1、PzOFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對轉軸對轉軸 z 的力矩的力矩 FM 用來描述力對剛體用來描述力對剛體的轉動作用。的轉動作用。0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF*力矩力矩1zOkFrFFFzFrkMzsin rFMzzFF(1) 若力若力 不在轉動平面內，把力分解為平不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量行和垂直于轉軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉軸的對轉軸的力矩為零，故力矩為零，故 對轉對轉軸的力矩軸的力矩zFF討論討論2點擊進入動畫點擊進入動畫O(2) 合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM(3) 剛體內作

2、用力和反作用力的力剛體內作用力和反作用力的力 矩互相抵消。矩互相抵消。jiijMMjririjijFjiFdijMjiM討論討論3例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1 000 m ,水深水深 100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示水面與大壩表面垂直，如圖所示. 求作用在大壩上的力，以及這個力對通求作用在大壩上的力，以及這個力對通 過大壩基點過大壩基點 Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 .QyOxyOhxL例題例題4 解解 設水深設水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元 ，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAddypLApFdddyOh

3、xyAdydQyOxL例題例題5)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入數據，得代入數據，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL例題例題6QyOyydFdhFyMdd 對通過點對通過點Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數據，得：代入數據，得：mN1014212 .M例題例題7OrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM（1）單個質點單個質點 與轉與轉 軸剛性連接軸剛性連接m2mrM 2tmrrFM轉動定律轉動定律82iej

4、jjjrmMM（2）剛體剛體 質量元受外力質量元受外力 ，內力內力jFejFi外力矩外力矩內力矩內力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM轉動定律轉動定律910轉動定律轉動定律OimzexiFexjFinijFinjiFijMjiMjiijMM內力矩為零內力矩為零jijM0)rmMjjjj2e(轉動慣量轉動慣量2jjjrmJmrJd2轉動定律轉動定律OimzexiFexjFinijFinjiFijMjiM轉動定律轉動定律JM 剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。文字描述文字

5、描述11JM（2）tJJMdd（3）（1） 不變不變M，0轉動定律轉動定律JM 12 J 的意義：轉動慣性的量度的意義：轉動慣性的量度 . 轉動慣量的單位：轉動慣量的單位：kgm22jjjrmJmrJd2轉動慣量轉動慣量13v 質量離散分布質量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的計算方法的計算方法 v 質量連續分布質量連續分布VrmrrmJVjjjdd222 ：質量元：質量元md ：體積元：體積元Vd轉動慣量的計算轉動慣量的計算14例例1：均勻圓環對于中心垂直軸的轉動慣量均勻圓環對于中心垂直軸的轉動慣量（1） 選取微元選取微元 dm dmRdRmdldm22 （2）求）求

6、 d J dmRdmRdJ222 （3）求）求 J22022mRdmRJ RmCdm2mRJc 相當于質量為相當于質量為m的質點對軸的的質點對軸的J例題例題15例例2：求均勻圓盤對于中心垂直軸的轉動慣量求均勻圓盤對于中心垂直軸的轉動慣量RmC（1） 選微元選微元d mrdrRmrdrdsdm 222 求求 d J利用上題結果利用上題結果 dJ = r2 dm(3) 求求 J22022212mRrdrRmrdmrJRm 221mRJ rdr0解：解：可視圓盤由許多小圓環組成。可視圓盤由許多小圓環組成。例題例題16例例3：求均勻細桿對中心軸及邊緣軸的轉動慣量求均勻細桿對中心軸及邊緣軸的轉動慣量CA

7、mL2L2xxdxdxlmdxdmdxxdmxdJ22dxxdJJLLmc222質量相同，形狀相同，轉軸不同，質量相同，形狀相同，轉軸不同，J不同。不同。2121ml 0例題例題對質心軸對質心軸231mlJA對邊緣軸對邊緣軸2121mlJc對質心軸對質心軸17剛體的轉動慣量與以下三個因素有關：剛體的轉動慣量與以下三個因素有關：（3）與轉軸的位置與轉軸的位置有關。有關。（1）與剛體的體密度與剛體的體密度 有關。有關。（2）與剛體的幾何形狀及體密度與剛體的幾何形狀及體密度 的分的分 布有關。布有關。表表4-2中的幾種特殊形狀的轉動慣量需要記憶中的幾種特殊形狀的轉動慣量需要記憶轉動慣量轉動慣量18點

8、擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫點擊進入動畫2mdJJCO 質量為質量為 的剛體的剛體，如果對其質心軸的轉動如果對其質心軸的轉動慣量為慣量為 ，則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉軸的轉動慣量轉軸的轉動慣量CJmddCOm平行軸定理平行軸定理19質量為質量為m，長為，長為L的細棒繞其一端的的細棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對圓盤對P 軸的轉動慣量軸的轉動慣量RmO2231)2(mLLmJJc2121mLJcO1d=L/

9、2O1O2O22mdJJc平行軸定理平行軸定理201、對同一軸可疊加：、對同一軸可疊加： iiJJ2、平行軸定理：、平行軸定理：2mdJJc 3、對薄平板剛體，有垂直軸定理：、對薄平板剛體，有垂直軸定理：yxzJJJ JcJdmC質心質心 rix z yi xi mi yR221mR241mR計算轉動慣量的幾條規律計算轉動慣量的幾條規律21竿子長些還是短些更穩？竿子長些還是短些更穩？ 飛輪的質量為什么飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？討論討論22(2) 為瞬時關系。為瞬時關系。 (3) 轉動中轉動中 與平動中與平動中 地位相同。地位相同。maF JM (1) , 與與 方向相

10、同。方向相同。 JM MJM 轉動定律的說明轉動定律的說明 適用于轉軸固定于慣性系中的情適用于轉軸固定于慣性系中的情 況。況。23特別注意特別注意 1. 明確轉動軸位置。明確轉動軸位置。選定轉動的正方向選定轉動的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正負。度的正負。 3. 同一方程式中所有量都必須相對同一轉軸。同一方程式中所有量都必須相對同一轉軸。第一類第一類: 由角量運動由角量運動,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二類第二類: 由力矩及初始條件由力矩及初始條件,求剛體運動。求剛體運動。(積分法積分法)用轉動定律解決的兩用轉動定律解決的兩類問題類問題24解題步驟解題

11、步驟1. 認剛體；認剛體；4. 定轉向定轉向,列方程。列方程。用轉動定律解題用轉動定律解題2. 定轉軸定轉軸,找運動找運動;3. 分析力和力矩分析力和力矩; 25 例例1 質量為質量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為索跨過一半徑為R、質量為、質量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為，并系在另一質量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎豎直懸掛直懸掛滑輪與繩索間無滑動，滑輪與繩索間無滑動， 且滑輪與且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計。軸承間的摩擦力可略去不計。( (1) )兩物體的兩物體的

12、線加速度為多少？線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？張力各為多少？( (2) ) 物體物體 B 從靜止落下距從靜止落下距離離 y 時，其速率是多少時，其速率是多少？例題例題26解解 (1) 用隔離法分別用隔離法分別對各物體作受力分析，取對各物體作受力分析，取如圖所示坐標系。如圖所示坐標系。ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF例題例題27amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm例題例題282CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2

13、(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：例題例題29如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF (2) B由靜止出發作勻加速直線運動，下由靜止出發作勻加速直線運動，下落的速率落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF例題例題30穩定平衡狀態，當其受到微小擾動時，細穩定平衡狀態，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉轉動試計算細桿轉動到與豎直線成動試計算細桿轉動到與豎直線成 角時角時的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例2一長為一長為 l 、質量質量

14、為為 m 勻質細桿豎直放置，勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉動接，并可繞其轉動由于由于此豎直放置的細桿處于非此豎直放置的細桿處于非m,lOmg例題例題31 解解 細桿受重力和細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力鉸鏈對細桿的約束力 作用，由轉動定律得作用，由轉動定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg例題例題32ttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義lgdsin23d代入初始條件積分得代入初始條件積分得)cos1 (3lgddNFm,lOmg例題例題33人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金屋。書中自有黃金屋。”