1、2014年高考理科數學復習之圓錐曲線練習一、選擇題1 （2013年高考江西卷（理）過點引直線與曲線相交于A,B兩點,O為坐標原點,當AOB的面積取最大值時,直線的斜率等于（）A BCD【答案】B 2 （2013年福建數學（理）雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于（）ABCD【答案】C 3 （2013年廣東省數學（理）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,離心率等于,在雙曲線的方程是（）ABCD【答案】B 4 （2013年高考新課標1（理）已知雙曲線:()的離心率為,則的漸近線方程為（）ABCD【答案】C 5 （2013年高考湖北卷（理）已知,則雙曲線與的（）A實軸長相等B虛軸長相等C焦距相等D離心率相

2、等【答案】D 6 （2013年高考四川卷（理）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）ABCD【答案】B 7 （2013年浙江數學（理）試題）如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點,分別是,在第二、四象限的公共點.若四邊形為矩形,則的離心率是（）OxyABF1F2A B C D【答案】D 8 （2013年天津數學（理）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于A, B兩點, O為坐標原點. 若雙曲線的離心率為2, AOB的面積為, 則p =（）A1BC2D3【答案】C 9 （2013年大綱版數學（理）橢圓的左、右頂點分別為,點在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（）ABCD【答案】

3、B 10（2013年大綱版數學（理）已知拋物線與點,過的焦點且斜率為的直線與交于兩點,若,則（）ABCD【答案】D 11（2013年高考北京卷（理）若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為（）Ay=2xBy=CD【答案】B 12（2013年山東數學（理）已知拋物線:的焦點與雙曲線:的右焦點的連線交于第一象限的點.若在點處的切線平行于的一條漸近線,則（）ABCD【答案】D 13（2013年高考新課標1（理）已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為,則的方程為（）ABCD【答案】D 14（2013年新課標卷數學（理）設拋物線的焦點為,點在上,若以為直徑的圓過點,則的方程為（）A或B或

4、 C或D或 【答案】C 15（2013年上海市春季高考）已知為平面內兩定點,過該平面內動點作直線的垂線,垂足為.若,其中為常數,則動點的軌跡不可能是（）A圓B橢圓C拋物線D雙曲線【答案】C 16（2013年重慶數學（理）已知圓,圓,分別是圓上的動點,為軸上的動點,則的最小值為（）ABCD 【答案】A 二、填空題17（2013年江蘇數學(理)）雙曲線的兩條漸近線的方程為_.【答案】 18（2013年高考江西卷（理）拋物線的焦點為F,其準線與雙曲線相交于兩點,若為等邊三角形,則_【答案】6 19（2013年高考湖南卷（理）設是雙曲線的兩個焦點,P是C上一點,若且的最小內角為,則C的離心率為 .【答

5、案】 20（2013年高考上海卷（理）設AB是橢圓的長軸,點C在上,且,若AB=4,則的兩個焦點之間的距離為_【答案】. 21（2013年安徽數學（理）已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點,使得為直角,則的取值范圍為_.【答案】 22（2013年江蘇數學(理)）拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為(包含三角形內部與邊界).若點是區域內的任意一點,則的取值范圍是_.【答案】23（2013年江蘇數學(理)）在平面直角坐標系中,橢圓的標準方程為,右焦點為,右準線為,短軸的一個端點為,設原點到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為_.【答案】 24（2013年福建數學（理）橢圓的左

6、.右焦點分別為,焦距為2c,若直線與橢圓的一個交點M滿足,則該橢圓的離心率等于25（2013年高考陜西卷（理）雙曲線的離心率為, 則m等于_.【答案】9 26（2013年遼寧數學（理）已知橢圓的左焦點為與過原點的直線相交于兩點,連接,若,則的離心率_.【答案】 27（2013年上海市春季高考）拋物線的準線方程是_【答案】 28（2013年江蘇數學(理)）在平面直角坐標系中,設定點,是函數()圖象上一動點,若點之間的最短距離為,則滿足條件的實數的所有值為_.【答案】或 29（2013年浙江數學（理）設為拋物線的焦點,過點的直線交拋物線于兩點,點為線段的中點,若,則直線的斜率等于_.【答案】 三、

7、解答題30（2013年上海市春季高考）已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為(1)若為等邊三角形,求橢圓的方程;(2)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程.【答案】解(1)設橢圓的方程為. 根據題意知, 解得, 故橢圓的方程為. (2)容易求得橢圓的方程為. 當直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意; 當直線的斜率存在時,設直線的方程為. 由 得. 設,則 因為,所以,即 , 解得,即. 故直線的方程為或. 31（2013年高考四川卷（理）已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經過點.()求橢圓的離心率;()設過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點,且,求

8、點的軌跡方程.【答案】解: 所以,. 又由已知,所以橢圓C的離心率 由知橢圓C的方程為. 設點Q的坐標為(x,y). (1)當直線與軸垂直時,直線與橢圓交于兩點,此時點坐標為 (2) 當直線與軸不垂直時,設直線的方程為. 因為在直線上,可設點的坐標分別為,則 . 又 由,得 ,即 將代入中,得 由得. 由可知 代入中并化簡,得 因為點在直線上,所以,代入中并化簡,得. 由及,可知,即. 又滿足,故. 由題意,在橢圓內部,所以, 又由有 且,則. 所以點的軌跡方程是,其中, 32（2013年山東數學（理）橢圓的左、右焦點分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.()求橢圓的方程

9、; ()點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,設的角平分線交 的長軸于點,求的取值范圍;()在()的條件下,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值. 【答案】解:()由于,將代入橢圓方程得 由題意知,即 又 所以, 所以橢圓方程為 ()由題意可知:=,=,設其中,將向量坐標代入并化簡得:m(,因為, 所以,而,所以 (3)由題意可知,l為橢圓的在p點處的切線,由導數法可求得,切線方程為: ,所以,而,代入中得 為定值. 33（2013年高考上海卷（理）如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“

10、C1C2型點”.(1)在正確證明的左焦點是“C1C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1C2型點”;(3)求證:圓內的點都不是“C1C2型點”.【答案】:(1)C1的左焦點為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為; (2)直線與C2有交點,則 ,若方程組有解,則必須; 直線與C2有交點,則 ,若方程組有解,則必須 故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”. (3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在; 根據對稱

11、性,不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點,則 直線與圓內部有交點,故,化簡得,. 若直線與曲線C1有交點,則 化簡得,. 由得, 但此時,因為,即式不成立; 當時,式也不成立 綜上,直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點, 即圓內的點都不是“C1-C2型點” . 34（2013年福建數學（理）如圖,在正方形中,為坐標原點,點的坐標為,點的坐標為.分別將線段和十等分,分點分別記為和,連結,過做軸的垂線與交于點.(1)求證:點都在同一條拋物線上,并求該拋物線的方程; (2)過點做直線與拋物線交于不同的兩點,若與的面積比為,求直線的方程.【答案】解:()依題意,過且與x軸垂直的直線方

12、程為 ,直線的方程為 設坐標為,由得:,即, 都在同一條拋物線上,且拋物線方程為 ()依題意:直線的斜率存在,設直線的方程為 由得 此時,直線與拋物線恒有兩個不同的交點 設:,則 又, 分別帶入,解得 直線的方程為,即或 35（2013年高考湖南卷（理）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線,且,相交于點A,B,相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為.(I)若,證明;(II)若點M到直線的距離的最小值為,求拋物線E的方程.【答案】解: () . 所以,成立. (證畢) 2 則, . . 36（2013年浙江數學（理）如圖,點是橢圓的一個頂點,

13、的長軸是圓的直徑.是過點且互相垂直的兩條直線,其中交圓于兩點,交橢圓于另一點(1)求橢圓的方程;(2)求面積取最大值時直線的方程.【答案】解:()由已知得到,且,所以橢圓的方程是; ()因為直線,且都過點,所以設直線,直線,所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截的弦; 由,所以 ,所以 , 當時等號成立,此時直線 37（2013年重慶數學（理）如題(21)圖,橢圓的中心為原點,長軸在軸上,離心率,過左焦點作軸的垂線交橢圓于兩點,.(1)求該橢圓的標準方程;(2)取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點,過作圓心為的圓,使橢圓上的其余點均在圓外.若,求圓的標準方程.【答案】 38（2013年安徽

14、數學（理）設橢圓的焦點在軸上()若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程;()設分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上的第一象限內的點,直線交軸與點,并且,證明:當變化時,點在某定直線上.【答案】解: (). () . 由. 所以動點P過定直線. 39（2013年高考新課標1（理）已知圓:,圓:,動圓與外切并且與圓內切,圓心的軌跡為曲線 C.()求C的方程;()是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|. 【答案】由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑=1,圓的圓心為(1,0),半徑=3. 設動圓的圓心為(,),半徑為R.()圓與圓外切且與圓內切,|PM|+|PN|=4,

15、 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為. ()對于曲線C上任意一點(,),由于|PM|-|PN|=2,R2, 當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2. 當圓P的半徑最長時,其方程為, 當的傾斜角為時,則與軸重合,可得|AB|=. 當的傾斜角不為時,由R知不平行軸,設與軸的交點為Q,則=,可求得Q(-4,0),設:,由于圓M相切得,解得. 當=時,將代入并整理得,解得=,|AB|=. 當=-時,由圖形的對稱性可知|AB|=, 綜上,|AB|=或|AB|=. 40（2013年天津數學（理）設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與

16、x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. () 求橢圓的方程; () 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值. 【答案】 41（2013年高考江西卷（理）如圖,橢圓經過點離心率,直線的方程為.(1)求橢圓的方程;(2)是經過右焦點的任一弦(不經過點),設直線與直線相交于點,記的斜率分別為問:是否存在常數,使得?若存在求的值;若不存在,說明理由.【答案】解:(1)由在橢圓上得, 依題設知,則 代入解得. 故橢圓的方程為. (2)方法一:由題意可設的斜率為, 則直線的方程為 代入橢圓方程并整理,得, 設,則有 在方程中令得,的坐標為. 從而.

17、注意到共線,則有,即有. 所以 代入得, 又,所以.故存在常數符合題意. 方法二:設,則直線的方程為:, 令,求得, 從而直線的斜率為, 聯立 ,得, 則直線的斜率為:,直線的斜率為:, 所以, 故存在常數符合題意. 42（2013年廣東省數學（理）已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.() 求拋物線的方程;() 當點為直線上的定點時,求直線的方程;() 當點在直線上移動時,求的最小值.【答案】() 依題意,設拋物線的方程為,由結合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導得 設,(其中),則切線的斜率分別為,

18、所以切線的方程為,即,即 同理可得切線的方程為 因為切線均過點,所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. () 由拋物線定義可知, 所以 聯立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數的關系可得, 所以 又點在直線上,所以, 所以 所以當時, 取得最小值,且最小值為. 43（2013年新課標卷數學（理）平面直角坐標系中,過橢圓的右焦點作直交于兩點,為的中點,且的斜率為.()求的方程;()為上的兩點,若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值.【答案】 44（2013年高考湖北卷（理）如圖,已知橢圓與的中心在坐標原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐

19、標從大到小依次為,.記,和的面積分別為和.(I)當直線與軸重合時,若,求的值;(II)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線,使得?并說明理由.【答案】解:(I), 解得:(舍去小于1的根) (II)設橢圓,直線: 同理可得, 又和的的高相等 如果存在非零實數使得,則有, 即:,解得 當時,存在這樣的直線;當時,不存在這樣的直線. 45（2013年高考北京卷（理）已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.【答案】解:(I)橢圓W:的右頂點B的坐標為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設A(1,),代入橢圓方程得,即. 所以菱形OABC的面積是. (II)假設四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設AC的方程為. 由消去并整理得. 設A,C,則,. 所以AC的中點為M(,). 因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不