1、幾類能用概率模型解決的數學分析問題摘要 本文通過構造概率模型，舉例說明如何利用概率方法解決分析中的一些問題 求解分析中的一些題目。在文中通過構造適當的概率模型，具體解出了一些相關的例題。從中可以看出概率與數學分析的聯系以及用概率模型解決數學分析問題的美妙之處。關鍵字 隨機模型；級數求和；數列極限；積分。引言 我們都知道概率是數學的一個很重要的分支，它的理論及解題方法一般不同與數學分析中的問題。在概率論的討論中通常是應用數學分析的基本方法去解決一些概率問題，而本文則相反，重要說明分析中的一些不太好解決的問題通過構造概率模型，用概率模型去解決是很方便的。在解題是構造一個適當的概率模型，再利用隨機變

2、量函數的數學期望公式，將所求的積分，級數求和等問題轉化為隨機變量的數學期望進行求解。這樣以來，一方面顯示出概率方法在解決分析問題時的簡明性；另一方面也表現出了數學各分支之間的聯。并闡明利用概率方法的關鍵是根據數學分析中函數的形式構造適當的概率模型，然后利用相關的概率知識得出結果。本文將從一下幾個方面來探討這個問題，在解題的過程中我們可以看得出，應用概率模型解決分析問題不但方法別具一格，而且饒有興味。 Probabilistic method to solve mathematical analysisAbstract the probabilistic method may be used t

3、o solve some mathematical analysis problems,It not only links the different courses . But also making some mathematical analysis problems become simple. This paper reflect the connection between probabilistic and mathematical analysis through discussing some examples are solved.Keyword random model;

4、1.級數求和 通過構建適當的離散型隨機變量的概率模型，解決級數求和問題。1 2 3 2 解：1建立隨機模型，設隨機變量服從參數=1的泊松分布，P（=1）=（k=1，2，），E=,D=因為D=E2-（E）2 ，所以E2=2+=2 由于E2=.=2即=2e2設隨機變量服從參數=1的泊松分布，由方差定義可得E=E（-E）2=所以 即 3設隨機變量服從參數=2的泊松分布，有p（k=1，2）則又因為，則 可得綜上可得即以上級數求和是利用構造高率中的泊松分布概率模型解決的，下面將通過構造巴斯卡分布和幾何分布的概率模型解決級數求和問題。例2（1）（2）（3）解： （1）設隨機變量服從參數，巴斯卡分布，則P（

5、=）=CPq （=，+1），1為整數，0P1，p+q=1 E= 若r=1，p=1/2，則 =2 則 =所以 （2）與（1）同理可設隨機變量服從參數r=1，p=1/2的巴斯卡分布 所以 （3）與（1）（2）同理可設隨機變量服從參數r=1，p=1/2的巴斯卡則則=2又所以例3：求下列級數的和。（1） （2） （3）（1）解：設隨機變量服從p=的幾何分布，則q=2/3，P（）= p+q=1 （k=1，2）則所以 （2） 與（1）同理則所以 （3）因為設隨機變量滿足系數為，的幾何分布，則 當=1/2，=1/2時 當=2/3，=1/3時 則 所以 ×=2即=2例4 已知無窮級數試求級數的和？解

6、：構造概率模型如下：袋中裝有白球，紅球各一個，有返回的取兩次，若兩次均取得白球就看作是成功的，若不成功就再放入一紅球。這樣一直下去，如果成功則可得獎，試求得獎的概率？解：由以上的試驗可知第一次成功的概率為，第一次失敗而第二次成功的概率為，第一次，第二次連續失敗，第三次成功的概率為。試驗一直進行下去，則得獎的高率為+ 由于各次試驗中失敗的概率依次為：所以，所有各次試驗都失敗的概率為=則得獎的概率就為1-=即所求級數和為 由此可見，某些無窮級數的求和問題雖然用高數知識很難解決，但是用概率方法，只需構造適當的概率隨機模型，復雜的級數求和問題就會迎刃而解。2 證明不等不等式的證明方法很多，技巧也是靈活

7、多樣，不少問題不至用一種方法而且還要用多種方法綜合使用才能解決。下面將結合概率中的隨機變量的數學期望，方差的性質，通過構造恰當概率分布密度函數，證明不等式。 詹森不等式的證明：設是一隨機變量，（a，b） (-ab+）（1）設函數yf（x），x（a，b）是連續上凹函數，若E和E f（x）存在，則 E（f（）f（E（）（2）設函數yf（x），x（a，b）是連續下凹函數，若E和E f（）存在， 則 E（f（）f（E（）下面證明詹森不等式：證明 （1）設f（x）在（a，b）上是上凹函數，則取任意x1，x2（a，b） ，由凹函數的性質 f（x1）+f（x2） f（x）f（） 過f（x）上的任一點M0（x

8、0，y0）做該函數曲線的切線，則切線方程 y=k（x-x0）+f（x0） 由于f（x）是上凹的，所以對x0，x（a，b）都有切線位于曲線的下方， 即 f（x）k（x-x0）+f（x0）現取x0= E（），令x0= 則有 f（）k（- E（）+ f（E（）因為數學期望是反映隨機變量的平均特征，所以由數學期望的性質可得 E（f（）Ek（- E（）+f（E（） E（f（）E（k）-E（kE（）+E（f（E（） E（f（）k E（）- k E（）+ f（E（）即 E（f（）（E（）（2）與（1）同理過 f（x）上的任一點M0（x0，y0）做該函數曲線的切線，則切線方程 y=k（x-x0）+f（x0）由

9、于f（x）是下凹函數，所以對 x0，x（a，b）都有切線位于曲線的上方， 即f（x）k（x-x0）+f（x0）現取x0= E（），令x0= 則有 f（）k（- E（）+ f（E（）因為數學期望是反映隨機變量的平均特征，所以由數學期望的性質可得 E（f（）Ek（- E（）+f（E（） E（f（）E（k）-E（kE（）+E（f（E（） E（f（）k E（）- k E（）+ f（E（）即 E（f（）（E（）以上是用概率方法證明詹森不等式，下面將同過構造概率模型，應用詹森不等式證明數學分析中一些重要的不等式。例 1 證明楊格不等式：若a0，b0，且p1， =1，則a bap/p+bq/q證明 設離散型

10、隨機變量的概率分布列為ap bq 1/p 1/q設E=例2:設在a,b上可積,且mM,0，f(x)是（a,b）上的凹函數則f證明：設連續型隨機變量的分布密度為f(x)= 滿足，且非負，又設y所以則因為f(x)在a,b上是凹函數，所以即例3：設f(x)是a,b上的凹函數,則f 證明：設連續性隨機變量服從均勻分布，其分布密度為 ，則而因為f(x)是a,b上的凹函數,所以由詹森不等式知f在上面利用詹森不等式證明可見，定理條件f(x)是上凹或下凹函數，該條件中設法構造一個恰當的函數是非常重要的，這種證明不等式的方法往往起到事半功倍的作用。例4：證明柯西不等式設為任意實數，則當且僅當時等號成立。證明：設

11、隨機變量的概率分布為則 由于 所以 當且僅當服從單點分布時成立，這樣便有，也就是，當且僅當時成立。從以上分析可以看出，通過運用概率方法，構造一個適當的概率分布密度，去證明不等式，比運用代數方法證明簡單明了，具有一定的實際應用價值，它又使數學的不同分支之間架起了橋梁。3求數列極限一類能用數學概率解決的數列極限，主要的思想就是通過構造一個概率分布密度，并求得極限和，再充分利用級數收斂的必要條件證明該數列通項的極限為零，判斷無窮級數的斂散性。在數學分析中，我們都知道一級數收斂的必要條件是若級數收斂，則通項的極限為零。例1:證明： 證明：設隨機變量服從參數的泊松分布，則由于 則 所以即無窮級數收斂，又

12、級數收斂的必要條件可知：例2：使討論下列級數的收斂性：解：設隨機變量服從參數的泊松分布，則 則 所以即： 故：即：該級數收斂。用概率方法求數列極限，判斷無窮級數的斂散性可以簡化數學分析中解題的復雜過程，而且步驟簡潔明了。其實很多的類似數列求極限都可以通過概率方法解決，例如在本問題1中的可以通過用概率的模型解決級數求和，再利用級數收斂的必要條件，確定通項的數極。例2:求證:當時, 證明:設獨立隨機變量序列有相同的泊松分布,參數由于泊松分布的再生性(可加性),所以是服從參數的泊松分布,這時 由于獨立同分布且方差有限,由林德貝格-勃維定理知中心定理成立:4求積分用正態分布密度模型求積分是一種很好的，非常巧妙的求積分的方法。正態分布是概率論中最重要的一種分布，根據密度函數的表達式，即可以確定其均值與方差，又可以利用連續性隨機變量密度的性質計算積分。例1：計算下列積分（1）： （2）：解：（1 ）：；令 則則這里的可以看做隨機變量服從的正態分布則 所以（2）可以變形為設隨機變量服從參數的正態分布則為 所以為故例3：設f(x),x0,1是連續函數，使求解：假設隨機變量在0 ,1服從均勻分布，且相互獨立，有所以由柯爾莫哥洛夫