1、 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第九章第九章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 9-1 9-1 引言引言 兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 桿件受到一對(duì)等值、反向、作用面與軸線垂直的力偶作用。桿件受到一對(duì)等值、反向、作用面與軸線垂直的力偶作用。扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角9-2 9-2 外力偶矩與扭矩外力偶

2、矩與扭矩 一、功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系一、功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系 1.1.外力偶矩與功率、角速度關(guān)系外力偶矩與功率、角速度關(guān)系 2.2.外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系 PM (kW)N m9549(r/min)PMn（）(PS)N m7024(r/min)PMn（）260n二、扭矩與扭矩圖二、扭矩與扭矩圖 ()0:xMF 0TMTM 扭矩正負(fù)規(guī)定扭矩正負(fù)規(guī)定 由右手螺旋法則確定，扭矩矢量與截面外法線一由右手螺旋法則確定，扭矩矢量與截面外法線一致者為正；反之為負(fù)。致者為正；反之為負(fù)。1.1. 扭矩扭矩T 例：例：圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪B 輸入的功率輸

3、入的功率PB=10kW，若不計(jì)，若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，兩個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為軸承摩擦所耗的功率，兩個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為PA=4kW，PC=6kW，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速n = 500r/min，試作軸的扭矩圖。，試作軸的扭矩圖。 2.2.扭矩圖扭矩圖 表示扭矩沿軸線方向變化的圖形，橫坐標(biāo)表示橫截表示扭矩沿軸線方向變化的圖形，橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩的大小。面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩的大小。 解：解： 計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩 AA49549954976.4N m500PMn BB1095499549191N m500PMnCC695499549114.6N m500PMn

4、計(jì)算軸各段的扭矩計(jì)算軸各段的扭矩 ()0:xMF 1A0TM解得：解得： 176.4N mT 2C0TM2114.6N mT 繪制扭矩圖繪制扭矩圖 解得：解得： ()0:xMF 2-2： 1-1： 9-3 9-3 切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律一、薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力 1. 1.各圓周繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但其形狀、大小及相各圓周繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但其形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離不變，說(shuō)明橫截面上無(wú)正應(yīng)鄰兩圓周線之間的距離不變，說(shuō)明橫截面上無(wú)正應(yīng)力。力。 2. 2.在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但仍為直

5、線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f(shuō)明橫截仍為直線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f(shuō)明橫截面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力試驗(yàn)現(xiàn)象：試驗(yàn)現(xiàn)象： 微元體無(wú)軸向、橫向正應(yīng)變，但存在垂直于半徑微元體無(wú)軸向、橫向正應(yīng)變，但存在垂直于半徑方向的切應(yīng)變方向的切應(yīng)變 ，且圓周上所有各點(diǎn)的切應(yīng)變相同。，且圓周上所有各點(diǎn)的切應(yīng)變相同。所以圓周上各點(diǎn)在軸向、橫向無(wú)正應(yīng)力，在垂直于半所以圓周上各點(diǎn)在軸向、橫向無(wú)正應(yīng)力，在垂直于半徑方向上有相同的切應(yīng)力。徑方向上有相同的切應(yīng)力。222000d2TRR 202TR 由于管壁很薄，近似認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布由于管壁很薄，近似認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布 壁厚壁厚平均半徑平均半徑二、純剪切與

6、切應(yīng)力互等定理二、純剪切與切應(yīng)力互等定理 2. 2. 純剪切純剪切 微元體的四個(gè)側(cè)面上只存在切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。微元體的四個(gè)側(cè)面上只存在切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。 1. 1. 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 在微元體的兩個(gè)互相垂直的截面上，垂直于截面在微元體的兩個(gè)互相垂直的截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向均指向或背離該交線。交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向均指向或背離該交線。 ()0:zMF (d )d(d )dyxxy 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成比例極限時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。正比。 G 2(1)EG 材料的三個(gè)

7、彈性常數(shù)（彈性模材料的三個(gè)彈性常數(shù)（彈性模量、切變模量、泊松比）之間的數(shù)量、切變模量、泊松比）之間的數(shù)值關(guān)系：值關(guān)系： 剪切比例極限剪切比例極限G 為切變模量為切變模量9-4 9-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力 一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 1. 1.各圓周繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但其形狀、大小及相各圓周繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但其形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離不變，說(shuō)明橫截面上無(wú)正應(yīng)鄰兩圓周線之間的距離不變，說(shuō)明橫截面上無(wú)正應(yīng)力。力。 2. 2.在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但仍為

8、直線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f(shuō)明橫截仍為直線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f(shuō)明橫截面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力 試驗(yàn)現(xiàn)象試驗(yàn)現(xiàn)象 變形規(guī)律變形規(guī)律 tan ddx ddx ddad 平面假設(shè)平面假設(shè) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍為圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍為平面，且其形狀、大小不變，半徑仍為直線，兩相鄰平面，且其形狀、大小不變，半徑仍為直線，兩相鄰截面間的距離不變。截面間的距離不變。（圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)各橫截面像剛性平（圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)各橫截面像剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。）面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。）距軸線為距軸線為 處的切應(yīng)變與處的切應(yīng)變與 成正比成正比2.2.物理關(guān)系物理關(guān)系 G ddGx

9、 ddx ddx 未知，與內(nèi)力、材料、截面有關(guān)。未知，與內(nèi)力、材料、截面有關(guān)。P時(shí)：時(shí)：切應(yīng)力分布規(guī)律圖切應(yīng)力分布規(guī)律圖實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸空心圓軸空心圓軸 與與 成正比成正比3.3.靜力關(guān)系靜力關(guān)系 AdTA 2PAdIA PddTxGI AdddGAx 2AdddGAx 令令抗扭剛度：截面抵抗抗扭剛度：截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力扭轉(zhuǎn)變形的能力極慣性矩極慣性矩扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 PTI PddTxGI ddGx 二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 PPPmaxIIWR maxPTW maxmaxPTI 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)同一截面上最大切應(yīng)力同一截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在周邊

10、各點(diǎn)處。發(fā)生在周邊各點(diǎn)處。僅適用于線彈性范僅適用于線彈性范圍內(nèi)的等直圓軸圍內(nèi)的等直圓軸9-5 9-5 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)的計(jì)算極慣性矩與抗扭截面系數(shù)的計(jì)算 一、實(shí)心圓截面一、實(shí)心圓截面 2PAdIA 3PP162IdWd 220(2d )d 432d 二、空心圓截面二、空心圓截面 4444()(1)3232DdD 34PP(1)162IDWD 222(2d )Dd 2PAdIA dD三、薄壁圓截面三、薄壁圓截面 20AdRA 2P02WR 2PAdIA 302 R 極慣性矩與面積對(duì)于點(diǎn)的分布有什么關(guān)系？極慣性矩與面積對(duì)于點(diǎn)的分布有什么關(guān)系？相同面積的實(shí)心圓與空心圓哪個(gè)對(duì)于圓心的極慣性矩相同

11、面積的實(shí)心圓與空心圓哪個(gè)對(duì)于圓心的極慣性矩大？大？一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力 1. 1. 塑性材料的扭轉(zhuǎn)失效塑性材料的扭轉(zhuǎn)失效 橫截面上的最大切應(yīng)橫截面上的最大切應(yīng)力即力即扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力為扭轉(zhuǎn)為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力。極限應(yīng)力。 斷口材料呈片狀，剪斷口材料呈片狀，剪切破壞切破壞 斷口橫截面，最大切斷口橫截面，最大切應(yīng)力引起剪切破壞應(yīng)力引起剪切破壞 低碳鋼抗剪能力低碳鋼抗剪能力比抗拉能力差比抗拉能力差9-6 9-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件 2. 2. 脆性材料的扭轉(zhuǎn)失效脆性材料的扭轉(zhuǎn)失效 橫截面上的最大切應(yīng)力即橫截面上的最大切應(yīng)力即扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限扭轉(zhuǎn)

12、強(qiáng)度極限為扭轉(zhuǎn)為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力。極限應(yīng)力。 斷口斷口45o的螺旋面，最大的螺旋面，最大拉應(yīng)力引起的脆性斷裂拉應(yīng)力引起的脆性斷裂斷口材料呈顆粒狀，脆斷口材料呈顆粒狀，脆性斷裂破壞性斷裂破壞 鑄鐵抗拉能力比鑄鐵抗拉能力比抗剪能力差抗剪能力差 Un許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力二、圓軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件二、圓軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 maxmaxP()TW 三、圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中三、圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中 1. 1.設(shè)計(jì)軸截面宜將材料遠(yuǎn)離圓心，平均半徑越設(shè)計(jì)軸截面宜將材料遠(yuǎn)離圓心，平均半徑越大，壁厚越小，切應(yīng)力分布越均勻，材料的利用率大，壁厚越小，切應(yīng)力分布越均勻，材料的利用率越高。越高。 2. 2.設(shè)

13、計(jì)時(shí)盡量減少截面尺寸的急劇改變，以減設(shè)計(jì)時(shí)盡量減少截面尺寸的急劇改變，以減緩應(yīng)力集中。緩應(yīng)力集中。 對(duì)于等直圓軸：對(duì)于等直圓軸： maxmaxPTW 根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件可進(jìn)行三類強(qiáng)度問(wèn)題計(jì)算：根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件可進(jìn)行三類強(qiáng)度問(wèn)題計(jì)算：強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)許可載荷確定許可載荷確定 例：例：圖示階梯形空心圓截面軸，在橫截面圖示階梯形空心圓截面軸，在橫截面A、B、C處承受處承受扭力偶作用，已知扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，許，許用切應(yīng)力用切應(yīng)力 = 90MPa。試校核軸的強(qiáng)度。試校核軸的強(qiáng)度。 解：解： AB與與BC段的扭矩分別為段的扭矩分別為 AB15

14、0N mT BC100N mT ABmaxAB34PAB16 15080.8MPa0.0180.0241()0.024TW BCmaxBC34PBC16 10086.7MPa0.0180.0221()0.022TW 所以軸滿足強(qiáng)度條件。所以軸滿足強(qiáng)度條件。 AB與與BC段進(jìn)行強(qiáng)度校核段進(jìn)行強(qiáng)度校核 例：例：某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)的最大扭矩某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)的最大扭矩T = 1.5kNm ，若，若許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 = 90MPa。試按下列兩種方案確定軸的橫試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。實(shí)心圓截面。實(shí)心圓截截面尺寸，并比較其重量。實(shí)心圓截面。實(shí)心圓截面，其內(nèi)外徑的比值面，其內(nèi)外徑的比值

15、d /D = 0.9。 解：解： 計(jì)算實(shí)心軸直徑計(jì)算實(shí)心軸直徑 max3P16TTWd 33361616 1.5 1053.5mm50 10Td 計(jì)算空心軸外徑計(jì)算空心軸外徑 max34P16(1)TTWD 3334461616 1.5 1076.3mm(1)(10.9 ) 50 10TD空心軸內(nèi)徑空心軸內(nèi)徑 0.90.9 76.368.7mmdD 確定空心軸與實(shí)心軸的重量比確定空心軸與實(shí)心軸的重量比 22276.368.70.38553.5WW 空空心心實(shí)實(shí)心心 max34P016(1)TTWd 空心軸比實(shí)心軸省材。空心軸比實(shí)心軸省材。9-7 9-7 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度

16、條件 一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形 1.1.相距相距dx的兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 PddTxGI 2.2.相距相距 l 兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 PdlTxGI 3. 3.扭矩、切變模量為常數(shù)的等直圓軸相距扭矩、切變模量為常數(shù)的等直圓軸相距l(xiāng) l 的兩的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 PTlGI Pi iiTlGI 階梯軸：階梯軸：二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 maxmaxmaxPd()()dTxGI 單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角（為相距單位長(zhǎng)度（為相距單位長(zhǎng)度1 1的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）許可單位扭轉(zhuǎn)角許可單位扭轉(zhuǎn)角 maxma

17、xmaxPd180180()()dTxGI （rad/m）/m根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件可進(jìn)行三類剛度問(wèn)題計(jì)算：根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件可進(jìn)行三類剛度問(wèn)題計(jì)算：剛度校核剛度校核截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)許可載荷確定許可載荷確定 例：例：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC ，承受扭力偶矩，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用作用。已知。已知MA = 180Nm，MB = 320Nm，MC = 140Nm ，IP = 3.0105mm4，l = 2m，G = 80GPa， = 0.5o/m。試計(jì)算該軸。試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角的總扭轉(zhuǎn)角AC AC ，并校核軸的剛度。，并校核軸的剛度。 解：解： 計(jì)算軸的總扭轉(zhuǎn)角計(jì)算軸的總扭轉(zhuǎn)角 AB180

18、N mT BC140N mT 2ABAB9512P180 21.50 10 rad80 103.0 1010TlGI 2BCBC9512P( 140) 21.17 10 rad80 103.0 1010T lGI 222ACABBC1.50 10( 1.17 10 )0.33 10 rad 校核軸的剛度校核軸的剛度 omaxABmax9512PP180 1800.43 /m80 103.0 1010TTGIGI 所以軸的剛度滿足要求。所以軸的剛度滿足要求。 例：例：兩端固定的等截面圓桿兩端固定的等截面圓桿AB，在截面，在截面C 受一扭轉(zhuǎn)力受一扭轉(zhuǎn)力偶矩偶矩M作用。已知桿的抗扭剛度為作用。已知桿

19、的抗扭剛度為GIP，試求兩端的約束，試求兩端的約束力偶矩。力偶矩。 解：解：以圓桿以圓桿AB為研究對(duì)象，建立平衡方程為研究對(duì)象，建立平衡方程 0:xM AB0MMM 由變形幾何關(guān)系得變形協(xié)調(diào)方程由變形幾何關(guān)系得變形協(xié)調(diào)方程 ABACCB0 AC ACAACPPTlM aGIGI由扭轉(zhuǎn)胡克定律可得由扭轉(zhuǎn)胡克定律可得 CB CBBCBPPT lM bGIGI ABPP0M aM bGIGI由解得：由解得： AMbMab BMaMab AC ACAACPPTlM aGIGI ABACCB0 例：例：傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速n = 300r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A輸入的功率輸入的功率PA = 36.7kW。從動(dòng)輪。從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=14.7kW，PC = PD = 11kW。軸的材料為。軸的材料為5號(hào)鋼，號(hào)鋼，G = 80GPa， = 40MPa ， = 2o/