1、信號與系統 第六章 離散系統的Z域分析w 6.1 Z變換變換 w 6.2 Z反變換反變換 w6.3 Z變換的性質變換的性質 w6.4 離散時間系統的離散時間系統的Z域分析域分析變換的地位和作用類似于連續系統中的拉普拉斯變換，利用變換把差分方程變換為代數方程，從而使離散系統的分析較為簡便。本章主要介紹和討論變換的定義及其性質；離散系統變換分析法；離散系統函數及系統穩定性等概念。 6.1 Z變換變換 6.1.1 Z變換的定義及其收斂域變換的定義及其收斂域離散序列Z變換 定義為 （6.1.1）即 是 的一個冪級數，其中 的系數就是 的值。式（6.1.1）稱為離散序列的Z變換定義式，可記為 （6.1.

2、2） ,1,0,1,fffnf zF nnnznfznfzfzfzfzF101101 zF1znz nf nnznfnfZzF一個連續函數 以均勻間隔進行抽樣后的函數 ,可以表示為抽樣后 的離散序列的拉普拉斯變換為 （6.1.3）如令 或 s = ，則 （6.1.4）由此可見，離散信號 的Z變換式在本質上仍然是離散信號的拉普拉斯變換。 tf tfs nTtnTfnTttftfnns tf nnsTnssenTfnTtnTfLtfLsFsTez zTln1 zFznTfsFnnZTssln1 nf變換定義式（6.1.1）稱為雙邊z變換。單邊z變換定義為 （6.1.5）工程實際的應用主要考慮單邊的

3、z變換。一般地，稱 為序列 的象函數；稱 為 的原函數。若 已知，根據復變函數的理論，原函數 可由下式確定 （6.1.6） 0nnznfzF zF nf zF nf zF nf nf dzzzFjnc121Z變換對變換關系可表示為z變換對又可簡記為 由式（6.1.4）可以看到，由于s是拉普拉斯變換中的復頻率，T為抽樣間隔，所以z 為一復數，它必可表示在一個復平面內，這個復平面稱為Z平面。絕對收斂的區域滿足條件為 nfZzF zFZnf1 zFnf 0nnznfsTez 圖6.1.1 收斂域關于的絕對收斂域，大致有以下幾種情形：（1）在整個平面絕對收斂。（2）在部分平面絕對收斂。如圖6.1.1所

4、示；6.1.2 典型序列的Z變換及其與收斂域的對應關系 （1）單位序列因為，將代入式6.1.5）得即單位序列的變換等于常數1，它在全平面收斂。記為 n 1n 0, 00, 1nnn n 01nnznnZzF（2）階躍序列階躍序列為，故有上式為一等比級數求和的問題，當，即時，該式收斂，并等于記為 n 0, 00, 1nnn 00nnnnzznnZzF11z1z 1111zzznZ 1zzn （3）指數序列 由定義得對于該級數，當，即時，級數收斂，并有這就是說，對指數序列，當收斂域為z平面上半經的圓外區域時，才存在。這里把R稱為收斂半徑。 332210101zazaazazznanaZzFnnnn

5、nn11azaz azzazzF111aRz zF對于在有限區間內的有界序列，其收斂域是整個平面。階躍序列、指數序列以及許多類似的單邊序列（也稱為右邊序列），其變換收斂域總在半徑為R的圓外區域。而左邊序列的收斂域是以半徑R的圓內部分。如是從負無窮延伸到正無窮的無限雙邊序列，它的收斂域通常是環形。常用序列的變換見表6.1.1。6.1.3 Z變換與拉普拉斯變換的關系 Z平面和S平面的映射關系。從式（6.1.4）知道，s 和z的關系是 或 （6.1.6）如果將s表示為直角坐標形式 將z表示為極坐標形式 將它們代入式（6.1.6）中，得到 （6.1.7） （6.1.8）sTez zTsln1jsjpe

6、z TepT為簡單起見，令，則由上式可以表明S平面與Z平面有如下映射關系：（1）S平面的虛軸（ = 0，s = j）映射到Z平面是單位圓（R =1， = ）；（2）S平面的左半平面（ 0）映射到Z平面是單位圓內（R 0）映射到Z平面是單位圓外（R 1）；（4）S平面的實軸（ = 0，s =）映射到Z平面是正實軸，平行于實軸的直線（為常數）映射到Z平面是是始于原點的輻射線。S平面與Z平面的映射關系如表6.1.2所示。1Tep 表6.1.2 S平面與Z平面的映射關系6.2 Z反變換 6.2.1 冪級數展開法（長除法）6.2.2 部分分式展開法 6.2.3 圍線積分法（留數法）6.2.1 冪級數展開

7、法（長除法）由z變換的定義式可知， 是 的冪級數。當已知 時，則只要把 按 的冪級數展開，那么級數的系數就是原序列 。在一般情況下，原序列 是因果序列（右邊序列），只要將 的分子分母多項式按z的降冪排列，然后利用長除法，便可將 展開成冪級數，從而得到原序列 。 0nnznfzF zF1z nf zF zF1z nf zF zF nf【例6.2.1】 求 的反變換 ，其收斂域為 。解 將 按z的降冪排列成下列形式做長除法如下 21zzzF nf1z zF 122zzzzF32321212111232134363223242221232zzzzzzzzzzzzzzzzzz從而有即可得 032132

8、nnnzzzzzF nnnf, 4 , 3 , 2 , 1 , 0 【例6.2.2】 若 ，試求其反變換 。解 由于指數函數 可展開成冪級數為所以 可展開為 上式 的系數即為原序列 zaezFxe032! 3! 21nnxnxxxxe zF 00!nnnnnzaznanzaezFnz nf ! nanfn6.2.2 部分分式展開法 在離散系統分析中，一般而言， 是的有理分式，即 = （6.2.1）可以象拉普拉斯反變換一樣，先將上式分解為部分分式之和，然后反變換求得原序列。為了便于計算，可以先將 展開成部分分式，然后再對每個分式乘以z 。式（6.2.1）中分母多項式的根為的極點。下面就的不同極點

9、情況介紹部分分式展開法。 zF zF zDzN01110111azazazbzbzbzbnnnmmmm zzF（1） 中僅含有單極點如 的極點z1、z2、z3、zn都互不相同，則 可展開為 = = （6.2.2）式中 ，各系數 （6.2.3）將求得的系數代入到式（6.2.2）后，等式兩端同乘以z，得即可得 的反變換為 （6.2.4） zFzzF)( zFzzF)(nnzzKzzKzK 110niiizzK000z nizzFzzKizzii, 1 , 0, niiizzzKKzF10 niniinzKnKnf10 zF【例6.2.3】 設z變換 ，求其原序列。解 因為 =故 = =由式（6.2

10、.3）得 zF23122zzzz 23122zzzzzF2112zzzzzzF)(2112zzzzz21210zKzKzK 2100zzFK 1111zzzFzK 5 . 1222zzzFzK故對上式取反變換得 25 . 1121zzzzzF nnnnfnn25 . 1121【例6.2.4】 求象函數 ， 的z反變換。解：首先求出 的極點，它是方程 的根，所以 有兩個單極點故可得 =由式（6.2.3）可求得 所以有 取上式的反變換得 zF232 zzz2z zF022zz zFzzF)(1212321zkzkzz1, 121KK zF12zzzz nnfnn12（2） 含有重極點設 在 處有m

11、階極點，則 中一定含有如下一項仿照拉普拉斯反變換的方法，將 展開為 = 式中 項是由于 除z以后自動增加了 的極點所致。上式的系數如下確定： （6.2.5） zF1zz zF mzzzNzF1 zFzzF)(zzF)(zKzzKzzKzzKmmm0111112111 zK00z zF 11111!11zzmnnnzzFzzdzdnK式中 。各系數確定以后，則有 （6.2.6）可利用查表的方式得到上式的反變換 （6.2.7）mn, 3 , 2 , 1 zF0111112111KzzzKzzzKzzzKmmm nzmnnnmzzzZmnm111121!11 【例6.2.5】 若 （ ）， 試求其反

12、變換。 解 在 是二重極點, 在 是單極點，因而展開成部分方式為 =其中 zF2131zzzz3z zF11z32zzzF)(311212211ZKzKzK11K 11131!111122zzzzz =所以 它的反變換為12K11131!121122zzzzzdzd13131322zzzzzK zF1132zzzzzz nnnfn13（3） 含共軛單極點如果 有一對共軛單極點 ，則 含有共軛極點部分 展開為 = （6.2.8）將 的共軛極點寫為指數形式，即令 zF zFjdcz2, 1zzF)(zzFa)(zzFa)(jdczKjdczKzzKzzK212211jejdcz2, 1 zF式中

13、， 令 ，則可以證明 ，將 代入式（6.2.8），得即得 其原函數為 （6.2.9）cddcarctan22jeKK11jeKK122121,KKzz jjjjaezeKezeKzzF11 jjjjaezzeKezzeKzF11 nnKeeKeeKnfnnjnjnjnjacos2111【例6.2.6】 若 （ ）， 試求其反變換。解 將 展開為其極點分別為即上式可展開為 zF41623zzz2zzzF)(2216416)(323jzjzzzzzzzzzzF24, 32122, 1, 0jejzzz242321221)(jjezKezKzKzKzzF上式中的各系數為將各系數代入展開式，得其原函數

14、為 2301zzFK 1112zzzFzK 04 .6323452jjzezzFjzK 04 .6323452jjzezzFjzK 24 .6324 .6324524512300jjjjezeezezzzF nnnnfnn04 .632cos2251236.2.3 圍線積分法（留數法） 若 已知，根據復變函數的理論，原函數 可由下式圍線積分確定圖6.2.1 為的收斂域， zF nf RzdzzzFjnfCn121圖6.2.1 的收斂域 zF 在收斂域內選取一個閉合路經C，由于 在 內絕對收斂，所以C的內部包圍了 全部極點，則根據復變函數的留數定理有 （6.2.10）式中Res表示極點的留數，式

15、（6.2.10）表明，原序列等于內的所有極點的留數之和。所以該方法也稱為留數法。 zFRz Rz 0Re2111nzzFsdzzzFjnfinCn 如果 在 有單極點，則 （6.2.11） 如果 在 有m重極點，則 （6.2.12） 1nzzFizz izzinizzzzFs1Re 1nzzFizz isRe izznmimmzzFzzdzdm111!11 【例6.2.7】 用留數法求【例6.2.5】中 的反變換。 解 它在 有單極點，在 有二重極點，由式（6.2.11）可求得其在 留數為由式（6.2.12）可求得其在 的留數為 zF 1nzzF2131zzzzn32z11z2z 0311Re

16、322122nzzzzzzzFzsnznzzniz2m 0131!121Re11nnzzzdzdzszn所以根據式（6.2.10）得其結果與【例6.2.5】完全相同。 nnnfn136.3 Z變換的性質 6.3.1 線性性質6.3.2 移位特性 6.3.3 尺度變換6.3.4 初值定理6.3.5 終值定理6.3.6 卷積定理6.3.1 線性性質z變換的線性性質表現為齊次性和可加性，即若 則 （6.3.1）式中a和b為任意常數。相加后序列的變換收斂域一般為兩個收斂域的重疊部分，如果在這些組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。 zFnfzFnf2211 zbFzaFnbfnaf2121【例

17、6.3.1】 求序列 的z變換。解 根據歐拉公式由線性性質，再利用查表6.1.1可得 可以記為 0cosn0021cos0jnjneenZnZ0cos0021jnjnee002121jnjneZeZ0021jjezzezz1cos2cos0202zzzz0cosn1cos2cos0202zzzz6.3.2 移位特性 圖6.3.1 序列的移位 對于雙邊序列 ，其右移m位后的單邊z變換為 （6.3.2）對于單邊序列，因為 ，故由式（6.3.2）可得 （6.3.3）因為 ，由移位特性，顯然有 nfmnf mkkmzkfzFz1, 02, 01ff zFzmnmnfm 1, 1zznn1zzzmnzm

18、nmm【例6.3.2】 求 變換。解 因為 根據式（6.3.3）得 = 6 = 1251nnfn 22zzn 1251nZzFn21zzz25z【例6.3.3】 求圖6.3.2所示矩形序列 的z變換。解 由圖所示，該矩形序列可表示為圖6.3.2 序列的移位 nf 4nnnf由于 ，根據移位特性，得由線性性質可得圖所示矩形序列也表示為故有 1zzn111434zzzzzn 32331111zzzzzzzznf 32331111zzzzzzzznf 32332111zzzzzzznf【例6.3.4】 求周期為N的單邊周期性單位序列=的z變換。解 根據線性特性和移位特性，單邊周期性單位序列的z變換為

19、 mNnNnNnnnnN20mmNn 111132NNNmNNNNNzzzzzzznnZ6.3.3 尺度變換設 ，則 乘以指數序列的z變換為 （6.3.4）上式表明，若 乘以指數序列 的z變換只要將的變換中的每個z除以a即可。 【例6.3.5】 若已知 的z變換，求序列 的變換。 zFnf nf azFnfanna nf0cosn0cosnan解 從【例6.3.1】可知根據式（6.3.4）的尺度變換可以得到 = =0cosn1cos2cos0202zzzz0cosnan1cos2cos0202azazazaz220101cos21cos1zaazaz2020cos2cosaazzazz6.3.

20、4 初值定理若 ，且 存在，則 的初值為 （6.3.5）這個性質表明，離散序列 的初值 可以通過 取時 的極限值而得到。 zFnf zFzlim nf zFfz lim0 0f nf zFz6.3.5 終值定理若 ，則若 的終值為 = 6.3.6）必須注意，為了保證 存在，只有當 時， 收斂才可應用. zFnf nf f nfnlim zFzzz1lim1 fn nf【例6.3.6】 某序列的z變換為 試求 。解 按式（6.3.6）求初值按式（6.3.6）求終值為 = = 當 時， ；當 時， 。由題意知，原序列為 ，可見以上結果是正確的。 azzzFaz ff,0 1limlim0azzzF

21、fzz f nfnlimazzzzz1lim1azzz1lim11a 0f 0f 1f nanfn6.3.6 卷積定理設 則 與 卷積和的變換為 （6.3.7） zFnfzFnf2211, nf1 nf2 zFzFnfnf2121 【例6.3.7】 求下列兩單邊指數序列的卷積和 。解 因為由式（6.3.7）得顯然， 的收斂域為 與 的重疊部分，把 展開成部分分式，得 nbnfnanfnn21 bzbzzzFazazzzF21 zFzFzY21bzazz2 zYaz bz zYbzbzazazba1顯然，的收斂域為與的重疊部分，把展開成部分分式，得取其反變換，即為序列與的卷積和= 卷積定理還在求

22、解離散系統的零狀態響應時非常有用。由于離散系統的零狀態響應等于輸入序列與單位響應的卷積和，即 由卷積定理得 （6.3.8）式（6.3.8）中稱為系統函數，它是單位響應的變換。后面會詳細介紹系統函數。取其反z變換，即為序列 與 的卷積和 = 卷積定理還在求解離散系統的零狀態響應時非常有用。由于離散系統的零狀態響應等于輸入序列與單位響應的卷積和，即由卷積定理得 （6.3.8）式（6.3.8）中 稱為系統函數，它是單位響應 的z變換。 nf1 nf2 nfnfny21 nbabann111 nhnfinhifnyizs zHzFzYzs zH nh【例6.3.8】 已知一離散系統的單位響應 和輸入序

23、列 ，即試在域求系統的零狀態響應。解 因為 由卷積定理 ，得 nh nf nnfnnhnn3121 3121zzzFzzzH zHzFzYzs zYzs31212zzz將上式展開成部分分式可得取其反變換即得系統的零狀態響應變換還有一些運算性質，就不一一介紹， 變換的常用性質如表6.3.1所示。 zYzs312213zzzz nyzs nnn3122136.4 離散時間系統的Z域分析6.4.1 利用Z變換求解差分方程 6.4.2 離散系統函數 6.4.3 離散系統的穩定性線性非時變離散系統是用常系數差分方程描述的，而z變換是求解線性差分方程的最有力工具，它的主要優點是：求解步驟簡明而有規律，其初

24、始狀態自然地包含在z域方程中，可一次性求得方程的全解；z變換把差分方程變換為代數方程，求解非常方便。6.4.1 利用Z變換求解差分方程 描述k階系統的后向差分方程的一般形式可寫為 （6.4.1）根據單邊z變換的移位特性， 右移i個單位的z變換為 （6.4.2）因 是在 時接入的，所以 的z變換為 （6.4.3）jnfbinyamjjmkiik00 ny 10innizinyzYziny nf0njnf zFzjnfj將式（6.4.1）兩邊取變換，并把式（6.4.2）、式（6.4.3）代入，得即可得 （6.4.4）由式（6.4.4）可見，第一項僅與初始狀態有關而與輸入無關；其第二項僅與輸入有關而

25、與初始狀態無關。由此取上式的反變換，得系統的全響應。 zFzbzinyzYzajmjjminnikiik0100 zFzazbzazinyazYkiiikmjjjmkiiikinnkiik000100由上述分析可知，利用變換求解系統的差分方程的響應一般步驟為：（1）對給定的差分方程進行z變換，將時域內的激勵 和響應 分別變換成z域內的激勵 和 響應。（2）對差分方程z變換后得到的代數方程求解，求得z域內的響應 。（3）對 進行反z變換，即可求的得待求的時域響應 。 nf ny zF zY zY zY ny【例6.4.1】 用變換分析法求解某離散系統的零輸入響應 。描述系統的差分方程為初始條件為

26、 和 。解 對差分方程z變換，根據移位特性，可得則由給定的初始條件和確定所需的初始條件有 nyzi 02615nynyny 20 y 31 y 021615121yyzzYzyzYzzY zYzYzi211651162615zzzyyy 026150016051yyyyyy從中解出將初始條件 和 代入 的式中，整理后可得將上式進行部分分式展開，得到 =對進行反z變換，可得零輸入響應為36232,671yy1y2y zYzi zYzi657222zzzz zYzi32722zzzz323zzzz nnynnzi323【例6.4.2】 描述某線性離散系統的差分方程為若輸入激勵序列為 ，初始條件 求

27、系統的零狀態響應。解 對差分方程兩邊取z變換，得到因為初始條件 ，激勵序列的z變換為 則上述方程變為 nfnbyny1 nanfn 01y zFbyzYbzzY1101 y zFazz azzzYbzzY1解出 ，并整理得到 將其進行部分分式展開，得到對 進行反z變換，即得到其零狀態響應 zY bzazzzY2 zYbzbzazazba1 zY nyzs nbabann1116.4.2 離散系統函數 （1） 的概念 = （6.4.6）式（6.4.6）表明：系統函數 僅決定于系統的差分方程，而與激勵和響應的形式無關. zH zFzYzskiiikmjjjmzazb00 zH zH引入系統函數的概

28、念以后，零狀態響應的象函數就可表示為 （6.4.7）當系統函數和激勵的象函數均已知時，則系統的零狀態響應隨之可定，即 （6.4.8）由前面可知，系統的零狀態響應是單位響應與激勵的卷積和，即 （6.4.9）重要結論:零狀態響應的象函數等于系統函數與激勵象函數的乘積 zHzFzYzs zHzFZnyzs1 nhnfnyzs當系統的激勵為單位序列 時，其零狀態響應稱為單位響應 ，那么此時有故式（6.4.6）變成為 則有 或 （6.4.10）可見，系統函數與單位響應構成z變換對。 n nh 1nZzF zHzYzs zHnhZ zHZnh1【例6.4.4】 已知一個線性時不變系統的系統函數為試確定該系

29、統的差分方程。解 將展開成如下形式因此差分方程為 zH11214312111zzz zH zFzYzzzz21218341121 zFzzzYzz21212183411 212283141nfnfnfnynyny【例6.4.5】 設有一數據控制系統的差分方程為求系統函數 和單位響應 ；若激勵為 求其零狀態響應.解 （1）求 在零狀態下對系統差分方程兩邊取z變換，得故 = = 12216. 016 . 0nfnfnynyny zH nh nnfn4 . 0 zH zFzzYzz1212116. 06 . 01 zH zFzY21116. 06 . 0121zzz16. 06 . 0222zzzz

30、（2）求 由于已經求出系統函數 ，取其z反變換即求得 。將 進行部分分式展開得求出系數 2.2 ，所以有取反變換即得單位響應 nh zH nh zH8 . 02 . 08 . 02 . 02)(21zKzKzzzzzH1K2 . 12K zH8 . 02 . 12 . 02 . 2zzzz nh nnn8 . 02 . 12 . 02 . 2（3） 當 時，有 由式（6.4.7）得系統的零狀態響應的象函數為 =利用部分分式展開法，得到對其進行反變換即得系統在激勵作用下的零狀態響應 nnfn4 . 0 zF4 . 0zz zHzFzYzs4 . 08 . 02 . 022zzzzz zYzs4 . 048 . 08 . 02 . 02 . 2zzzzzz nyzs nnnn)4 . 0(48 . 08 . 02 . 02 . 2（2） 的零極點分布與 單位響應變化規律的關系 為了認識系統的特性，有必要討論系統函數的極點所在位置與時域響應的變化規律之間的關系。設系統函數為式中為系統函數的零點；式中為的極點；為