1、1混沌理論及應用混沌理論及應用龍敏龍敏Email:Tel2混沌的概念：混沌的概念：混沌（混沌（chaos）又稱渾沌，人們通常又稱渾沌，人們通常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態，用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態，在這個意義上它與無序的概念是相同的。在這個意義上它與無序的概念是相同的。 一、混沌的基本概念及特征一、混沌的基本概念及特征31確定性確定性 在混沌系統中，描述系統演化的動力學方程的確定性，在混沌系統中，描述系統演化的動力學方程的確定性，是指方程是指方程(常微分方程、差分方程、時滯微分方程常微分方程、差分方程、時滯微分方程)是非隨是非隨機的，不含任

2、何隨機項。系統的未來機的，不含任何隨機項。系統的未來(或過去或過去)狀態只與初狀態只與初始條件及確定的演化規則有關，即系統的演化完全是由內始條件及確定的演化規則有關，即系統的演化完全是由內因決定的，與外在因素無關。這是至關重要的一條限制，因決定的，與外在因素無關。這是至關重要的一條限制，所以我們現在講的混沌也叫所以我們現在講的混沌也叫“確定性混沌確定性混沌”。正因為確定。正因為確定性的系統出現了復雜行為，也叫內隨機性，人們才興奮起性的系統出現了復雜行為，也叫內隨機性，人們才興奮起來，才一往傾心地鉆研混沌。當然，從長遠的觀點來看，來，才一往傾心地鉆研混沌。當然，從長遠的觀點來看，人們肯定會研究帶

3、有隨機項的更復雜系統的非周期運動。人們肯定會研究帶有隨機項的更復雜系統的非周期運動。然而，目前由于公眾對混沌還有相當的誤解，所以我們嚴然而，目前由于公眾對混沌還有相當的誤解，所以我們嚴格區分是否為確定性至關重要，還不能籠統地從現象的層格區分是否為確定性至關重要，還不能籠統地從現象的層次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌。總之，混沌概念次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌。總之，混沌概念的狹義化總比泛化好些。現在我們考慮的混沌主要是一種的狹義化總比泛化好些。現在我們考慮的混沌主要是一種時間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮時間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮偏微分方程。偏微

4、分方程。4例：例：Lorenz系統系統1(1)nnnxaxxLogistic 映射映射52非線性非線性 產生混沌的系統一定含有非線性因素，有了非線性未必產產生混沌的系統一定含有非線性因素，有了非線性未必產生混沌，但沒有非線性是肯定產生不了混沌的。也就是說，非生混沌，但沒有非線性是肯定產生不了混沌的。也就是說，非線性是產生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性線性是產生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性來定義的，設來定義的，設G1和和G2是任意兩個是任意兩個(向量向量)函數，函數，a和和b是任意兩個是任意兩個常數，若算子乙滿足如下疊加原理常數，若算子乙滿足如下疊加原理: L(aG

5、l+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)，則稱則稱L是線性算子，否則是線性算子，否則L是非線性算子。包含非線性算子的系是非線性算子。包含非線性算子的系統稱為非線性系統。應當注意的是線性與非線性也不是絕對分統稱為非線性系統。應當注意的是線性與非線性也不是絕對分明的。對于某些復雜現象，在一定條件下，既可以把它視為非明的。對于某些復雜現象，在一定條件下，既可以把它視為非線性現象也可以把它視為線性現象，這與人們看問題的角度和線性現象也可以把它視為線性現象，這與人們看問題的角度和所關心的變量的時空尺度不同有關。現在看來，非線性是普遍所關心的變量的時空尺度不同有關。現在看來，非線性是普遍存在的，多數問

6、題不能通過線性的辦法或線性化的辦法來解決，存在的，多數問題不能通過線性的辦法或線性化的辦法來解決，因而直接面對非線性是不可避免的。因而直接面對非線性是不可避免的。63對初始條件的敏感依賴性對初始條件的敏感依賴性 1963年，洛倫茲發表了關于混沌理論的開創性研究，年，洛倫茲發表了關于混沌理論的開創性研究，并提出了形象的并提出了形象的“蝴蝶效應蝴蝶效應”。被冷落了。被冷落了12年之后，年之后，1975年數學家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發生機制，認為年數學家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發生機制，認為向湍流的轉變是由少數自由度決定的，經過兩三次突變，向湍流的轉變是由少數自由度決定的，經過兩三次突變，

7、運動就到了維數不高的運動就到了維數不高的“奇怪吸引子奇怪吸引子”上。這里所謂上。這里所謂“吸吸引子引子”是指運動軌跡經過長時間之后所采取的終極形態：是指運動軌跡經過長時間之后所采取的終極形態：它可能是穩定的平衡點，或周期性的軌道；但也可能是繼它可能是穩定的平衡點，或周期性的軌道；但也可能是繼續不斷變化、沒有明顯規則或次序的許多回轉曲線，這時續不斷變化、沒有明顯規則或次序的許多回轉曲線，這時它就稱為它就稱為“奇怪吸引子奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的運動軌道，對。奇怪吸引子上的運動軌道，對軌道初始位置的細小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻軌道初始位置的細小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻是相當穩定的

8、。是相當穩定的。 7真實球虛擬球8今天，“蝴蝶效應”幾乎成了混沌現象的代名詞。1961年美國氣象學家洛倫茲利用他的一臺老爺計算機，根據他導出的描述氣象演變的非線性動力學方程進行長期氣象預報的模擬數值計算，探討準確進行長期天氣預報的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗上一次的計算結果，決定再算一遍。但他不是從上一次計算時的最初輸入的數據開始驗算，而是以一個中間結果作為驗算的輸入數據。他發現，經過一段重復過程后，計算開始偏離上次的結果，甚至大相徑庭。就好比一個計算結果預報幾個月后的某天是晴空萬里，另一個計算結果則告訴你這一天將電閃雷鳴！9后來洛倫茲發現兩次計算的差別只是第二次輸入中間數據時將原來的0.5

9、06127省略為0.506。洛倫茲意識到，因為他的方程是非線性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對初值的依賴不敏感，而非線性方程對初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導致了計算結果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準確地作出長期天氣預報是不可能的。對此，洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風，這就是蝴蝶效應。10 邏輯斯蒂映射的形式為1(1)nnnxaxx11Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x0=0.6 green: x0=0.600112Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x

10、0=0.37 green: x0=0.370113Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)i)i) 系統的變化看似毫無規則，但實際上是有跡可尋的。系統的變化看似毫無規則，但實際上是有跡可尋的。ii)ii)系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別（就例如分別（就例如0.60.6和和0.60010.6001僅僅相差六千分之一），僅僅相差六千分之一）， 在一段時在一段時間的演化后可帶來南轅北轍的結果。間的演化后可帶來南轅北轍的結果。14典型連續混沌系統典型連續混沌系統Chen系統系統15典型連續混沌系統典型連續混沌系統

11、Lorenz系統系統16典型連續混沌系統典型連續混沌系統Rssler系統系統17典型連續混沌系統典型連續混沌系統Chua系統系統18典型離散混沌映射典型離散混沌映射19典型離散混沌映射典型離散混沌映射204非周期性非周期性 在數學和物理學中，周期性的定義是很明確的。對于函在數學和物理學中，周期性的定義是很明確的。對于函數數f(x)，若能找到一個最小正數，若能找到一個最小正數t滿足關系滿足關系f(x+t)=f(x)，則稱，則稱f(x)是周期函數，是周期函數，t為其周期；否則為其周期；否則f(x)就是非周期的就是非周期的, 非周期性意非周期性意味著構成奇怪吸引子的積分曲線從不重復原曲線而封閉。這味

12、著構成奇怪吸引子的積分曲線從不重復原曲線而封閉。這樣，向著奇怪吸引子演化的系統，從來不以同樣的狀態重新樣，向著奇怪吸引子演化的系統，從來不以同樣的狀態重新經過。非周期性說明，混沌運動的每一瞬間都是經過。非周期性說明，混沌運動的每一瞬間都是“不可預見不可預見的創新的創新”的發生器。應當注意的是的發生器。應當注意的是“非周期性非周期性”這個概念比這個概念比“混沌混沌要廣、要大的多。比如，準周期是非周期的，但要廣、要大的多。比如，準周期是非周期的，但不是混沌；遍歷運動是非周期的，但單純遍歷還不是混沌。不是混沌；遍歷運動是非周期的，但單純遍歷還不是混沌。混沌運動要求有混沌運動要求有“混合混合”的性質，

13、即的性質，即“對初始條件的敏感依對初始條件的敏感依賴性賴性”。但這并不能因此說混沌運動就是雜亂而無用的，相。但這并不能因此說混沌運動就是雜亂而無用的，相反，混沌不是無序和紊亂。一提到有序，人們往往會想到周反，混沌不是無序和紊亂。一提到有序，人們往往會想到周期排列或對稱形狀。期排列或對稱形狀。21但是，混沌更像是沒有周期性的次序。在理想模型但是，混沌更像是沒有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含著無窮的內在層次，層次之間存在中，它可能包含著無窮的內在層次，層次之間存在著著“自相似性自相似性”或或“不盡相似不盡相似”。在觀察手段的分。在觀察手段的分辨率不高時，只能看到某一個層次的結構；提高分辨率

14、不高時，只能看到某一個層次的結構；提高分辨率之后，在原來不能識別之處又會出現更小尺度辨率之后，在原來不能識別之處又會出現更小尺度上的結構。上的結構。22 分叉分叉(bifurcation)是有序演化理論的基本概念，這是混沌是有序演化理論的基本概念，這是混沌出現的先兆。在動態系統演化過程中的某些關節點上，系統的出現的先兆。在動態系統演化過程中的某些關節點上，系統的定態行為定態行為(穩定行為穩定行為)可能發生定性的突然改變，即原來的穩定可能發生定性的突然改變，即原來的穩定定態變為不穩定定態，同時出現新的定態，這種現象就是分叉。定態變為不穩定定態，同時出現新的定態，這種現象就是分叉。發生分叉現象的關

15、節點叫做分叉點，在分叉點系統演化發生質發生分叉現象的關節點叫做分叉點，在分叉點系統演化發生質的變化。動態系統演化中的分叉現象充分說明了量變引起質變的變化。動態系統演化中的分叉現象充分說明了量變引起質變的規律。分叉又是一種閾值行為，只要系統的非線性作用強到的規律。分叉又是一種閾值行為，只要系統的非線性作用強到一定程度，就可能出現分叉。所以，凡是產生混沌的系統，總一定程度，就可能出現分叉。所以，凡是產生混沌的系統，總可以觀察到分叉序列。可以觀察到分叉序列。5分叉分叉231(1)nnnxaxx2425 以參數a為橫坐標、以x的穩定定態(stable steady states)為縱坐標作圖， 得到1

16、、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結構的一套東西。此 所謂無窮自相似結構。26分形性是指奇怪吸引子的結構具有自相似性和不可微性。它不是分形性是指奇怪吸引子的結構具有自相似性和不可微性。它不是傳統歐幾里得幾何中描述的直線、平面等整形幾何形狀所具有的傳統歐幾里得幾何中描述的直線、平面等整形幾何形狀所具有的可微性，而是分維的可微性，而是分維的“分形分形”物，具有結構自相似性和不可微性物，具有結構自相似性和不可微性(不連續性不連續性)。目前所發現的奇怪吸引子，如馬蹄鐵吸引子、洛倫。目前所發現的奇怪吸引子，

17、如馬蹄鐵吸引子、洛倫茲吸引子、埃農茲吸引子、埃農(Michel Henon)吸引子、若斯勒吸引子、若斯勒(Otto ROssler)吸吸引子等都具有分形性。所以分形并非純數學抽象的產物，而是對引子等都具有分形性。所以分形并非純數學抽象的產物，而是對普遍存在的復雜幾何形態的科學概括。自然界中分形體無處不在，普遍存在的復雜幾何形態的科學概括。自然界中分形體無處不在，如起伏蜿蜒的山脈、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸線等等。如起伏蜿蜒的山脈、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸線等等。它與混沌的內隨機性、對初始條件的敏感依賴性有本質聯系。所它與混沌的內隨機性、對初始條件的敏感依賴性有本質聯系。所以我們說：以

18、我們說： “混沌本質上是非線性動力系統在一定控制參數范混沌本質上是非線性動力系統在一定控制參數范圍內產生的對初始條件具有極度敏感依賴性的回復性的非周期性圍內產生的對初始條件具有極度敏感依賴性的回復性的非周期性行為狀態行為狀態”。6.分形分形27分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序結結構構：由不由不斷斷的的圖圖形形迭代迭代而而成成利利用用簡簡單單的的規則規則讓讓系系統統復復雜雜；從復雜不可解的系統中找到簡單美妙的秩序。從復雜不可解的系統中找到簡單美妙的秩序。28分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩混沌世界的秩序序古典歐式幾何：重視實際可測的

19、量值 例如：長度、深度、厚度深度、厚度 分形：無法單純用整數維度來描述29分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序七七十十年代的年代的數學數學家畢諾特家畢諾特 曼曼德布洛特德布洛特(Benoit Mandelbrot)(Benoit Mandelbrot)提出提出一一個個問問題：題：毛毛線線團的團的維維度是多少？度是多少？AnswerAnswer：看你的：看你的觀點觀點而而異異 30分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序遠距離來看，線團凝聚成點，維度為零；再近一點，看出來毛線團點據球形的空間，維度擴展成三；再走近一些，看出毛線團

20、是由一根根毛線所構成，他的維度為一，And then ?數據結果視觀測者與其對象而改變。這種概念也正是這個世紀物理學的中心思想。毛毛線線的的維維度度? ?31分形幾何的基本思想32 歐幾里得幾何學的研究對象是具有特征長度的幾何物體： 一維空間：線段，有長度，沒有寬度； 二維空間：平行四邊形，有周長、面積； 三維空間：球，表面積、體積； 自然界中很多的物體具有特征長度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。33 有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？34英國的海岸線地圖35 當你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線

21、，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。 如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發現，這些細小之處同樣也是無數的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發現的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。 如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。 36 得到的結論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。 海岸線的長度是無限的！ 而顯然海岸線的面積為零； 而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應該是有界的。 海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。37Koch 曲線38天空中的云朵植物的葉子39自然界中的分形山星 云40星 云41二、混沌在通信中的應用二、混沌在通信中的應用4

22、2混沌同步混沌同步混沌系統的同步是指一個系統的混沌軌道收斂于另一個混沌系統的軌道，它們之間步調一致。434445464748495051ShannonShannon“好的混合變換通常是兩個簡單的非可交換運好的混合變換通常是兩個簡單的非可交換運算的乘積。比如算的乘積。比如HopfHopf已經證明，如做餡皮的生已經證明，如做餡皮的生面團可以通過下面的一系列操作進行混合：面面團可以通過下面的一系列操作進行混合：面團首先被揉搓成一個扁面皮，然后將它折疊，團首先被揉搓成一個扁面皮，然后將它折疊，再搓揉，再折疊，如此往復。一個混合變換中再搓揉，再折疊，如此往復。一個混合變換中的函數應該是復雜的，它的所有變

23、量都應敏感，的函數應該是復雜的，它的所有變量都應敏感，對任何一個變量來說，一個很小的變化都應引對任何一個變量來說，一個很小的變化都應引起輸出的顯著不同。起輸出的顯著不同。”52混沌與密碼學的關系混沌與密碼學的關系隨機隨機密鑰流密鑰流產生器產生器混沌與流密碼學混沌與流密碼學流密碼的核心流密碼的核心產生產生不可預測不可預測的混沌序列的混沌序列 混沌混沌53混沌與密碼學的關系混沌與密碼學的關系混沌與分組密碼學混沌與分組密碼學混淆和擴散混淆和擴散 分組密碼分組密碼 混沌混沌對密鑰敏感對密鑰敏感 對明文敏感對明文敏感增加信源的熵增加信源的熵反復壓縮和拉伸的混沌變換反復壓縮和拉伸的混沌變換混沌對初始條件和

24、參數的敏感混沌對初始條件和參數的敏感 混沌具有遍歷性的性質混沌具有遍歷性的性質 混沌具有拓撲傳遞性混沌具有拓撲傳遞性 54混沌與密碼學的關系混沌與密碼學的關系單向函數單向函數混沌與公鑰密碼學混沌與公鑰密碼學 公鑰密碼公鑰密碼已知部分結構重構出已知部分結構重構出全部高維混沌系統；全部高維混沌系統；未知部分參數同步兩未知部分參數同步兩個超混沌系統或時空個超混沌系統或時空混沌系統；混沌系統； 混沌混沌553.3.混沌掩蓋混沌掩蓋56混沌掩蓋574.4.混沌開關混沌開關58混沌開關595.5.混沌調制混沌調制60混沌調制61混沌在圖像加密中的應用原圖像加密后圖像62混沌在圖像加密中的應用正確解密圖像錯

25、誤解密圖像63信息偽裝：信息偽裝：64作業作業65一、函數迭代 給定一函數 以及初始點 ，定義數列 稱為函數 的迭代序列。 滿足 的點 稱為 的不動不動點點，記之為 。如果所有附近的點在迭代過程中都趨向于某一不動點，則該不動點稱為吸引點吸引點。如果所有附近的)(xf0 x,.1 , 0),(1kxfxkkkx)(xfuuf)(ufuu66點都遠離它，則它是排斥點排斥點。例如，0 與 1 是 的不動點。0 是吸引點，1是排斥點。如果則點集 形成一個 k k 循環循環。 稱為 k 周期點周期點。k稱為周期周期。2)(xxf13221)(.,)(,)(uufuufuufkkuuu,.,211u67類

26、似地，周期點也可以分吸引點與排斥點。如果點 最終歸宿于某個循環中，則稱它為預周期點預周期點。如 1 是 的預周期點。迭代序列 的收斂與發散性質不僅與函數 有關， 而且與初值的選擇有關。 例如，對于迭代12xukx)(xf121kkxx68 當初值 時， 迭代序列收斂，否則發散。10 x69二、二次函數的迭代 對二次函數對二次函數 做迭代做迭代: 迭代的幾何直觀圖迭代的幾何直觀圖, 1 , 0),1 (1kxxaxkkk40 a0 x)(0 xf)(1xfxy)1 ()(xxaxf70練習練習 1 1 對幾組不同的參數值 （如 )以及不同的初值 ，觀察迭代是否收斂。練習練習 2 2 取參數 ，用

27、不同的初值做迭代。你能找到一個吸引的不動點嗎？一個排斥的不動點嗎？哪些初值收斂到吸引的不動點？哪些初值使序列發散？取不動的參數 回答同樣的問題。a, 5 . 0a0 x8 . 0a5 . 2, 2, 6 . 1, 1a71練習練習 3 3 找出一個參數 使它對應的迭代具有2周期點。這種性質依賴于初值嗎？練習練習 4 4 對任意的整數 ，你能找到一個 值使得它對應的迭代具有 周期點嗎？對哪些 值能給出 周期點？在每種情況下，結果是否依賴于初值？（對 和 的值進行驗證）akkakk6 . 34 . 3a46 . 3 a72練習練習 5 5 如果某個值能給出周期點，它是否一定是吸引的周期點？你能否找

28、到排斥的周期點？練習練習 6 6 根據前面的練習，試著從理論上分析：如何求不動點？對哪些值對應吸引的不動點？哪些值對應排斥的不動點？初值對結果有什么影響？對周期點做類似的分析。73 不動點的計算不動點的計算 從 得到 及)1 (xxax0 xaax/ ) 1( 74 吸引的不動點與排斥的不動點吸引的不動點與排斥的不動點 定理定理設 是 的不動點，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動點；否則， 是 的排斥的不動點。由于 故當 0a1時，為吸引點，(a-1)/a為排斥點。當1a3, 為排斥點，(a-1)/ a為吸引點。x)(xfx1| )( |xfx)(xfx)(xfaaafaf2)/ ) 1(,)0( 75 2 2 周期點周期點 得)1 (1)(1 ()(2xaxxxaxffx,/ ) 1(, 021aaxx3,2/ )321 (24, 3aaaaax76三、Feigenbaum圖 將區間（0, 4 以某個步長 （如 ）離散化。對每個離散的 值做迭代。忽略前50個迭代值，而把點 顯示在坐標平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。a04. 0a),( ,),(),(1005251x