1、1 一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：1. 復積分的基本定理；復積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導數公式柯西積分公式與高階導數公式 復合閉路定理與復積分的計算復合閉路定理與復積分的計算2 二、內容提要二、內容提要有向曲線有向曲線復積分復積分積分存在的積分存在的條件及計算條件及計算積分的性質積分的性質柯西積分定理柯西積分定理原函數原函數的定義的定義復合閉路復合閉路 定定 理理柯西積分柯西積分公公 式式高階導數公式高階導數公式調和函數和調和函數和共軛調和函數共軛調和函數3 設設C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如

2、果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向為正方向( (或正向或正向), ), 那末我們就把那末我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, . C記為記為1.1.有向曲線有向曲線42.2.積分的定義積分的定義, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設分點為設分點為個弧段個弧段任意分成任意分成把曲線把曲線的一條光滑的有向曲線的一條光滑的有向曲線終點為終點為內起點為內起點為為區域為區域內內

3、定義在區域定義在區域設函數設函數oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點上任意取一點在每個弧段在每個弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的長度的長度這里這里kkkkkkzzszzz ( , 0 時時無限增加且無限增加且當當 n , )( , , 記為記為的積分的積分沿曲線沿曲線函數函數那么稱這極限值為那么稱這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對如果不論對CzfS

4、Cnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 63.3.積分存在的條件及計算積分存在的條件及計算（1 1）化成線積分）化成線積分且且存存在在則則積積分分連連續續沿沿逐逐段段光光滑滑的的曲曲線線設設,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用參數方程將積分化成定積分）用參數方程將積分化成定積分的參數方程是的參數方程是設簡單光滑曲線設簡單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則74. 積分的性質積分的性質;d)(d)()1

5、( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數為常數kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續連續沿曲線沿曲線設設Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結而成連結而成由由設設 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數函數的長度為的長度為設曲線設曲線85. 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理(柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無關無關線線與連結起點及終點的路與連結起點及終點的路那末積分那末積分析析內處處解內處處

6、解在單連通域在單連通域如果函數如果函數定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內的任何一條封閉曲線內的任何一條封閉曲線沿沿那末函數那末函數內處處解析內處處解析在單連通域在單連通域如果函數如果函數9).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函數解析函數內的一個內的一個必為必為那末函數那末函數析析內處處解內處處解在單連通域在單連通域如果函數如果函數 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C106.6.原函數的定

7、義原函數的定義. )( )( , )()( , )( )( 的原函數的原函數內內在區域在區域為為那末稱那末稱即即內的導數為內的導數為在區域在區域如果函數如果函數BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個原函數的一個原函數是是因此因此zffzFzz . )(一個常數一個常數的任何兩個原函數相差的任何兩個原函數相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內內的的兩兩點點為為域域這這里里那那末末的的一一個個原原函函數數為為內內處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數數定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲

8、公式) )117. 7. 閉路變形原理閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區域全含于為邊界的區域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內部的簡單閉曲線內部的簡單閉曲線是在是在內的一條簡單閉曲線內的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設設 , )( 內解析內解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 復合閉路定理復合閉路定理 一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值線在區域內作連續變形而改變它的值.那末那末12). , , , , :( , , , ,

9、 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復合閉路組成的復合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf138.柯西積分公式柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那那末末內內任任一一點點為為于于它它的的內內部部完完全全含含閉閉曲曲線線內內的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單為為內內處處處處解解析析在在區區域域如如果果函函數數14 9. 高階導數公式高階導數公式. , )( ), 2 , 1

10、(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的內內部部全全含含于于線線任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲的的內內圍圍繞繞的的解解析析區區域域為為在在函函數數其其中中導導數數為為階階它它的的的的導導數數仍仍為為解解析析函函數數解解析析函函數數 15. ),( 0, , ),( 2222內內的的調調和和函函數數為為區區域域那那末末稱稱并并且且滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程有有二二階階連連續續偏偏導導數數內內具具在在區區域域如如果果二二元元實實變變函函數數DyxyxDyx 10.調和函數和共軛調和函數調和函數和共軛調和函數 任何在任何在 D 內解析的函數內解析的函數, ,它的實部和虛部它的實部和虛部都是都是 D 內的調和函數內的調和函數.16. . , , 的的共共軛軛調調和和函函數數稱稱為為和和函函數數中中的的兩兩個個調調內內滿滿足足方方程程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),(