1、平行四邊形中的特殊面積關系1 .問題引入平行四邊形中涉及到很多面積計算問題，根據平行四邊形的性質，可以得到一些特殊面積之間的規律性關系，掌握這些結論將有助于問題的求解。下面是一個我們都很熟悉的結論：如圖1, DABCD中對角線AC （或BD）將平行四1 .1邊形分成的兩個二角形全等，因此有SaABC =SaADC = S口ABCD （或SAABD =SACBD= S口ABCD ）。2 2引例：如圖，某村有一個呈四邊形的池塘，在它的四個角的頂點A、B、C、D處均種有一棵大核桃樹，該村準備開挖池塘建養魚池，想使池塘面積擴大一倍， 又不想移動核桃樹，并要求擴建后的池塘成平行四邊形形狀，該村能否實現這

2、一設想？若能， 請你設計并畫出圖形；若不能，請你說明理由。（畫圖要保留痕跡，不寫畫法）分析：連接對角線 AC、BD,分別過點A, B, C, D作對角線的平行線，相交于點 E、F、G、H,則DEFGH即為所求。2 .問題拓展2.1. 平行四邊形對角線將平行四邊形分成的四個三角形間的面積關系。如圖2, DABCD中對角線互相平分， OA=OC , OB=OD ,易證 AOB COD, ABOC= DOA , 所以 S>AAOB =SaCOD , SaBOC =SaDOA又由同底等高的三角形面積相等，可知：Saaob = Saboc1故有： Saaob =Sacod=Saboc =Sadoa

3、 = S口abcd4拓展結論1:在平行四邊形中，兩條對角線將平行四邊形分成的四個部分面積相等，且 都等于平行四邊形面積的四分之一。例1.如圖2, DABCD的對角線相交于 O, Saaob =4cm2, S口abcd =分析：由拓展結論 1, S口abcd =4 Saaob =4X 4=16 (cm2)A 晝 H 口2.2. 平行四邊形一條邊上的點與其對邊端點所連接的線段 將平行四邊形分成三個三角形間的面積關系。如圖3, DABCD中，P是邊BC上任意一點，過 P作PE /AB,易知四邊形 AEPB、DEPC為平行四邊形，則有Saabp= S AEP, SaPCD= Sa PED, 所以 Sa

4、 ABP+ SaPCD= SaAEP+ SaPED= SaPAD o1 -即： Sapab+ Sapcd= Sapad= S 口 abcd 2拓展結論2 :平行四邊形一條邊上的點與對邊兩端點所連接的線段，將平行四邊形分成三個三角形，其中兩個小三角形的面積和等于另一個大三角形的面積，并且等于 平行四邊形面積的一半。例 2 .如圖 4, DABCD 中，E 是邊 AD 上任意一點，Saabe =4, Saedc=8 ,則 Sabdc=1 - 一 一分析.Saabe + SaedcSdabcd =Sabdc=1222.3. 平行四邊形內任意一點與四個頂點連線將平行四邊形分成四個三角形的面積關系。如圖

5、5, P為DABCD內任意一點，連接PA、PB、PC、PD,將DABCD 分成四個三角形，過P分別作兩對邊的垂線，四個垂線段為h1、h2、h3、h4,則有111SApab= AB - h1, Sapcd= _ CD - h2=-AB - h2,2221- . Sapab+ Sapcd= AB21=AB21 h1+ AB h221(h1+h2)=Sn abcd21同理可得，SBPC+ SAPD= S 口 ABCD21 c故有： SAPAB+ SaPCD= SABPC+ SaAPD = 一 S 口 ABCD2拓展結論3:平行四邊形內任意一點與四個頂點連線,將平行四邊形分成四個三角形，相對的兩個三角

6、形的面積和相等，且等于原行四邊形面積的一半。例3.如圖6, P為DABCD內任意一點，Sapab=5,Saapd=2 ,貝U SaPAC =1 -分析：. SaPAB+ SaPCD= S 口 abcd= Saadc2SPAC= SADC 一 Sa PCD S APD = S 口 ABCD SPCD SAPD = SPAB SAPD =322.4 .平行四邊形對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線將平行四邊形分成四個三角形的面積關系如圖7, P是DABCD對角線AC上一點，連接AP、AC,過D、B分別向AC作高線,由 Sa ABC =SaADC ,則Wj 線相等。 APD、 APB是同底（AP）等

7、高三角形,Sa APD=SaAPB , 同理 SaCPD=SaCPBo1.又 Saapd+Sacpd= SaadcS口abcd ,21空APB+ SCPB=SABC= S口ABCD 。2拓展結論4:平行四邊形對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線將平行四邊形分成四個三角形，對角線異側相鄰的兩個三角形面積相等，對角線同側相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形的面積的一半。例4.如圖7, DABCD的面積為24cm2, P為對角線 AC上一點，連PB、PD,若四邊形PBCD的面積為16cm2,貝U Saapd =分析：Saapd+Saapb=24 - 16 =8 (cm2), Saapd=Saap

8、b=4(cm2)2.5過平行四邊形內任一點分別作兩對邊的平行線將平行四邊形分成的四個平行四邊形的面積關系。如圖8,過DABCD內一點P,作EF/BC,交AB、CD于A圖8E、F,作 GH / AB ,交 AD、BC 于 G、H,作 BC、AD 的垂線段 hi, h2。設 BH=m , HC=n。SaAEPG=m hi, S口BEPH=m h2, S口GPFD=n hi, S口HPFc=m h2貝U有： S口AEPG - S口 HPFC= S口 BEPH - S口GPFD拓展結論5:過平行四邊形內一點分別作兩對邊的平行線，將原平行四邊形分成四個小 平行四邊形，相對的兩個小平行四邊形面積的積相等。

9、例5.如圖9, 一塊平行四邊形實驗田里種四種不同的農作物，現需將該實驗田畫成四 個平行四邊形地快，已知其中三塊田的面積分別是14n2, 10nt 36mf,則第四塊田的面積為。分析：由拓展結論 5,可知第4塊田的面積為：36*10+14=竺 (R)72.6過平行四邊形對角線上任一點分別作兩對邊的平行線將平行四邊形分成的四個平行四邊形的面積關系。如圖10, P在DABCD對角線 BD上，過點P,作EF / BC ,交AB、CD 于 E、F,作 GH / AB ,交 AD、BC 于 G、H。由于此時P點在DABCD對角線上。除具有拓展結論5的性質外，還有以下結論：因為四邊形EBHP、GPFD均為平行四邊形，BP、PD為對角線,SaEBP=SBHP , SGPD=SFPD ,SAEPG=SABD - SEBP SGPD , S口HPFC= SCBD SBHP SFPD故有：S口AEPG= S 口 HPFC拓展結論6:過平行四邊形對角線上任一點分別作兩對邊的平行線將平行四邊形分成的 兩個平行四邊形、四個三角形，其中不被平分線平分的兩個小平行四邊形面積相等。例6.如圖10,在DABCD中，EF/ BC , GH / AB , EF與GH相交于P點，且P點在對角線BD上，則圖中面積相等