1、WANG13將軍飲馬模型“將軍飲馬”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中 考和競賽中經常出現，而且大多以壓軸題的形式出現.模型1:直線與兩定點模型AlB當兩定點A、B在直線l異側時，在直線 l上找一點P,使PA+ PB最小.B.A-' l當兩定點A、B在直線l同側時，在直線 l上找一點 P,使得PA+PB最小.作法連接AB交直線l于點P,點P 即為所求作的點.B'作點B關于直線l的對稱點B', 連接AB'交直線l于點P,點P 即為所求作的點.結論PA+PB

2、的最小值為 ABPA+PB的最小值為 AB'AB A l當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P,使得|PA PB|最大.Al Bll III III當兩定點A、B在直線l異側時，在直線l上找一點P,使得|PA PB|最大.連接AB并延長交直線l于點 P,點P即為所求作的點.| PA PB的最大值為AB連接AB'并延長交直線l于點 P,點P即為所求作的點.AB .l當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P,使得|PA PB|最小.l|PA PB的最小值為0連接AB,作AB的垂直平分線 交直線l于1點、P,點P即為所 求作的點.模型實例例1:如圖，正方形 ABCD

3、的面積是12, ABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內, 在對角線 AC上有一點P,則PD + PE最小值是 .解答：如圖所示，二點 B與點D關于AC對稱，當點P為BE與AC的交點時，PD + PE最小，且線段 BE的長.正方形ABCD的面積為12, 其邊長為2指.ABE為等邊三角形，BE = AB=2>/3.，PD+PE的最小值為2M.例2:如圖，已知那BC為等腰直角三角形， AC = BC=4, Z BCD = 15°, P為CD上的動點,則PA PB 的最大值是多少?解答:如圖所示，作點 A關于CD的對稱點A；連接AC,連接AB并延長交CD于點P,則點P就是|PA

4、PB的值最大時的點，|PA PB =A'B.ABC為等腰直角三角形， AC=BC等于4,ACB = 90°. / BCD = 15°,ACD= 75°.點 A、A'關于 CD 對稱，AAT CD, AC=CA', / ACD = / DCA '= 75°,/ BCA '= 60°.-. CA = AC=BC=4,.ABC 是等邊三角形， ，AB=BC=4.PA PB 的最大值為 4.練習1.如圖，在GABC中，AC=BC=2, /ACB=90°, D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點, 則EC+

5、ED的最小值是 .解：解：過點C作COL AB于0,延長COgJ C ,使OC =OC連接DC ,交AB于E,連接C B,止匕時DE+CE=DE+E=DC的值最/、.連接 BC ,由對稱性可知 / C BE=/ CBE=45 ,/ CBC =90° ,B C，BC ZBCC =/ B C C=45 , a BC=BC =2, vd 是 BC邊的中點，BD=1根據勾股定理可得：DC =痣，故EC+ED勺最小值是 非.2.如圖，點C的坐標為（3, y）,當 ABC的周長最短時，求 y的值.解：解：（1）作A關于x=3的對稱點A',連接A' B交直線x=3與點C.點 A 與

6、點 A'關于 x=3 對稱，AC=A ' C. . . AC+BC=A ' C+BC .當點B、C、A'在同一條直線上時，A' C+BC有最小值，即 ABC的周長有最小值.點A與點A'關于x=3對稱，點A '的坐標為（6, 3）.一 33設直線BA 的解析式y=kx+b ,將點B和點A 的坐標代入得：k= , b=-.4 2 3將x=3代入函數的解析式，y的值為-43.如圖，正方形 ABCD中，AB = 7, M是DC上的一點，且 DM = 3, N是AC上的一動點, 求|DN MN|的最小值與最大值.解：解：當ND=NIW,即N點DM勺

7、垂直平分線與 AC的交點，|DN-MN|=0, 因為|DN-MN|<DM當點N運動到C點時取等號，止匕時|DN-MN|=DM=3 所以|DN-MN|的最小值為0,最大值為3模型作法結論A ;OB點P在/ AOB內部，在OB邊上找點D, OA邊上找點C,使得 PCD周長最小.O工,BOD) ；* 1P''分別作點P關于OA、OB 的對稱點P'、P,連接PP, 交OA、OB于點C、D,點 C、D即為所求. PCD周長的最小值為 P'POB點P在/ AOB內部，在OB邊上找點D, OA邊上找點 C,使得PD + CD最小.°D、；B1 TP'作

8、點P關于OB的對稱點P；過 P作 PC LOA 交 OBPD+CD的最小值為PC于D,點C、點D即為所求.點P、Q在/ AOB內部，在OB邊上找 點D,OA邊上找點C,使得四邊形PQDC 周長最小.分別作點P、Q關于OA、 OB的對稱點P '、Q連接 PQ；分另1J交OA、OB于點 C、D,點C、D即為所求.PC + CD + DQ 的最小值為PQ；所以四邊形 PQDC周 長的最小值為 PQ+ P'Q'模型實例如圖，/ AOB=30° , / AOB內有一定點 P,且OP = 10.在OA上有一點 Q, OB上一點R .若立 PQR周長最小，則最小周長是多少？

9、解答如圖，作點P分別關于OA、OB的對稱點E、F ,連接EF ,分別交OA、OB 于點 Q、R ,連接 OE、OF、PE、PF .EQ OP, FR=RP. PQR的周長的最小值為 EF的長.由對稱性可得/ EOQ= / POQ, / FOR= / POR, ZEOF=2Z AOB=60 ° . EOF是正三角形.EF OE OP 10.即 PQR周長最小值為10.模型2/角與定點1 .已知，？MON 40 , P為DMON內一定點， A為OM上的點，B為ON上的點, 當 PAB的周長取最小值時：(1)找到A、B點，保留作圖痕跡；(2)求此時DAPB等于多少度.如果/ MON = 0

10、,Z APB又等于多少度？1 .解答(1)做點 P分別關于 OM、ON的對稱點 E、F ,連接 EF分別交 OM、ON于點 A、B .點A、B即為所求，此時 PAB的周長最小.(2) .點E與點P關于直線OM對稱，點F與點P關于ON對稱， .Z E =Z APE, / F=/ BPF , / CPD=180 -/ MON =140 .，在 EFP 中，/ E + / F =180° -140 ° =40° ,CPA+Z BPD =40 . . APB=100 .如果/ MON = 0 , ./ CPD =180 - 0 , Z E + / F = 0 .又PAB

11、=2 Z E, / PBA=2/ F .Z PAB+Z PBA=2 (/ E+/ F) =2 0APB =180 -2 0 .E2.如圖，四邊形中 ABCD , ?BAD 110 , ?B ?D 90 ,在BC、CD上分別找 一點M、N ,使 AMN周長最小，并求此時 AMN+ ANM的度數.2.解答如圖，作點A關于BC的對稱點A ,關于CD的對稱點A , 連接AA與BC、CD的交點即為所求的點 M、N .此時 AMN周長最小.BAD =110 ，/ A +Z A =180° -110° =70° .由軸對稱的性質得：/ A =/ A AM，/ A =/ A AN

12、 , .Z AMN +/ ANM =2( / A+Z A )=2X70° =140° .3.如圖，在x軸上找一點C,在y軸上找一點D,使AD + CD + BC最小，并求直 線CD的解析式及點C、D的坐標.y*A(1,3)B(3,1)3 .解答作點A關于y軸的對稱點A，點B關于x軸的對稱點B ,連接AB分別交x軸、y軸 于點C、D ,此時AD CD BC最小.由對稱性可知 A (-1,3), B (3, -1).易求得直線 A B的解析式為y x 2,即直線CD的解析式y x 2 .當y 0時，x 2,，點C坐標為(2,0).當x 0時，y 2 ,點D坐標為(0,2 ).4

13、.如圖，？MON 20 , A、點P、Q分別為射線OM、B占分別為射線OM、ON上兩動點，當 P、的最小值是多少?ON上兩定點，且 OA=2, OB =4 , Q運動時，線段AQ + PQ + PBA NB4 .解答作A點關于ON的對稱點A，點B關于OM的對稱點B ,連接A B ,分別交OM、ON 于點P、Q ,連接OA、OB .則 AQ PQ PB AQ PQ PB AB ,此時 AQ PQ PB 最小.由對稱可知， PB PB, AQ AQ, OA OA 2,OB OB 4 , MOB NOA MON 20 A OB 60 .作A D，OB于點D , 在 RtA ODA 中，. BD 4

14、1 3, AB 2點 AQ PQ PB的最/、值是2翼.模型3兩定點一定長模型BdI l 如圖，在直線l上找M、N兩點 （M在左），使得AM+MN+NB最 小，且MN =d.作法結論AM + MN + NB的最小值為A"B + d將A向右平移d個單位到A；作A關于l的對稱點A",連接A"B與直線l交于點N,將點N向左平移d個單位即為M ,點M , N即為所求.Alil2 .B如圖，ll/l2, li、l2間距離為d, 在li、l2分別找M、N兩點，使 得 MN，li,且 AM+ MN + NB 最小.B將A向下平移d個單位到A,連接A B交直線l2于 點N,過點N

15、作MN Li,連接AM.點M、N即為所求.AM +MN + NB的最小值為A'B + d.例題：在平面直角坐標系中，矩形 OABC如圖所示，點 A在x軸正半軸上，點 C在y軸正 半軸上，且 OA=6, OC=4, D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側，EF =2.當四邊形BDEF的周長最小時，求點 E的坐標.解答：如圖，將點 D向右平移2個單位得到D'(2, 2),作D'關于x軸的對稱點D"(2, 2),連 接BD"交x軸于點F,將點F向左平移2個單位到點E,此時點E和點F為所求作的點， 且四邊形BDEF周長最小.理由：四邊形 BDEF

16、的周長為BD + DE + EF+BF, BD與EF是定值.BF+DE最小時，四邊形 BDEF周長最小， BF+ED = BF+FD'=BF + FD"= BD"設直線BD"的解析式為y=kx+b,把B(6, 4), D"(2, 2)代入,33得 6k+b = 4, 2k+ b= 2,斛得 k= 2, b= - 5, .直線 BD 的斛析式為 y=2x 5.0).令y= 0,得x=，點F坐標為(?，0) .，點E坐標為g, 練習1 .在平面直角坐標系中，矩形 OACB的頂點O在坐標原點，頂點 A、B分別在x軸、y軸 的正半軸上，A(3, 0),

17、B(0, 4), D為邊OB的中點.(1)若E為邊OA上的一個動點，求 CDE的周長最小值；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且 EF=1,當四邊形CDEF的周長最小時，求點 E、 F的坐標.解答：(1)如圖，作點D關于x軸的對稱點D',連接CD與x軸交于點 巳 連接DE,由模型可知 CDE的周長最小. 在矩形 OACB中，OA=3, OB = 4, D為OB的中點， .D(0, 2), C(3, 4), D'(0, -2).設直線 CD為y=kx+b,把 C(3, 4), D'(0, 2)代入，得 3k+b = 4, b=- 2,解得 k= 2, b=-2,. .直

18、線 CD'為 y=2x2.令 y= 0,得 x= 1,.點E的坐標為(1, 0).OE= 1 , AE= 2.利用勾股定理得 CD=03, DE = ® CE=2/, . CDE周長的最小值為 網十可5.(2)如圖，將點D向右平移1個單位得到D'(1, 2),作D'關于x軸的對稱點D(1, 2), 連接CD 交x軸于點F,將點F向左平移1個單位到點E,此時點E和點F為所求作的 點，且四邊形 CDEF周長最小.理由：二.四邊形 CDEF的周長為 CD+DE+EF + CF, CD與EF是定值， .DE+CF 最小時，四邊形 BDEF 周長最小，DE + CF = D'F+CF = FD "+CF = CD ， 設