1、學號：1012201045姓名：孫宇陽學院：機械工程學院超松弛迭代法及其改進形式在求解線性方程組中的對比一、迭代原理迭代法是將求一組解轉換為求一個近似解序列的過程，并用最終的近似解來 逼近真實解。迭代法需要考慮以下3個重要問題。（1）迭代的初始值考慮初始值的選取是否有范圍限制，不同的初始值對最終的迭代結果是否有影 響。（2）迭代算法考慮怎樣由當前的迭代結果得出下次迭代的初始值，由于不同的算法會帶來 不同的誤差，所以應考慮算法使誤差放大還是減小。（3）迭代算法考慮迭代是否收斂，收斂的過程是快還是慢。二、超松馳迭代法（SOR）如果對系數線性方程組的矩陣 A作以下分析：A = （D - 丄）-（1

2、-，）D U ）其中D是由A的主對角元素組成的對角陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣；- 是事先選好的常數，即松弛因子，當 >1時叫超松馳法，當 <1時叫低松馳法。其迭代公 式為：xk 尸（D - L）'（1 - ）D U xk（D - L）'b三、超松馳法的改進形式（SSOR超松馳法的改進形式采用的是兩步迭代的公式：（D - 丄）Xk 1/2 八（Uxb） （1 - JDXk（D -，L）Xk1 八（Lxb） （ ）DXk1/2四、方程組的求解現分別用兩種迭代方法對下面的方程組進行求解對比。"4X + 3x2 = 24* 3治 + 4x2 - x3 =

3、30x? + 4X3 = 24其中取初始值為0,0,0。(1) 用超松馳法求解在MATLAB命令窗口中輸入求解程序：>>A = 4 3 0; 3 4 -1; 0 -1 4;>>b = 24 30 -24'>>x0 = 0 0 0'>>x ,n = SOR(A,b,X0,1.25)輸出的計算結果為：x =3.00004.0000-5.0000輸出的迭代次數為：n = 14可見，經過14次迭代，SOR迭代法求出了方程組的解為x1,x2,x3 = 3,4,-5。(2) 用改進的超松馳法求解在MATLAB命令窗口中輸入求解程序：>&

4、gt;A = 4 3 0; 3 4 -1; 0 -1 4;>>b = 24 30 -24'>>x0 = 0 0 0;>>x, n = SSOR(A,b,X0,1.25)輸出的計算結果為：x =3.00004.0000-5.0000輸出的迭代次數為:n = 34可見，經過34步迭代，SSOR迭代法求出方程組的解為 x1,x2,x3 = 3,4,-5。 對比上面兩種方法對同一個線性方程組的求解結果可知，SOR 迭代法（ 14 步迭代）比SSOR迭代法（34步迭代）要快一些。五、實現過程源代碼（1）用超松馳法（SOR求解時的源代碼function x,n

5、= SOR（A,b,x0,w,eps,M） %采用超松馳迭代法求解線性方程組 Ax=b 的解 %線性方程組的系數矩陣： A%線性方程組中的常數向量： b%迭代初始向量： x0%松馳因子： w%解的精度控制： eps %迭代步數控制： M %線性方程組的解： X %求出所需要精度的解的實際迭代步數： nif nargin= =4eps = 1.0e-6;M=200;else if nargin<4error;return;else if nargin= =5M=200;Endif(w<=0|w>=2) % 收斂條件要求error;return;endD=diag(diag(A)

6、;L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1;%迭代過程while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp(Warning: 迭代次數太多，可能不收斂！ );return;endend(2)用改進的超松馳法(SSOR求解時的源代碼function x,n = SSOR(A,b,x0,w,eps,M) %采用超松馳迭代法求解線性方程組Ax=b 的解%線性方程組的系數矩陣： A%線性方程組中的常數向量： b%迭

7、代初始向量： x0%松馳因子： w%解的精度控制： eps%迭代步數控制： M%線性方程組的解： X%求出所需要精度的解的實際迭代步數：nif nargin= =4eps = 1.0e-6;M=200;else if nargin<4error;return;else if nargin= =5M=200;endif(w<=0|w>=2) % 收斂條件要求error;return;endD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B1=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);B1=inv(D-U*w)*(1-w)*D+w*L);f1=w*inv(D-L*w)*b;f2=w*inv(D-U*w)*b;x12=B1*x0+f1;x=B2*x12+f2;n=1;%迭代過程