1、2022-3-2212 梁板式結(jié)構(gòu)分析的有限條法有限條法 (1)板條 (2)平面應(yīng)力條 (3)薄殼條 (4)連續(xù)結(jié)構(gòu)分析高級有限條樣條有限條法組合有限條法小結(jié)本章參考文獻1968年，Cheung Y.K教授創(chuàng)立了結(jié)構(gòu)有限條分析法，并成功應(yīng)用于簡支板的計算Powell和Qgden（1968）將此法應(yīng)用到板橋的分析中，拉開了有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用的大門用有限條法分析箱梁橋，連續(xù)板、梁結(jié)構(gòu)、加肋板、振動問題、穩(wěn)定問題等逐步發(fā)展起來，CheungY.k.教授在1976年對有限條法在橋梁工程中的應(yīng)用以及研究成果分別進行了總結(jié)在后來的二十多年中，有限條法的應(yīng)用范圍不斷拓寬，不僅應(yīng)用到各種復雜結(jié)構(gòu)的分

2、析中，還在非線性分析方面顯示出優(yōu)勢，有限層法、有限棱柱法和樣條有限條法也發(fā)展起來，并得到廣泛應(yīng)用。有限條法是一種混合法，它具有一般結(jié)構(gòu)法和有限元法的優(yōu)點。有限條單元結(jié)構(gòu)的組合單元是沿結(jié)構(gòu)縱向分布的“條”，條間縱向用接線連接，由于橋梁的縱向結(jié)構(gòu)和這種“條”式單元基本一致，故采用此法分析時十分有效。 有限條法(1)板條(a）位移函數(shù)在有限板條中，選用條帶節(jié)線中點的撓度（w）及x向（橋梁的橫向）的轉(zhuǎn)角 作為位移函數(shù)。圖示為一簡支板式橋的典型有限條。該板條的縱向撓曲形狀可采用正弦函數(shù)模擬，而撓曲面的橫向（xx）截面可用連接若干個多項式函數(shù)來模擬。現(xiàn)將位移函數(shù)取為)(xw板劃分為有限條 lymxfyxw

3、mrmsin)(),(1342321)(xaxaxaaxfmlymxwlymxwlymwwlymwwjmrmjjimrmiijmrmjimrmisinsinsinsin1111常數(shù) 可用變形協(xié)調(diào)條件)4 , 3 , 2 , 1( iaiimmimmxfwfx)0(,)0(, 0jmmjmmxbfwbfbx)(,)(,得出方程jmjmimimbabaawbababaaawa24323423212132,求出lymxNwxNxNwxNyxwjmjmimimrmsin)()()()(),(43211lymNzxwimrmisin),(1(b）能量方程iiiVU lxyyxbiyxyxwMywMxwM

4、U 0 22222 0 dd221 lbiyxyxwyxqV 0 0 dd),(),(典型有限條 lbiTilbxyyxiyxMyxyxwywxwMMMU 0 0 22222 0 0 dd21dd221、2122222imimrmmByxwywxw曲率向量 ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimcos2 cos2 cos2 cos2sin sin sin sinsin sin sin sin432142322124321彎矩或扭矩 yxwDMxwDywDMywDxwDMxyxyyyxx2221222

5、21222)()( 0 00 0 11mbmxyyxxyyxDDDDDDMMMMimimiblbTimTimrnrmiyxBDBUdd21 0 0 11 yxlzmyxqNVlbTTimrmidd 0 0 1sin),( （c）剛度矩陣 總勢能 iniiniiniVU111最小勢能原理 0Tm011iminiiminiTmVUyxLymyxqNyxBDBlbTimibibnilbTimdddd 0 0 1 0 0 sin),( imimnjimPK1 - - 2365154231kkkkkkkkkkKKKKKbjjTbijbijbijim對稱1224315651270136DkblDkblDb

6、klDblkmxymymx12243215215421012DbklDbklDkblDblkmxymymx1224223535420113DklDklDkblDblkmxymymx1224345651214096DbklDkblDbklDblkmxymymx1224225105840133DklDklDkblDblkmxymymx1224363015280DbklDbklDkblDblkmxymymx（d）荷載向量將各單元的節(jié)點荷載用正弦級數(shù)展開。該正弦級數(shù)應(yīng)在板條 方向上展開并和位移函數(shù)相似，即lyqlyqq2sinsin21yxlymyxqNMPMPPlbTjmjmimimimdd 0 0

7、 sin),(單元的荷載向量 均布荷載mlqbbbbPmim022) 1(1 122122集中荷載 0004030201sin)(),(),(),(ykFxNxNxNxNPmTim局部均布荷載 mimCqbxbxbxbxbxbxxbxbxxP024324232432342343 2 43222nnnxxx12)cos(cos121ykykkCmmmm（e）其它支承條件的位移函數(shù)選取對于板條來說，選擇合適的位移函數(shù)非常重要，一般情況下板條的位移函數(shù)可寫為)(),(mmrmyYNyxw1kyCkyCkyCkyCyYchsh4321cossin)(兩端均簡支 ykyYmmsin( 兩端均固結(jié) )(c

8、ossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是方程1- 的解 lkm0chcosklkl 一端簡支另一端固結(jié)ykykyYmmmmsh sin)(lklkmmmshsin而 是方程 的解，當 時， lkmklklthtg5mmlkm41兩端均自由; 1, 1)(11kyY1,21)(22klzyY)ch(cosshsin)(ykykykykyYmmmmmm 表達式同情況,當 時, 于情況2中的一端固結(jié)另一端自由m3mmk2mk)(cossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是

9、方程 的解。當 時， lkm0chcos1klkl10m)5 . 0( mlkm一端簡支另一端自由1,)(11klyyYykykyYmmmmshsin)(的表達式同情況，當 2時， 等于情況的mmmk1mk(2) 平面應(yīng)力條（a）位移函數(shù) 假定沿板的厚度方向的應(yīng)力可略去不計，如圖所示，則應(yīng)變變形關(guān)系xvyuyvxuxyyx應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 )(pxyyxxyxzyzyyxxyxxyyxDEEEEE1 0 00 0 11簡支的矩形板邊界條件 0),()0 ,( , 0),()0 ,(lxxlxuxuyy位移函數(shù) ykxdxddykxcxccvummrmcos)(sin)(221022101,/101

10、0ddcclmkm利用條之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系有rmjmjmimimmmmmrmmmNvuvuykbxykbxykbxykbxvu11cos 0 cos)1 ( 0 0 sin 0 sin11mmrmB 1mmrmPBDykbykkbxykbykkbxykkbxykkbxykbykbBmmmmmmmmmmmmmcoscoscoscossinsinsinsin1 1 1 0 1 0 0 1 0 1應(yīng)力,應(yīng)變（b）剛度矩陣和荷載向量 平面應(yīng)力條的應(yīng)變能yxtUxyxyyyxxblidd)(200yxtTbldd200yxBDBtmmplbTmrmTmdd2001 荷載勢能 yxqqvuyxldd -V

11、b00yxqqNyxTmblTmrmdd001yxqqNyxTmblTmrmdd001yxBDBtKmpTmblmdd 002356164231 - - kkkkkkkkkktKKKKKpjjTijpijpiimp對稱剛度矩陣 xymxymElbkEblkElbkEblk122 62214211225222122 62ElbkEblkElbkEblkmxymxyxymxmxymxmElkElkkElkElkk44 441613荷載向量 yxqqNPyxTmblmdd00集中力作用)cos(cos0/0/12100ykykkqbxbxPmmmxm 線荷載作用 ,)cos(cos0/0/12100

12、ykykkqbxbxPmmmxm 僅有均布載 作用在整個板條上xP mlbPPxmm) 1(1 021021xqxPyxFF ,(3) 薄殼條（a）剛度矩陣和荷載向量 在分析箱形梁用薄殼條，薄殼條是由板條和平面應(yīng)力條組合而成。對于兩邊簡支結(jié)構(gòu)，總勢能可寫為2111mTmrmmmTmrmPKVUTjmjmjmjmimimimimmwvuwvu ,位移列向量 bjjTbijpjjTpijbijbiipijpiimKKKKKKKKK 0 0 0 0 0 0 0 0 板條 平面應(yīng)力條 TjmjmyjmxjmimimyimximmMPPPMPPPP,（b）坐標轉(zhuǎn)換imimimimimimimimimim

13、wuwvvwuucossinsincos 00 mmmTtt1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin 0 cost坐標轉(zhuǎn)換 (4) 連續(xù)結(jié)構(gòu)分析 對于連梁板或箱梁結(jié)構(gòu)，可以先將中支承全部解除，代以未知反力 ，那么結(jié)構(gòu)是在外荷載和未知反力共同作用下的簡支結(jié)構(gòu)，跨徑為兩橋臺支點之距。而 應(yīng)滿足下式 jrjrjr0 2121212222111211nnnnnnnnrrr0r只要聯(lián)立有限條方程和此式進行求解即可。此法稱為柔度法，求解連續(xù)結(jié)構(gòu)的剛度法及支點沉降的處理可參見文獻高級有限條 上節(jié)所介紹的有限條位移函數(shù)，只能使條的橫向斜率和位移在節(jié)線處（或板邊）連續(xù)，但條的曲率和彎矩不

14、能滿足連續(xù)條件，且自由邊上的彎矩也不等于零。這個問題可通過下述兩種途徑來解決：（a）增加節(jié)線上的自由度；（b）在條內(nèi)加入內(nèi)節(jié)線，此即為高級有限條。 （1） 曲率連續(xù)板條如圖所示，在板條節(jié)線處增加一個位移參數(shù)橫向曲率 ，這樣，板條的橫向曲率和彎矩均是連續(xù)的，其計算結(jié)果將更精確 曲率連續(xù)板條這種板條位移可寫為lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,165432115431615101XXXN)3861 (4322XXXxN)(.322333150XXXxN543461510XXXN)374(4325XXXxN)(.3226250XXXxNbxX/Tjmjmjmimimimmww,imimxw)

15、/(22位移函數(shù)的曲率向量 ,12222mrmmTByxwywxw 2 2 2 2 2 2 654625242654321322212321ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsinsinsinsincoscoscossinsinsinsinsinsinlmkm/ 彎矩向量 mrmmBDM1 剛度矩陣 3651211924111081987365241 - - - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

16、Km對稱317120720710462181bDbCbBbAkbDbCbBAbk3519235163583465523235331563092403353bDCbBbAbk2247607101434620311bDCBAbkbDbCbBAbk73428455440281353511306018480232246DCbBbAbk37712072071023125bDbCbBbAk328760731434620151bDCBAbkbDbCbBAbk7342845544018139bDbCbBAbk351083570198019310354105210138601322411DCbBbAbk7063

17、012601108833512bDCbBbAbkxymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC2 2114條的荷載向量 mlqbbbbbbpmTm0323211120102120102)(,集中荷載用00060201ykpxNxNxNpmTmsin)(,),(),(2) 內(nèi)節(jié)線板條 如圖所示，在板條內(nèi)增加一條內(nèi)節(jié)線c，通常可將節(jié)線c放在板條中央，這樣，位移函數(shù)可用5次拋物線表示為內(nèi)節(jié)線板條lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,16543211Tjmjmcmcmimimmwww,54321246866231XXXXN)4121361 (4322XXXXxN)1632164323X

18、XXN)(43241640328XXXXxN543252452347XXXXN)485(4326XXXXxNbxX/72981061436512941183721 - - - - 0 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm對稱313550921052781052783465523bDbCbBbAk剛度矩陣 2223511381055921013231019bDCBAbk335512105256105256634bDCbBbAk22473842182186938bDCBAbk3535150810522105226930131bDbCbBbAk2263524270701386029bDCBA

19、bkbDbCbBAbk3533245245234652372285128105810583152bDCBAbkbDbCbBAbk76431543154115539bDbCbBAbk3538126126462031031151024105512105512315128bDbCbBbAkbDbCbBAbk7256315128315128346532312xymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC 12滿布均布荷載向量mlqbbbbbpmTm0221160307015860307)(, 值得注意的是，此種條元在邊界上的曲率亦是不協(xié)調(diào)的，但其解的精度要高一些。因為內(nèi)節(jié)線與其它條元無法連接

20、，在裝配總剛前可用靜力凝聚法給出內(nèi)節(jié)線 的位移參數(shù) c(3) 內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條如下圖所示，取位移函數(shù)為rmjmjmcmcmimimmmmvuvuvuNNNvu1321 cos 00 sinykNykNNmimiim21231XXN2244XXN232XXNbxX/rmmmB1rmmmpmBD1 - 0 0 0 0 - 0 0 332323211121ykNykNkykNykNkykNkykNykNkykNykNkykNkykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsincoscoscossinsinsin內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條剛度矩陣 7284961436511

21、841043721 - - - 0 - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm對稱xymElbkEblk1567211xymxElkEkmlk4412xymElbkEblk3034213xymxElkEkmlk3314xymxmElkEk lk121216xymElbkEblk606215xymEblEbklk6715227xymEblEbklk3430228xymElbkEblk154382110 xymEblEbklk660229xymEblEbklk381542211yxzyxxvvEEvvEE1,121內(nèi)節(jié)線位移參數(shù)亦可由靜力凝聚法獲得 分析箱形梁時，可采用由高級板條和高級平面應(yīng)

22、力條組合而成的高階薄殼條 樣條有限條法(1) 樣條函數(shù)三次B樣條函數(shù) 為)(ym其它 0 333 333 612132131211231312112312323mmmmmmmmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyhyyhhyyyyyyyhyyhhyyyyyhy)()()()()()()()()( 函數(shù) 及其一階導數(shù)、二階導數(shù)曲線如圖所示，其節(jié)點數(shù)值可查有關(guān)表 為了用樣條函數(shù)來插值任意連續(xù)函數(shù) 可將 分解為節(jié)點為 的等間距段，且)(ym),()(bayyf,bamyrabmyybyaymr/ )(,00),(rom則在節(jié)點上的函數(shù)值 為)(yS11)()(rmmmyCyS其中待定系數(shù)由 下

23、式獲得)()(),()()()()(00rrmmyfySromyfySyfyS則可得到求解未知系數(shù) 的線性方程組 mC)()(21),()()4(61)()(211111011rrrmmmmyfCChromyfCCCyfCCh11rmmyfyCyS)()()(為了獲得較高的精度，如將集中載作用點和支承點作為節(jié)點時，會用到變間距樣條函數(shù)，變間距三次B樣條邊數(shù)可寫為 0 0221413121212yyyyyfyyyfyyyfyyyfyyymmmmmmmmmmm)()()()()(2111112312212mmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()()(1211121312243m

24、mmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()(12212324mmmmmmmyyyyyyyyf(2)薄殼樣條有限條 由Y.K.Cheung和Fam在1983年提出的用于板橋、加肋板橋和箱梁橋分析的薄殼樣條有限條如圖所示薄殼樣條有限條1143211111)()()()1 ()()()1 (rmjmmjmmimmimmrmjmvimimvimrmjmuimimuimNwNNwNwvyXvyXvuyXuyXu)()(yXXNwimm321231)()(yXXxNimm2221)()23(323yXXNwjmm)()(24yXXxNjmmbxX/ 有了位移函數(shù)，條剛度矩陣，荷載向量等可按

25、前述有限條法獲得條的位移組合有限條法 如圖所示的由橋面板、縱梁、橫梁和立柱組合而成的橋梁結(jié)構(gòu)，可以采用Puckett和Gutkowski于1983年提出的組合有限條進行分析。組合條的剛度矩可以寫為ccttllDeKKKKK 板條或薄殼條的剛度矩陣； 單條縱梁剛度矩陣； 單條橫梁剛度矩陣； DKlKtK 單條立柱剛度矩陣； 組合條剛度矩陣。 cKeK將 裝配成總體剛度陣矩 ，其求解過程同一般有限條eKK組合有限條(1) 矩形組合條 矩形組合條如圖所示，包括板條或薄殼條、縱梁、橫梁和立柱。板條和薄殼條的剛度矩陣 已給出。 DK在組合條中，任意點的位移rmmmrmmmNyYNNNNw114321)(

26、,Tjmjmimimmww,321231XXNm)21 (22XXxNm32323XXNm)(24XXxNmbxX/)(,4321yYNNNNNmm附加單元（梁、柱）的剛度矩陣分述如下 （a）縱梁的彎曲剛度矩陣縱梁的彎曲應(yīng)變能為lllflyywIEU 0 22d2lrnnnrmmmllflyNyNywIEU 0 122122d2lmnTmllrmrnmyyNyNIE 0 222211d21rmnrnflmnTnK11 21444333423222413121114 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIIEKllflmn對稱 lnyyyI 0 m4dYY)()( 梁的抗彎剛度； 縱梁的彎曲

27、剛度矩陣 llIEflmnK（b）縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣縱梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為yyxwJGUlltld222lmTmlltlmnyyxNyxNJGK 0 22d444333423222413121115 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIJGKlltlmn對稱 lnmyyYyYI 0 5d)()( 縱梁的抗扭剛度； 縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。（c）橫梁的彎曲剛度矩陣llJGtlmnK橫梁的彎曲應(yīng)變能bttflxxwIEU 0 222d2bnTmttftmnxxNxNIEK 0 2222d 4 6- 12 2 6- 4 6 12- 6 122322323bbbbbbbbb/bYYIEKnmttftmn

28、/對稱 橫梁的抗彎剛度； 橫梁的彎曲剛度矩陣 ttIEftmnK（d）橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣橫梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能xyxwJGUbttttd2022bnTmttttmnxyxNyxNJGK 0 22d 4 3 36 3- 4 3 36- 3 6330222bbbbbbbYYbJGKnmttttmn對稱橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣（e）柱的軸 向 剛 度 矩陣221caacwkU44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkNNkKnmanTmaacmn對稱立柱的軸向應(yīng)變能橫梁的抗扭剛度（f）柱的彎曲剛度矩陣 立柱的彎曲應(yīng)變能由兩部分組成，分別是立柱的橫向轉(zhuǎn)動和縱向轉(zhuǎn)動。

29、橫向轉(zhuǎn)動應(yīng)變能221xwkUcxxc44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkxNxNkKnmxnTmxxcmn對稱縱向轉(zhuǎn)動應(yīng)變能221ywkUcyyc44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkyNyNkKnmynTmyycmn對稱、 立柱柱頂?shù)臋M、縱向抗轉(zhuǎn)動剛度 立柱的橫、縱向彎曲剛度矩陣 xkykycmnxcmnKK 獲得條中板和所有支承單元的剛度矩陣后，組合條單元剛度矩陣 可寫為emnKnclycmncxmnacmnntlttmnftmnnlitlmnflmnpmnemnKKKKKKKKK)()(

30、)( 條中縱梁個數(shù)； 條中橫梁個數(shù)； 條中立柱個數(shù)nlntnc(2) 矩形B樣條組合條采用薄殼樣條有限條時，縱梁、橫梁和立柱的應(yīng)變能分別為縱梁： lllllyllllyyxwJGywAEywevAEU 0 222222d21)(橫梁： bttttxtttlxyxwTGxwAEyweuAEU 0 222222d21)( 立柱： 22221xwkywkwkUxyac、 縱、橫梁重心離板重心之距。應(yīng)用位移函數(shù)，不難得到此種樣條組合條的剛度矩陣 lete 小結(jié) 有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)靜力、動力和穩(wěn)定分析方面得到廣泛應(yīng)用，并取得良好的效果，不僅因為此種方法綜合了一般結(jié)構(gòu)解析分析方法和數(shù)值分析方法的優(yōu)點，更重

31、要的是其所采用的單元與橋梁這種狹長結(jié)構(gòu)不謀而合。 有限條法自從誕生以來，其發(fā)展速度，應(yīng)用范圍不亞于有限元法。 在眾多國內(nèi)外學者的大量研究和實踐中，提出了有限層法、有限棱柱法、雙樣條子域法、有限條傳遞矩陣法等新方法。并擴展應(yīng)用到斜橋、彎橋。任意形狀板橋及材料幾何非線性分析等方面。以下就常見的用有限條法分析橋梁結(jié)構(gòu)問題進行討論。（1） 有限條方法選擇（a）有限條法、有限層法和有限棱柱法有限條法：薄板結(jié)構(gòu)，其中：基本有限條法：僅關(guān)心縱向位移和應(yīng)力的精度；高級有限條法：同時關(guān)心縱、橫向位移和應(yīng)力的精度；樣條有限條法：有內(nèi)力矩突變、集中荷載作用時，精度會提高，可分析任意形狀板橋。適于因定支承、自由支撐、

32、帶有中支承橋、彎橋等。有限層法：等厚度厚板橋，如上圖所示有限層 有限棱柱法：變厚度厚板橋、空心板橋和厚壁箱形梁橋，有限棱柱空心板 厚壁箱梁（b）板條、平面應(yīng)力條和薄殼條，均適于薄板結(jié)構(gòu)，其中 板 條：板橋承受豎向荷載； 單面應(yīng)力條：是向薄殼條的過渡，在橋梁上無對應(yīng)結(jié)構(gòu)； 薄 殼 條：薄壁箱梁橋。（2） 橋梁結(jié)構(gòu)的有限條模型建立（a）板 橋：薄板有限元，高級有限條樣條有限條（b）肋梁橋：板面板按薄板分析，按厚板分析（c）箱梁橋：厚壁箱，薄壁箱。可根據(jù)要求的精度不同，加 密或減少條的數(shù)量，但一般情況下，腹板可分 為1-3個條，翼板（在每兩腹板間）。可分為 2-5個條。 薄壁箱梁分條d）節(jié)線和條的編號 編號將影響剛度矩度的半帶寬，合理的編號可減小半帶寬，從而節(jié)省計算時間，如圖所示a優(yōu)于b節(jié)線和條的編號