1、二次函數(shù)的建模知識歸納：求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點：1 .運用配方法求最值；2 .構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3 .建立函數(shù)模型求最值；4 .利用基本不等式或不等分析法求最值.一、利用二次函數(shù)解決幾何面積最大問題1、如圖1,用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗Ho（1）設(shè)矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？解：（1）設(shè)矩形的長為x（米），則寬為（18-x）（米），根據(jù)題意，得：y=x（18-x）=-x根據(jù)題意,得：y = x(x) = - x2 +25x；

2、22Ix> 0又: 50 -x ,，> 050 -x1 2- y = x() =一 x +25x 中,22+18x；又3x>0,.（Xxv18"""F18-x>0;:/（自變量x的取值范圍是關(guān)鍵，在幾何類題型中，經(jīng)常采用的辦法是：j二二圖1利用含有自變量的加減代數(shù)式的邊長來確定自變量的取值范圍，例如上式中，18-x,就是含有自變量的加減代數(shù)式，考慮到18-x是邊長，所以邊長應(yīng)該0,但邊長最長不能超過18,于是有0V18-xv18,0<x<18）（2）.y=x（18x）=x2+18x中，a=-1<0,.y有最大值，即當(dāng) x=

3、-b = -18=9 時,2a 2 (-1)y max4ac -b2 _ 0 -1824a 4 (-1)=81故當(dāng)x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。點評：在回答問題實際時，一定注意不要遺漏了單位。2、如圖2,用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？50-x(X xV50a=-<0,，y有最大值, 2解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（2）（米），.224ac -b 0 -256254a一.b25即當(dāng)乂=一?=一'5=25時，ymax2a2(-1)2625故當(dāng)x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大

4、面積為2平方米3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.解：(1)設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm,則另一段為(20-x)cmx220-x2()()=17由題意得：44解得：x1=16，x2當(dāng)x1=16時，20-x=4;當(dāng)x2=4時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。(2)不能。理由是：設(shè)第一個正方形的邊長為xcm,則第二個正方形的邊長為20 -4x

5、4= (5-x)cm,圍成兩個正方形的面積為ycm2,222根據(jù)題意，得：y=x+(5一x)=2x-10x+25,22c2.y=x+(5-x)=2x-10x+25中，a=2>0,.y有最小值，22b-1054ac-b24225-10225,X=-c二一八clymin即當(dāng)2a2M22時，4a4x22=12.5>12故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.4、如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x,正方形EFGH的面積為y.(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；BGC(2)正方形EFGHt沒有最大面積？若有，試確定E點位置；若沒有，說明理由.解：二.四邊形A

6、BCD是邊長為a米的正方形，.A=/D=90°,AD=a米.丁四邊形EFGH為正方形,./FEH=90°,EF=EH.在AEF與4DHE中，vZA=/D,/AEF=/DHE=90°-/DEHEF=EH .AEFADHE (AAS) , . AE=DH=x米,y=EF2=AE+AF2=x2+(a-x ) 2=2x2-2ax+ aAF=DE= (a-x )米，,即 y=2x 2-2ax+ a 2；(2) . y=2x 2-2ax+ a2=2x- 2 ) 2+ 4 ,當(dāng)x= 2時，S有最大值.故當(dāng)點E是AB的中點時，面積最大.P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以1cm/sC以

7、2cm/s的速度移動，如果P、Q兩點5、在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點同時出發(fā)，分別到達B、C兩點后就停止移動.(1)運動第t秒時，PBQ的面積y(cm2)是多少？(2)此時五邊形APQCD勺面積是S(cm2),寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.(3) t為何值時s最小，最小值時多少？答案：1 /、9(1)y=_(6-t)2t=t2+6t2(2)S=6,12-(-t2+6t)=t2-6t+72(0<t<6)，：S=(t-3)2+63.當(dāng)t=3時；S有最小彳t等于636、小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長

8、10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門(木質(zhì)).花圃的長與寬如何設(shè)計才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為x米，則花圃的長為(32-4x+3)=(35-4x)米，面積為S從而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x0V35-4x<10.6.25<x<8.75S=-4x2+34x,對稱軸x=4.25,開口朝下當(dāng)x>6.25時S隨x的增大而減小故當(dāng)x=6.25時，35-4X6.25=10S取最大值56.25

9、m2.答：可設(shè)計成寬6.25米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大.變式1:小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃,他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，花圃的寬寬究竟應(yīng)為多少米才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為x米，則花圃的長為(32-2x)米，面積為S設(shè)矩形面積為y米2,得到：S=x(32-2x)=-2x2+32x0<32-2x<10.11<x<16由圖象或增減性可知x=11米時，S最大=110米27:某人定制了一批地磚，每塊地磚(如圖所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD點E、F分別

10、在邊BC和CD上，ACFBABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、種地磚按圖所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形(1)判斷圖中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？20元、10元,若將止匕EFGHDDC解：(1)四邊形EFGH是正方形.A圖可以看作是由四塊圖所示地磚繞C點按順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF=CG.CEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形.B那么X 30+2 X 0,4 X (0.4-x) X 20+0.16-

11、2xi-2 X 0.4 X (0.4-x)X 10(2)設(shè)CE=x,則BE=0.4-x,每塊地磚的費用為y通=10(x2-0.2x0,24)一一2_一=10(x-0.1)2,3(0:二x:二0.4)當(dāng)x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1.答：當(dāng)CE=CF=0.1米時，總費用最省.8、某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上建一個矩形花園ABCD花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成.若設(shè)花園的寬為x(m),花園的面積為y(m2).(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；(2)根據(jù)(1)中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢；并結(jié)合題意判

12、斷當(dāng)x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？2解.y=x(402x)=2(x20x)_2_=-2(x-10)2000<40-2x<15.12.5<x<20二次函數(shù)的頂點不在自變量x的范圍內(nèi)，而當(dāng)12.5Mx<20內(nèi)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=12.5時，ymax=-2(12.5-10)2+200=187.5(平方米)答：當(dāng)x=12. _625Sm ax -.當(dāng)x =25時，3 (平萬米)即：雞場的長度為25米時，面積最大.50中間有n道籬笆，則寬為n十2米，設(shè)面積為S平方米.米時花園的面積最大，最大面積是187.5平方米.9.如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的

13、一邊靠墻，如果用50m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x米.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m?(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少米？比較(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6253則:c 50 -xS 二 xn 2(x2-50x)=2(x -25)2625n 250-x解：(1);長為x米，則寬為3米，設(shè)面積為S平方米S=x50-x=-1(x2-50x)=-1(x-25)2333c6256一=max_、.當(dāng)x=25時，n+2(平萬米)由(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長都是25米.即：使面積最大的x值

14、與中間有多少道隔墻無關(guān).10、(08山東聊城)如圖，把一張長10cm,寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).X(1)要使長方體盒子的底面積為48cm2,那么剪去的正方形的邊長為多少？(如果要問，剪去四個正方形后的面積是多少)(2)你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；(3)如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去

15、的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由.解：(1)設(shè)正方形的邊長為工cm,則QO-2現(xiàn)"21)二48.即/_久+8=0.解得氏=8(不合題意，舍去).剪去的正方形的邊長為1cm.(2)有側(cè)面積最大的情況.設(shè)正方形的邊長為】cm,盒子的側(cè)面積為Zcm2,則Z與X的函數(shù)關(guān)系式為："2(10-2力+2(8-2.即丁 = -8八36彳.改寫為丁 = -8| X -81 + 2;當(dāng)工二2.25時，加=40.5即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2.設(shè)正方形的邊長為叮169T(3)有側(cè)面積最大的情況.cm,盒子的側(cè)面積為cm2.若按圖1所示的方法

16、剪折,10-2x-從憶二乃一，y=2(8-2x)x2x則)與X的函數(shù)關(guān)系式為：2即16913x二6時，若按圖2所示的方法剪折，則IJ與1的函數(shù)關(guān)系式為:3)98+ 3解：（1）根據(jù)題目條件，將& C的坐標(biāo)代入y=嬴+。6 = G0 = 100a+c解得 二8-2xy=2(10-2x)x2x71_98三時，壯大一百比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為3cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為3cm2.11.（08蘭州）一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖16所示），拱高6m,跨度20m,相鄰兩支柱間的距離均為5m.（1）將

17、拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖17所示），求拋物線的解析式；（2）求支柱及7的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2ms高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說明你的理由.從&C的坐標(biāo)分別是業(yè)D。，。），幽設(shè)拋物線的解析式為ym十二所以拋物線的表達式是3 , £y- / + 650（2）可設(shè)從而支柱刷的長度是10-45=5.5米.（3）設(shè)DM是隔離帶的寬，MG是三輛車的寬度和，則G點坐標(biāo)是（7°）.3,過G點作GH垂直4s交拋物線于丑,，則=-_x7i+63,06>3五50根據(jù)拋物線的特點

18、，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.12、12、（2006年南京市）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD,線段EF=10.在EF上取一點M,?分別以EM、MF為一邊作矩形 EMNH、矩形 有最大值？最大值是多少？ 解：二.矩形MFGN s矩形MF=2MN =2xMFGN ,使矩形 MFGN s矩形 ABCD ,令MN=x ,當(dāng)x為何值時，矩形 EMNH的面積SABCDEM=10-2x. S=x (10-2x) =-2x2+10x=-2(x-2.5) 2+12.5.0 <2x <10 , . 0 <x <5當(dāng)x=2.5時，S有最大值12.54 -xy 一313、已知

19、邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2,BF=1,試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x,NP=y,則矩形PNDM的面積S=xy（2<x<）4易知CN=4-x,EM=4-y.過點B作BH，PN于點H則有AFBsbhpAFBHBFPHy=x+5,2_12_,S=xy=x+5x（2WxW4）,2此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5,，當(dāng)xW5時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，12對于2<xE4來說，當(dāng)x=4時，S最大=1M42+5父4=12.2【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的

20、結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.14.如圖，矩形ABCD的邊AB=6cm,BC=8cm,在BC上取一點P,在CD邊上取一點Q,使/APQ成直角，設(shè)BP=xcm,CQ=ycm,試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式./APB+/QPC=90°./APB+/BAP=90,./QPC=/BAP,/B=/C=90./.AABPAPCQ.ABBP6_xPC-CQ,8-x-y1 24y = - -x2 +- x6315、如圖所示，在一個直角 MBN的內(nèi)部作一個長方形長方形的面積為y m2,要使長方形的面積最大，其邊長A." m B.

21、6 mC. 15 m4ABCD,其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè) AB=x m, x應(yīng)為（D ）D. 9 m2解：AB=x m, AD= b ,長方形的面積為 y m2. AD/BC MAD MBNAD MABN MB12512b 二一(5 -x)5,12,_、12 , 2y=xb = x，（5 -x）= （x -5x）, 當(dāng) x = 2.5時，y 有取大值. 55二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題1、如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂（拱橋洞的最 高點）離水面2m,水面寬4m.如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是 解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y = ax

22、 （2, -2 ）應(yīng)在此函數(shù)解析式上.11 2a = - -y = -x則-2 = 4a 即得 2, 那么 2(a w 0); 那么2、某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖(1)所示.圖(2)建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y(米)與水平距離x(米)之間的y=-x, 八 22+2x+5關(guān)系是在 RTA WGH,由題可 知，WF=14.5, WG=14.5- 1=13.5 ,根據(jù)勾股定理知：.請回答下列問題：(1)柱子OA的高度是多少米

23、？(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？解：(1)把x=0代入拋物線的解析式得:y=5,即柱子OA的高度是-4=a x 102 a=-1/25所以此拋 物線的解 析式 為：y=-x 2/25（2）設(shè)水面上升hm,水面與拋物線的交點為（d/2,h-4 ）,帶入拋物線得h-4=-d 2/4 X 1/25 化簡得：d=1（V4-h（3）將d=18代入d=1討4-h得：h=0.76所求最大水深為：2+0.76=2.76（米）所以當(dāng)水深超過2.76米時就會影響過往船只在橋下的順利航行6 、林書豪身高1.91m ,在某次投籃

24、中，球的運動路線是拋物線y=- -1x2+3.5的一部分（如圖），若命 中籃圈中心，則 他與籃底的距5離約為（）A. 3.2m B. 4m44(2)由題意得：當(dāng)x=-2一二1時,2M(-1)(3)把y=0代入拋物線得:2-5-1人，一一一5-x+2x+=0,解得，x1=-(舍去，不合題息),x2=-4225故水池的半徑至少要2米才能使噴出的水流不至于落在池外3 .一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米.(1)如圖1,若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系.求拋物線的解析式；要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？(2)如圖2,

25、若把橋看做是圓的一部分.求圓的半徑；要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？DAGB2解：(1)設(shè)拋物線解析式為：yax c,二.橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米， . A ( T0, 0) , B ( 10 , 0) , D (0, 4),1圖1100a c =0. c=4a二25:1c=4，拋物線解析式為:y 二一25x2 4；031x24.要使高為3米的船通過，.y=(2)設(shè)圓半徑 r 米，圓心為 W b BW2=BC2+CW2 r =(一4)*0 ,解得：r =14.5；,M25，解得：x=±5,EF=10米;4 .有一座拋物線形拱橋，正常水位橋下面寬度為20米，

26、拱頂距離水平面4米，如圖建立直角坐標(biāo)系，若正常水位時，橋下水深6米，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18米，則當(dāng)水深超過多少米時，就會影響過往船只的順利航行（）A. 2.76 米B. 6.76 米20米解：設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2,在正常水位下x=10,y=-4,代入解析式得-4=ax102a=-1/25所以此拋物線的解析式為：y=-x2/25因為橋下水面寬度不得小于18米，所以令x=9時可得：y=-81/25=-3.24此時水深6+4-3.24=6.76米即橋下水深6.76米時正好通過，所以超過6.76米時則不能通過.故選B5、有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為2

27、0m,拱頂距離水面4m（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m時，橋下水面白寬度為d（m），求出將d表示h的函數(shù)解析式.（3）設(shè)正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行？解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2,在正常水位下x=10,y=-4,代入解析式得1 2解：由題意得：3.05=-1X2+3.5,5x2=2.25，:籃圈中心在第一象限，x=1.5，.,他與籃底的距離約為1.5+2.5=4m，故選B.7.如圖是江夏寧港靈山腳下古河道上一座已有了

28、400年歷史的古拱橋的截面圖，這座拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線兩端點與水面的距離都是1m,拱橋的跨度為10m,橋洞與水面的最大距離是5m,如果在橋洞兩側(cè)歲聲:”1壁上各安裝一盞距離水面4m的景觀燈，則兩盞景觀燈之間f窄江皿卜1clmJ，1m.的水平距離是（）、一，二，二,1'%_一產(chǎn)一一一,1IA.3mB.4mC.5mD.6m解：拋物線的頂點坐標(biāo)為（5,5），且經(jīng)過點（0,1）,設(shè)拋物線解析式為y=a（x-5）2+5,把點（0,1）代入得：a=-4/25拋物線解析式為y=-4/25（x-5）2+5,令y=4,得：x1=15/2x2=5/2盞景

29、觀燈之間的水平距離是：15/2-5/2=5m故選C.先不做此題7.如圖，在“江夏杯”釣魚比賽中，選手甲釣到了一條大魚，魚竿被拉彎近似可看作以A為最高點的一條拋物線，已知魚線AB長6m,魚隱約在水面了，估計魚離魚竿支點有8m,此時魚竿魚線呈一個平面，且與水平面夾腳a恰好為60°,以魚竿支點為原點，則魚竿所在拋物線的解析式為8.如圖，AB是自動噴灌設(shè)備的水管，點A在地面，點B高出地面1.5米.在B處有一自動旋轉(zhuǎn)的噴水頭，在每一瞬間，噴出的水流呈拋物線狀，噴頭B與水流最高點C的連線與水平線成45°角，水流的最高點C與噴頭B高出2米，在如圖的坐標(biāo)系中，水流的落地點D到點A的距離是.

30、解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，過C點作CELy軸于E,過C點作CF,x軸于F,.B（0,1.5）,/CBE=45°,EC=EB=2*：,vCF=AB+BE=2+1.5=3.5,.C(2,3.5)設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-2)2+3.5,又丁拋物線過點B,.1.5=a(0-2)2+3.5a=-1/2所求拋物線解析y=-1/2(x-2)2+3.5,即y=-x2/2+2x+3/2v拋物線與x軸相交時,y=0,即-x2/2+2x+3/2=0“=2+巧.二點D坐標(biāo)為(2+6,0)水流落點D到Ax2=277(舍去)點的距離為：2+5米9.如圖，是江夏廣場設(shè)計的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分

31、，拋物線的頂點。落在水平面上，對稱軸是水平線OC.點A、B在拋物線造型上，且點A到水平面的距離AC=4米，點B到水平面距離為2米，OC二呼.（1）請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點P,用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PAPB對拋物線造型進行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點P?（無需證明）（3）為了施工方便，現(xiàn)需計算出點O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時點O、P之間的距離是多少？（請寫出求解過程）解：（1）以點O為原點、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋

32、物線的函數(shù)解析式為y=ax2,由題意知點A的坐標(biāo)為（4,8）.所以8=ax42a=1/2.所求拋物線的函數(shù)解析式為：y=x2/2（2）找法：延長AC,交建筑物造型所在拋物線于點D,則點A、D關(guān)于OC對稱.連接BD交OC于點P,則點P即為所求.（3）由題意知點B的橫坐標(biāo)為2,二點B在拋物線上，.二點B的坐標(biāo)為（2,2），又二點A的坐標(biāo)為（4,8）,點D的坐標(biāo)為（-4,8）,設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b,2k+b=2-4k+b=8解得：k=-1,b=4.,直線BD的函數(shù)解析式為y=-x+4,把x=0代入y=-x+4,得點P的坐標(biāo)為（0,4）,兩根支柱用料最省時，點QP之間的距離是4米.10

33、、蘭州市安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/平方米）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1,2,3,4,5,6,7,8）;已知點（x,y）都在一個二次函數(shù)的圖像上，（如圖所示），則6樓房子的價格為元/平方米.（提示：利用對稱性，答案：2080.）11、自建平面坐標(biāo)系求值：（2008四川內(nèi)江）如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米.答案：如圖所示建立直角坐標(biāo)系a = 2c =0.5則：設(shè)y=ax2

34、+c將點(-0.5,1),(1,2.5)代入,1=a<0.5)2+c,解得2.5=a+c2y=2x+0.5頂點（0,0.5）,最低點距地面0.5米.三、利用拋物線解決最大利潤問題1、某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y=10x+500.（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（6分）（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤,那么銷售單價應(yīng)定為多少元？（3分）（3）物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元

35、，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價X銷售量）解：（1）由題意得出：w=（x20）y=（x20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000a=-10<0,x=-b/2a=35,.當(dāng)銷售單價定為35元時，每月可獲得最大禾潤.（2）由題意，得：-10x2+700x-10000=2000,解這個方程得：x1=30,x2=40.李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元.（3）a=-10<0,拋物線開口向下.當(dāng)30&x040時，惟2000.x<32,.當(dāng)30&x&32時，W2

36、000.設(shè)成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000,Vk=200<0,P隨x的增大而減小.當(dāng)x=32時,P最小=3600.答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元.2.我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：（注：利潤=銷售總價-成本總價）30405060500400300200銷售單價x（元/件）每天銷售量y（件）（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；500L500L«fc140

37、0400300300l_2002001100100401020304050607010203040506070HRX(2)在(1)的條件下，設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天所得利潤為P元；當(dāng)銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤P為8000元？工藝廠自身發(fā)展要求試銷單價不低于35元/件，同時，當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過55元，寫出在此情況下每天獲利P的取值范圍.解：(1)如圖所示是一次函數(shù)解析式，設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=ax+b30a+b=50040a+b=400解得：a=-10b=800.函數(shù)解析式為：y=-10x+800(2)由題意得出：P=(-10X+800)(

38、x-20)=8000,解得：xi=40,x2=60,.當(dāng)銷售單價定為40元或60元時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤P為8000元;:P=(-10x+800)(x-20)=-10x2+1000x-16000=-10(x-50)2+9000,.當(dāng)x=50時，P=9000元，當(dāng)x=35時，P=6750元，.P的取值范圍是：6750<P<9000.3.某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為40元.經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價x(x>50)元/件的關(guān)系如下表:銷售單價x(元/件)55607075一周的銷售量y(件)450400300250(1)直接寫出y與x的

39、函數(shù)關(guān)系式:y=-10x+1000(2)設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？(3)雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？解：(1)設(shè)y=kx+b,由題意得，55k+b=45060k+b=400解得：k=-10b=1000則函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+1000；(2)由題意得,S=(x-40)y=(x-40)(-10X+1000)=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000

40、,v-10<0,函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=70,當(dāng)50Wx070時，銷售禾I潤隨著銷售單價的增大而增大；(3).由40(-10x+1000)<10000解得x>75.當(dāng)x=75時，利潤最大，為8750元.4、某玩具批發(fā)商銷售每只進價為40元的玩具，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每只50元的價格銷售，平均每天銷售90只，單價每提高1元，平均每天就少銷售3只.(1)平均每天的銷售量y(只)與銷售價x(元/只)之間的函數(shù)關(guān)系式為;(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售只x(元/只)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)物價部門規(guī)定每只售價不得高于55元，當(dāng)每只玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最

41、大利潤？最大利潤是多少元解：(1)y=90-3(x-50)即y=-3x+240;1(2) w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600;(3)當(dāng)x060,y隨x的增大而減小，當(dāng)x=55時，w最大=1125所以定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.5 .為了落實國務(wù)院的指示精神，地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增力口.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關(guān)系：y=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系

42、式；(2)該產(chǎn)品銷售價定為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為每千克多少元？解：(1)由題意得：w=(x-20)?y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600,.w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-2x2+120x-1600;,(2)w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,:-2<0,.當(dāng)x=30時，w有最大值.w最大值為200.答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.(3)當(dāng)w=150時，可得方程-2(

43、x-30)2+200=150.解得x1=25,x2=35.35>28,.x2=35不符合題意，應(yīng)舍去.答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為每千克25元.6 .某公司營銷A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1:銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y(萬元)與所售產(chǎn)品x(噸)之間存在二次函數(shù)關(guān)系y=ax2-bx,當(dāng)x=1時，y=1.4;當(dāng)x=3時，y=3.6。信息2:銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y(萬元)與所售產(chǎn)品x(噸)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y=0.3x.根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求二次函數(shù)解析式；(2)該公司準(zhǔn)備購進A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請設(shè)計一個營銷方案，使銷售A、B兩

44、種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？解：(1)因為當(dāng)x=1時，y=1.4;當(dāng)x=3時，y=3.6,代入y=ax2-bx得a=-0.1b=1.5所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x；(2)設(shè)購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品(10-m)噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的禾潤之和為W元，根據(jù)題意可列函數(shù)關(guān)系式為：(3) W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6,因為-0.1<0,當(dāng)m=6時，W有最大值6.6,購進A廠品6噸，購進B廣品4噸，銷售A、B兩種廣品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元.7 .為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主

45、創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.(1)李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔(dān)的總差價為多少元？(2)設(shè)李明獲得的利潤為w(元)，當(dāng)銷售單價定為多少時，每月可獲得最大利潤？(3)物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的禾I潤不低于3000元，那么政府為他承

46、擔(dān)的總差價最少為多少元？解：(1)當(dāng)x=20時,y=-10x+500=-10X20+500=300,300X(12-10)=300X2=600元，即政府這個月為他承擔(dān)的總差價為600元；(2)依題意得,w=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000=a=-10<0,.當(dāng)x=30時,w有最大值4000元.即當(dāng)銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元；(3)由題意得：-10x2+600x-5000=3000,解得：x1=20,x2=40.Va=-10<0,拋物線開口向下，結(jié)合圖象可知：當(dāng)20&x&40時,w

47、>3000.又:x<25,當(dāng)200x&25時,w>3000.設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為p元，.p=(12T0)X(-10x+500)=-20x+1000.=k=-20<0.p隨x的增大而減小，二當(dāng)x=25時,p有最小值500元.即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為500元.8 .某文具店銷售一種進價為10元/個的簽字筆，物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于14元/個，根據(jù)以往經(jīng)驗：以12元/個的價格銷售，平均每周銷售簽字筆100個；若每個簽字筆的銷售價格每提高1元，則平均每周少銷售簽字筆10個.設(shè)銷售價為x元/個.(1)該文具店這種簽字筆

48、平均每周的銷售量為個(用含x的式子表示)；(2)求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/個)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x取何值時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？解：(1)(22010x);w=(220-l(hcXxT0)|=一10/+32勺1筋-10?+320.”2200=T0GT6)，+360.拋物線，=-10f+320K=2200的開口向下，在對稱軸直線x=16的左側(cè)，:w|隨工的增大而增大.由題意可知 10<i<14,當(dāng)x=14時，N最大為320.當(dāng)x=14時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大是320元.9 .一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛.公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金x(元