1、1第五章第五章 一元函數的積分學一元函數的積分學第三節第三節 不定積分及其計算不定積分及其計算一. 不定積分的概念二.不定積分的計算2本講學習要求 理解原函數與不定積分的概念與性質; 熟練掌握求不定積分的第一類換元法(湊微分法).3上的全體原函數的集合在區間 I )(xf I , )()( | )(xxfxFxF記為上的不定積分在稱為 , I )( xf) ( )(d)(為任意常數CCxFxxf的一個原函數；為其中 )( )( ,xfxF稱為被積表達式；稱為被積函數 d)( , )(xxfxf稱為不定積分號； . 稱為積分常數C一. 不定積分的概念4 , )( ,的全部原函數的過程稱求已知函數

2、習慣上xf . )( 的不定積分為求函數xf .運算求不定積分是求導的逆 例如： ;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1) |(lnCxxxxx每一個求導公式, 反過來就是一個求原函數的公式, 加上積分常數C就成為一個求不定積分的公式.5)( d為常數kCkxxk) 1( 11d1CxxxCxxx|lnd1(1)(2)(3)(4)(5)CxxxedeCaaxaxxlnd6CxxxsindcosCxxxcosdsinCxxxtandsec2Cxxxcotdcsc2(6)(7)(8)(9)Cxxxx secd tan sec(10)C

3、xxxx cscd cot csc(11)7CxxxchdshCxxxshdch(12)(13)Cxxxarctand112Cxxxarcsind112(14)(15)8不定積分與定積分是兩個不同的概念. . )(limd)( :10| niiixbaxfxxf限定積分是一種和式的極 ),()( :則算不定積分是求導的逆運xfxF . )(d)(CxFxxf9二.不定積分的計算利用不定積分的性質利用不定積分的性質換元法換元法( 第一、第二第一、第二 )分部積分法分部積分法部分分式法部分分式法101. 利用性質計算不定積分首先介紹不定積分的基本性質.11),()d)(xfxxf,d)()d)(d

4、(xxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf 逆運算12,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf . , ,為常數其中ba .函數的和的形式該性質可推廣至有限個 線性性質13例1 . d) 12( 33xx求解 d1)6128(d) 12( 24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 . 251278357Cxxxx14例2 . d1132 2xxxx求解) ( 165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 . | 1|ln652Cxxx絕對值絕對值15例3 . d13 22xxx求解x

5、xxxxxxxxd113d3d1333d1322222 . arctan33Cxx利用加一項、減一項的方法.16例4 . 1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d . )1ln(Cexx?利用加一項、減一項的方法.17例5 . )( )(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 . ln1Cbxaxba部分分式法18例6 . dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122 . tancotCxx .下面看另一種解法19

6、例6 . dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv . 2sin2Cx 有何想法？兩個解法答案不同，你20例7 . sin1d xx求怎么做？怎么做？21例8 . d2 xexx求解Ceexexexxxx )2ln()(2 d)2(d2 . 2ln12Cexxaaaxxln)(22例9 . d | |xex求解 , 0 時當 x , dd1| |Cexexexxx , 0 時當 x , dd2| |Cexexexxx , 其原函數連續由于被積函數連續，故 , )(lim)(l

7、im2010CeCexxxx , 2 21從而即有 CC . 0 , , 0 , 2d| |xCexCexexxx.) (為積分常數C232. 不定積分的換元法 利用積分性質和簡單的積分表可以求出不少函數的原函數, 但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的. 現在介紹與復合函數求導法則相對應的積分方法 不定積分換元法. 它是在積分運算過程中進行適當的變量代換, 將原來的積分化為對新的變量的積分, 而后者的積分是比較容易積出的.24(1) 不定積分的第一換元法 :公式首先看復合函數的導數 )( ),( 上的可構成區間設可微函數IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 則可微的復合函數x

8、Fy 它的微分形式為xxxFxFd)()()(d( ),()( 則記ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出點什么東西沒有看出點什么東西沒有?原函數原函數?被積表達式被積表達式?也是被積表達式也是被積表達式?25定理 , )( )( 上的一個原函數在區間是設IufuF , )( ),()(且上可微在區間又JxuICuf ,)(上有則在區間JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf該定理稱為不定積分的第一換元法,也叫“湊微分”法。證明過程請看書!26例10. dcossin 3xxx求27例11. dsin 3xx求28例12 .dcossin 310 xxx

9、計算29例13解 . cos d 4xx計算 , cos dd tan 2于是，則令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1 ( . tan31tan3133CxxCuuuud)1 (230例14解 . dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222則有此題若按下面方式做，Cxfxxfxf | )(|l

10、nd)()( :一般有31例15 . dsectan 35xxx計算32例16 . ln d xxx求 . )ln( d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式33例17解 . d1 4xxx求 ,d2d , 2故則令xxuxu241d21d1uuxxx . arctan21arctan212CxCu . )( d)(1d)( :1nnnxuuufnxxxf一般公式為34例18 . d1 2xeexx求 . )( d)(d)( :xkxkxeuuufxeef一般公式為35例19解 . 1 d 4xxx計算，故，則令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu |1 |ln212 . )1 ln(2142Cxx36例20解 . )0( d axxaxa計算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsi