所有的都是平行的又，所有的都是相等的，又，故的長不變（3）當時，四邊形是正方形，四邊形是矩形，矩形的周長為同理可得矩形的周長為，所以兩個四邊形的周長都為，與無關點評：結論探索型給定條件但無明確結論或結論不惟一，而需探索發現與之相應的結論的題目例3（2008岳陽）如圖10，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點，頂點為D（1）求A、B、C的坐標（2）把ABC繞AB的中點M旋轉，得到四邊形AEBC

5、：求E點坐標試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由（3）試探索：在直線BC上是否存在一點P，使得PAD的周長最小，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1），令，得令，即， 三點的坐標分別為，（2）；四邊形是矩形理由：四邊形是平行四邊形，且（3）存在作出點關于的對稱點，連結與直線交于點則點是使周長最小的點 求得，過，的直線為，過的直線為兩直線的交點為 點評：存在探索型在一定的條件下，需探索發現某種數學關系是否存在的題目熱點2：開放性問題開放性試題重在開發思維，促進創新，提高數學素養，所以是近幾年中考試題的熱點考題觀察、實驗、猜想、論證是科學思維方法，是新課標思維能力新添的內容，學

6、習中應重視并應用例4（2008福州）如圖11，直線，連結，直線、及線段把平面分成、四個部分，規定線上各點不屬于任何部分當動點落在某個部分時，連結，構成、三個角（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是角）（1）當動點落在第部分時，求證：；（2）當動點落在第部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）當動點在第部分時，全面探究、之間的關系，并寫出動點的具體位置和相應的結論選擇其中一種結論加以證明解：（1）解法一：如圖12（）延長交直線于點，解法二：如圖12（2）過點作，解法三：如圖12（3），即 又， （2）不成立 （3）（a）當動點在射線的右側時，結論是（b）當動點在射線上，結論是，或

7、或，（任寫一個即可）（c）當動點在射線的左側時，結論是 選擇（a）證明：如圖12（4），連結，連結交于，又，選擇（b）證明：如圖12（5）點在射線上，或或，選擇（c）證明：如圖12（6）連結，連結交于，點評：本題由點的位置的改變，讓同學們探究由此而引起的三個角之間的變化，將分類思想的考查融入在探索、猜想過程中熱點3：閱讀理解型問題閱讀理解題是近幾年頻頻出現在中考試卷中的一類新題型，不僅考查學生的閱讀能力，而且綜合考查學生的數學意識和數學綜合應用能力，尤其是側重于考查學生的數學思維能力和創新意識，此類題目能夠幫助考生實現從模仿到創造的思想過程，符合學生的認知規律，是中考的熱點題目之一，今后的中考

8、試題有進一步加強的趨勢例5閱讀：我們知道，在數軸上，表示一個點而在平面直角坐標系中，表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數的圖象，它也是一條直線，如圖13（1）可以得出：直線與直線的交點的坐標就是方程組的解在直角坐標系中，表示一個平面區域，即直線以及它左側的部分，如圖13（2）；也表示一個平面區域，即直線以及它下方的部分，如圖13（3）回答下列問題：在直角坐標系（13（3）中，（1）用作圖象的方法求出方程組的解（2）用陰影表示所圍成的區域解：（1）如圖14所示，在坐標系中分別作出直線和直線，這兩條直線的交點是則是方程組的解 （2）如圖14陰影所示點評：

9、通過閱讀本題所提供的材料，我們要明白兩點：方程組的解與兩直線交點坐標的關系；不等式組的解在坐標中區域的表示方法熱點4：方案設計型問題近年一些省市的中考數學題中涌現了立意活潑、設計新穎、富有創新意識、培養創新能力的題目這類命題綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數據處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等能與初中所學的重點知識進行聯結例6（2008茂名）已知甲、乙兩輛汽車同時、同方向從同一地點A出發行駛（1）若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇，相遇時乙車走了1小時求甲、乙兩車的速度；（2）假設甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油，每升汽油可以行駛10千米，途中不

10、能再加油，但兩車可以互相借用對方的油，若兩車都必須沿原路返回到出發點A，請你設計一種方案使甲車盡可能地遠離出發點A，并求出甲車一共行駛了多少千米？解：（1）設甲，乙兩車速度分別是x千米/時和y千米/時，根據題意得：，解之得：即甲、乙兩車速度分別是120千米/時、60千米/時（2）方案一：設甲汽車盡可能地遠離出發點A行駛了x千米，乙汽車行駛了y千米，則即即甲、乙一起行駛到離A點500千米處，然后甲向乙借油50升，乙不再前進，甲再前進1 000千米返回到乙停止處，再向乙借油50升，最后一同返回到A點，此時，甲車行駛了共3 000千米方案二：（畫圖法）如圖：此時，甲車行駛了（千米）方案三：先把乙車的

11、油均分4份，每份50升當甲乙一同前往，用了50升時，甲向乙借油50升，乙停止不動，甲繼續前行，當用了100升油后返回，到乙停處又用了100升油，此時甲沒有油了，再向乙借油50升，一同返回到A點此時，甲車行駛了（千米）點評：此類題目往往要求所設計的問題中出現路程最短、運費最少、效率最高等詞語，解題時常常與函數、方程聯系在一起例7（2008福州）為創建綠色校園，學校決定對一塊正方形的空地進行種植花草，現向學生征集設計圖案圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圓弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形種植花草部分用陰影表示請你在圖15（3）、圖15（4）、圖15（5）中畫出三種不

12、同的的設計圖案提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖15（1）、圖15（2）只能算一種解：答案不惟一，如圖16：點評：幾何圖形的分割與設計在中考中經常出現，有時是根據面積相等來分割，有時是根據線段間的關系來分割，有時根據其它的某些條件來分割，做此類題一般用尺規作圖【考題預測】1觀察算式：；用代數式表示這個規律（n為正整數）： _2將圖17（1）所示的正六邊形進行分割得到圖17（2），再將圖17（2）中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進行分割得到圖17（3），再將圖17（3）中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進行分割，則第n個圖形中，共有_個正六邊形3如圖18，將邊

13、長為1的正方形沿x軸正方向連續翻轉2 008次，點依次落在點的位置，則的橫坐標_4如圖19，設拋物線交x軸于兩點，頂點為以為直徑作半圓，圓心為，半圓交y軸負半軸于（1）求拋物線的對稱軸；（2）將繞圓心順時針旋轉，得到，如圖20求點的坐標；（3）有一動點在線段上運動，的周長在不斷變化時是否存在最小值？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由5青青商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價15元，售價20元；乙種商品每件進價35元，售價45元（1）若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件恰好用去2 700元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？（2）該商場為使甲、乙兩種商品共100件的總利潤（利潤售價進價）不少于750元，且不超過760元，請你幫助該商場設計相應的進貨方案；（3）在“五·一”黃金周期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優惠促銷活動：打折前一次性購物總金額優惠措施不超過300元不優惠超過300元且不超過400元售價打九折超過400元售價打八折按上述優惠條件，若小王第一天只購買甲種商品一次性付款200元，第二天只購買乙種商品打折后一次性付款324元，那么這兩天他在該商場購