1、小學數學應用題小學數學應用題 解題思路及方法解題思路及方法n小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。n應用題可分為一般應用題與典型應用題。n沒有特定的解答規律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。n題目中有特殊的數量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。 1、歸一問題 2、歸總問題 3、和差問題 4、和倍問題 5、差倍問題 6、倍比問題 7、相遇問題 8、追及問題 9、植樹問題10、年齡問題11

2、、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題30類典型應用題：類典型應用題： 1、歸一問題、歸一問題 【含義含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。【數量關系數量關系】 總量總量份數份數1份數量份數量 1份數量份數量所占份數所求幾份的數量所占份數所求幾份的

3、數量 另一總量另一總量（總量（總量份數）所求份數份數）所求份數【解題思路和方法解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。n例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解（解（1）買）買1支鉛筆多少錢？支鉛筆多少錢？ 0.650.12（元）（元） （2）買）買16支鉛筆需要多少錢？支鉛筆需要多少錢？ 0.12161.92（元）（元） 列成綜合算式：列成綜合算式： 0.65160.12161.92（元）（元） 答：需要答：需要1.92元。元。n例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 解（解（1）1臺拖拉機臺拖拉機1天耕地多少公

4、頃？天耕地多少公頃？ 903310（公頃）（公頃） （2）5臺拖拉機臺拖拉機6天耕地多少公頃？天耕地多少公頃？ 1056300（公頃）（公頃） 列成綜合算式：列成綜合算式： 9033561030300（公頃）（公頃） 答：答：5臺拖拉機臺拖拉機6 天耕地天耕地300公頃。公頃。n例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解解 （1）1輛汽車輛汽車1次能運多少噸鋼材？次能運多少噸鋼材？ 100545（噸）（噸） （2）7輛汽車輛汽車1次能運多少噸鋼材？次能運多少噸鋼材？ 5735（噸）（噸） （3）105噸鋼材噸鋼材7輛汽車需要運幾次？輛汽車需要運幾

5、次？ 105353（次）（次） 列成綜合算式：列成綜合算式： 105（100547）3（次）（次） 答：需要運答：需要運3次。次。 2、歸總問題、歸總問題 【含義含義】解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。【數量關系數量關系】1份數量份數量份數總量份數總量 總量總量1份數量份數份數量份數 總量總量另一份數另一每份數量另一份數另一每份數量【解題思路和方法解題思路和方法】先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。n例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，

6、每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？解解 （1）這批布總共有多少米？）這批布總共有多少米？ 3.27912531.2（米）（米） （2）現在可以做多少套？）現在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）（套） 列成綜合算式：列成綜合算式： 3.27912.8904（套）（套） 答：現在可以做答：現在可以做904套。套。 n例2小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？解解 （1）紅巖紅巖這本書總共多少頁？這本書總共多少頁？ 2412288（頁）（頁） （2）小明幾天可以讀完）小明幾天可以讀完紅巖紅巖？ 288368（天）（天

7、） 列成綜合算式：列成綜合算式： 2412368（天）（天） 答：小明答：小明8天可以讀完天可以讀完紅巖紅巖。 n例3食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解解 （1）這批蔬菜共有多少千克？）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克）（千克） （2）這批蔬菜可以吃多少天？）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天）（天）列成綜合算式：列成綜合算式： 5030（5010）15006025（天）（天） 答：這批蔬菜可以吃答：這批蔬菜可以吃25天。天。3、和差問題、和差問題 【含義含義】

8、已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。【數量關系數量關系】大數（和差）大數（和差） 2 小數（和差）小數（和差） 2 【解題思路和方法解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。n例1甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解解 甲班人數（甲班人數（986）252（人）（人） 乙班人數（乙班人數（986）246（人）（人） 答：甲班有答：甲班有52人，乙班有人，乙班有46人。人。n例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解解 長（長（182）210（厘米）（厘米） 寬（寬（182）28（厘米）（

9、厘米） 長方形的面積長方形的面積 10880（平方厘米）（平方厘米）答：長方形的面積為答：長方形的面積為80平方厘米。平方厘米。 n例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知大數，丙是小數。由此可知 甲袋化肥重量（甲袋化肥重量（222）212（千克）（千克） 丙袋化肥重量（丙袋化肥重量（222）210（千克）（千克） 乙袋化肥重量乙袋化肥重量321220（千克）

10、（千克） 答：甲袋化肥重答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重千克，乙袋化肥重20千克，千克，丙袋化肥重丙袋化肥重10千克。千克。n例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解解 “從甲車取下從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多比乙車還多3筐筐”，這說明甲車是大數，乙，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（車是小數，甲與乙的差是（1423），甲），甲與乙的和是與乙的和是97，因此，因此 甲車筐數（甲車筐數（971423）264（筐）（筐） 乙車筐數乙車筐數976433（筐）（筐）答：甲車原來裝蘋

11、果答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果筐，乙車原來裝蘋果33筐。筐。4、和倍問題、和倍問題 【含義含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。【數量關系數量關系】 總和總和 （幾倍（幾倍1）較小的數）較小的數 總和總和 較小的數較小的數 較大的數較大的數【解題思路和方法解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。n例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解解 （1）杏樹有多少棵？）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵）（棵） （2）桃樹有多少棵？）桃樹有多

12、少棵？ 623186（棵）（棵） 答：杏樹有答：杏樹有62棵，桃樹有棵，桃樹有186棵。棵。n例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解解 （1）西庫存糧數：）西庫存糧數： 480（1.41）200（噸）（噸） （2）東庫存糧數：）東庫存糧數： 480200280（噸）（噸）答：東庫存糧答：東庫存糧280噸，西庫存糧噸，西庫存糧200噸。噸。n例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？解解 每天從甲站開往乙站每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站輛，從乙站開往甲站24輛

13、，輛，相當于每天從甲站開往乙站（相當于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數倍量，這時乙站的車輛數就是就是2倍量，兩站的車輛總數（倍量，兩站的車輛總數（5232）就相當于）就相當于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為為 （5232）（21）28（輛）（輛） 所求天數為所求天數為 （5228）（2824）6（天）（天）答：答：6天以后乙站車輛數是甲站的天以后乙站車輛數是甲站的2倍。倍。n例4甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？解解 乙丙

14、兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為為1倍量。倍量。 因為乙比甲的因為乙比甲的2倍少倍少4，所以給乙加上，所以給乙加上4，乙數就變，乙數就變成甲數的成甲數的2倍；倍； 又因為丙比甲的又因為丙比甲的3倍多倍多6，所以丙，所以丙數減去數減去6就變為甲數的就變為甲數的3倍；這時（倍；這時（17046）就相當于（就相當于（123）倍。那么，）倍。那么，甲數（甲數（17046）（123）28乙數乙數282452丙數丙數283690答：甲數是答：甲數是28，乙數是，乙數是52，丙數是，丙數是90。5、差倍問題、差倍問題 【含義含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍

15、（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。【數量關系數量關系】兩個數的差兩個數的差（幾倍（幾倍1）較小的數）較小的數 較小的數較小的數幾倍較大的數幾倍較大的數【解題思路和方法解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。n例1果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解解 （1）杏樹有多少棵？）杏樹有多少棵？ 124（31）62（棵）（棵） （2）桃樹有多少棵？）桃樹有多少棵？ 623186（棵）（棵）答：果園里杏樹是答：果園里杏樹是62棵，桃樹是棵，桃樹是186棵。棵。n例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸

16、的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解解 （1）兒子年齡）兒子年齡27（41）9（歲）（歲） （2）爸爸年齡）爸爸年齡9436（歲）（歲）答：父子二人今年的年齡分別是答：父子二人今年的年齡分別是36歲和歲和9歲。歲。 n例3商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解解 如果把上月盈利作為如果把上月盈利作為1倍量，則（倍量，則（3012）萬元）萬元就相當于上月盈利的（就相當于上月盈利的（21）倍，因此）倍，因此 上月盈利（上月盈利（3012）（21）18（萬元）（萬元）本月盈利本月盈利183048（

17、萬元）（萬元） 答：上月盈利是答：上月盈利是18萬元，本月盈利是萬元，本月盈利是48萬元。萬元。n例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解解 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（的數量差等于原來的數量差（13894）。把幾天后）。把幾天后剩下的小麥看作剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（倍量，那么，（13894）就相當于（）就相當于（31）倍，）倍，因此因此剩下的小麥數量（剩下的小麥數量（13894）（3

18、1）22（噸）（噸）運出的小麥數量運出的小麥數量942272（噸）（噸）運糧的天數運糧的天數7298（天）（天）答：答：8天以后剩下的玉米是小麥的天以后剩下的玉米是小麥的3倍。倍。6、倍比問題、倍比問題 【含義含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。【數量關系數量關系】總量總量一個數量倍數一個數量倍數 另一個數量另一個數量倍數另一總量倍數另一總量【解題思路和方法解題思路和方法】先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。n例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解解 （1）

19、3700千克是千克是100千克的多少倍？千克的多少倍？ 370010037（倍）（倍） （2）可以榨油多少千克？）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）（千克）列成綜合算式列成綜合算式 40（3700100）1480（千克）（千克）答：可以榨油答：可以榨油1480千克。千克。 n例2今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解解 （1）48000名是名是300名的多少倍？名的多少倍？ 48000300160（倍）（倍） （2）共植樹多少棵？）共植樹多少棵？ 40016064000（棵）（棵）列成綜合算式列成綜合算式 400（48000

20、300）64000（棵）（棵）答：全縣答：全縣48000名師生共植樹名師生共植樹64000棵。棵。n例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解解 （1）800畝是畝是4畝的幾倍？畝的幾倍？ 8004200（倍）（倍） （2）800畝收入多少元？畝收入多少元？ 111112002222200（元）（元） （3）16000畝是畝是800畝的幾倍？畝的幾倍？ 1600080020（倍）（倍） （4）16000畝收入多少元？畝收入多少元？ 22222002044444000（元）（元）答：全鄉答：全鄉

21、800畝果園共收入畝果園共收入2222200元，全縣元，全縣16000畝果園共收入畝果園共收入44444000元。元。 7、相遇問題、相遇問題 【含義含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數量關系數量關系】相遇時間總路程相遇時間總路程（甲速乙速）（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時間相遇時間 【解題思路和方法解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。n例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？解

22、解 392（2821）8（小時）（小時）答：經過答：經過8小時兩船相遇。小時兩船相遇。n例2小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？解解 “第二次相遇第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。可以理解為二人跑了兩圈。 因此總路程為因此總路程為4002 相遇時間（相遇時間（4002）（53）100（秒）（秒） 答：二人從出發到第二次相遇需答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。秒時間。n例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相

23、遇，求兩地的距離。解解 “兩人在距中點兩人在距中點3千米處相遇千米處相遇”是正確理解本題是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點甲過了中點3千米，乙距中點千米，乙距中點3千米，就是說甲比千米，就是說甲比乙多走的路程是（乙多走的路程是（32）千米，因此，）千米，因此，相遇時間（相遇時間（32）（1513）3（小時）（小時）兩地距離（兩地距離（1513）384（千米）（千米）答：兩地距離是答：兩地距離是84千米。千米。8、追及問題、追及問題 【含義含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又

24、不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。【數量關系數量關系】追及時間追及路程追及時間追及路程（快速慢速）（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時間追及時間 【解題思路和方法解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。n例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解解 （1）劣馬先走）劣馬先走12天能走多少千米？天能走多少千米？ 7512900（千米）（千米） （2）好馬幾天追上劣馬？）好馬幾天追上劣馬？ 900（1

25、2075）20（天）（天）列成綜合算式列成綜合算式 7512（12075）9004520（天）（天）答：好馬答：好馬20天能追上劣馬。天能追上劣馬。 n例2小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（米，此時小亮跑了（500200）米，要知小亮的）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時米所用的時間。又知小明跑間。又知小明跑200米用米用4

26、0秒，則跑秒，則跑500米用米用40（500200）秒，所以小亮的速度是）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200） 3001003（米）（米）答：小亮的速度是每秒答：小亮的速度是每秒3米。米。n例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人逃跑的路程是）小時，這段時間敵人逃跑的路程是10（226）千米，甲

27、乙兩地相距）千米，甲乙兩地相距60千米。由此千米。由此推知推知追及時間追及時間10（226）60（3010） 2202011（小時）（小時）答：解放軍在答：解放軍在11小時后可以追上敵人。小時后可以追上敵人。n例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解解 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（從題中可知客車落后于貨車（162）千米，客）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間

28、，這個時為個時為 162（4840）4（小時）（小時）所以兩站間的距離為所以兩站間的距離為 （4840）4352（千米）（千米）列成綜合算式列成綜合算式 （4840）162（4840） 884 352（千米）（千米）答：甲乙兩站的距離是答：甲乙兩站的距離是352千米。千米。n例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解解 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發到相遇）間。從題中可知，在相同時間（

29、從出發到相遇）內哥哥比妹妹多走（內哥哥比妹妹多走（1802）米，這是因為哥哥）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（比妹妹每分鐘多走（9060）米，）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為那么，二人從家出走到相遇所用時間為1802（9060）12（分鐘）（分鐘）家離學校的距離為家離學校的距離為 9012180900（米）（米）答：家離學校有答：家離學校有900米遠。米遠。n例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發現手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的

30、速度。解解 手表慢了手表慢了10分鐘，就等于晚出發分鐘，就等于晚出發10分鐘，如果按原速走分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準時到）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（學校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行分鐘，由此可知，行1千千米，跑步比步行少用米，跑步比步行少用9（105）分鐘。）分鐘。所以步行所以步行1千米所用時間為千米所用時間為 19（105） 0.25（小時）（小時）15（分鐘）（分鐘）跑步跑步1千米所用時間為千米所用時

31、間為 159（105）11（分鐘）（分鐘）跑步速度為每小時跑步速度為每小時 111605.5（千米）（千米）答：孫亮跑步速度為每小時答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。千米。9、植樹問題、植樹問題 【含義含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數量關系數量關系】線形植樹線形植樹 棵數距離棵數距離棵距棵距1 環形植樹環形植樹 棵數距離棵數距離棵距棵距 方形植樹方形植樹 棵數距離棵數距離棵距棵距4 三角形植樹三角形植樹 棵數距離棵數距離棵距棵距3 面積植樹面積植樹 棵數面積棵數面積（棵距（棵距行距）行距）【解題思路和方法解

32、題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。n例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解解 1362168169（棵）（棵）答：一共要栽答：一共要栽69棵垂柳。棵垂柳。n例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解解 4004100（棵）（棵） 答：一共能栽答：一共能栽100棵白楊樹。棵白楊樹。 n例3一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解解 2204841104106（個）（個）答：一共可以安裝答：一共可以安裝106個照明燈。個照明燈。n例4給一個面積為96平

33、方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解解 96（0.60.4）960.24400（塊）（塊）答：至少需要答：至少需要400塊地板磚。塊地板磚。n例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解解 （1）橋的一邊有多少個電桿？）橋的一邊有多少個電桿？ 50050111（個）（個） （2）橋的兩邊有多少個電桿？）橋的兩邊有多少個電桿？ 11222（個）（個） （3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22244（盞）（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝答：

34、大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。盞路燈。10、年齡問題、年齡問題 【含義含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。【數量關系數量關系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡年齡差不變差不變”這個特點。這個特點。【解題思路和方法解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。n例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解解 355

35、7（倍）（倍） （35+1）（5+1）6（倍）（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸倍，明年爸爸的年齡是亮亮的的年齡是亮亮的6倍。倍。n例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（歲） （2）幾年后母親的年齡是女兒的）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？倍？ 30（41）73（年）（年）列成綜合算式列成綜合算式 （377）（41）73（年）（年）答：答：3年后母親的年齡是女兒的年后母親的年齡是女兒的4倍。倍。n例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子

36、年齡的4倍，父子今年各多少歲？解解 今年父子的年齡和應該比今年父子的年齡和應該比3年前增加（年前增加（32）歲，）歲，今年二人的年齡和為今年二人的年齡和為 493255（歲）（歲） 把今年兒子年齡作為把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相倍量，則今年父子年齡和相當于（當于（41）倍，因此，）倍，因此，今年兒子年齡為今年兒子年齡為 55（41）11（歲）（歲）今年父親年齡為今年父親年齡為 11444（歲）（歲）答：今年父親年齡是答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是歲，兒子年齡是11歲。歲。n例4甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數

37、時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？解解 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：列表分析： 表中兩個表中兩個“”表示同一個數，兩個表示同一個數，兩個“”表示同一個數。表示同一個數。 因為兩個人的年齡差總相等：因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是也就是4，61成等差數列，所以，成等差數列，所以，61應該比應該比4大大3個年齡差，個年齡差， 因此二人年齡差為因此二人年齡差為 （614）319（歲）（歲）甲今年的歲數為甲今年的歲數為 611942（歲）（歲）乙今年的歲數為乙今年的歲數為 421923（歲）（歲）答：甲

38、今年的歲數是答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是歲，乙今年的歲數是23歲。歲。11、行船問題、行船問題 【含義含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數量關系數量關系】 （順水速度逆水速度）（順水速度逆水速度）2船速船速 （順水速度逆水速度）（順水速度逆水速度）2水速水速 順水速船速順水速船速2逆水速逆水速水速逆水速逆水速水速2 逆水速船速逆水速船速2順水速順水速水速順水速順水速水速2 【解題思路和方法解題思路和方法

39、】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。n例1一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解解 由條件知，順水速船速水速由條件知，順水速船速水速3208，而水速為每小時，而水速為每小時15千米，所以，千米，所以，船速為每小時船速為每小時 32081525（千米）（千米）船的逆水速為船的逆水速為 251510（千米）（千米）船逆水行這段路程的時間為船逆水行這段路程的時間為 3201032（小時）（小時）答：這只船逆水行這段路程需用答：這只船逆水行這段路程需用32小時。小時。n例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段

40、距離需15小時，返回原地需多少時間？解解 由題意得由題意得 甲船速水速甲船速水速3601036 甲船速水速甲船速水速3601820 可見可見 （3620）相當于水速的）相當于水速的2倍，倍， 所以，所以， 水速為每小時水速為每小時 （3620）28（千米）（千米） 又因為，又因為， 乙船速水速乙船速水速36015， 所以，所以， 乙船速為乙船速為 36015832（千米）（千米） 乙船順水速為乙船順水速為 32840（千米）（千米） 所以，所以， 乙船順水航行乙船順水航行360千米需要千米需要 360409（小時）（小時） 答：乙船返回原地需要答：乙船返回原地需要9小時。小時。 n例3一架飛機

41、飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解解 這道題可以按照流水問題來解答。這道題可以按照流水問題來解答。 （1）兩城相距多少千米？）兩城相距多少千米？ （57624）31656（千米）（千米） （2）順風飛回需要多少小時？）順風飛回需要多少小時？ 1656（57624）2.76（小時）（小時） 列成綜合算式列成綜合算式 （57624）3（57624） 2.76（小時）（小時） 答：飛機順風飛回需要答：飛機順風飛回需要2.76小時。小時。 12、列車問題、列車問題 【含義含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意

42、列車車身的長度。【數量關系數量關系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速車速 火車追及：追及時間（甲車長乙車長距離）火車追及：追及時間（甲車長乙車長距離） （甲車速乙車速）（甲車速乙車速） 火車相遇：相遇時間（甲車長乙車長距離）火車相遇：相遇時間（甲車長乙車長距離） （甲車速乙車速）（甲車速乙車速） 【解題思路和方法解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。n例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解解 火車火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長分鐘所行的路程，就是橋長

43、與火車車身長度的和。度的和。 （1）火車）火車3分鐘行多少米？分鐘行多少米？ 90032700（米）（米） （2）這列火車長多少米？）這列火車長多少米？ 27002400300（米）（米）列成綜合算式列成綜合算式 90032400300（米）（米）答：這列火車長答：這列火車長300米。米。n例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解解 火車過橋所用的時間是火車過橋所用的時間是2分分5秒秒125秒，秒，所走的路程是（所走的路程是（8125）米，這段路程就）米，這段路程就是（是（200米橋長），所以，橋長為米橋長），所以，橋長為 812520

44、0800（米）（米）答：大橋的長度是答：大橋的長度是800米。米。n例3一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解解 從追上到追過，快車比慢車要多行（從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時間為）米，因此，所求的時間為（225140）（2217）73（秒）（秒）答：需要答：需要73秒。秒。n例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解解

45、 如果把人看作一列長度為零的火車，原題如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。就相當于火車相遇問題。 150（223）6（秒）（秒）答：火車從工人身旁駛過需要答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。秒鐘。n例5一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在（8858）秒的時間內行駛了（）秒的時間內行駛了（20001250）米的路程

46、，因此，火車的車速為每秒米的路程，因此，火車的車速為每秒 （20001250）（8858）25（米）（米） 進而可知，車長和橋長的和為（進而可知，車長和橋長的和為（2558）米，）米， 因此，車長為因此，車長為 25581250200（米）（米） 答：這列火車的車速是每秒答：這列火車的車速是每秒25米，車身長米，車身長200米。米。13、時鐘問題、時鐘問題 【含義含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數量關系數量關系】 分針的速度是時針的分針的速度是時針的12倍，倍， 二者的速度差為二者的速度差為11/12

47、。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。【解題思路和方法解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。n例1從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？解解 鐘面的一周分為鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，格，分針每分鐘走一格，每小時走每小時走60格；時針每小時走格；時針每小時走5格，每分鐘格，每分鐘走走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。格。4點整，時針在前，點整，時針在前，分針在后，兩針相距分針在后，兩針相距20格。所以格。所以 分針追上時針的時間為分針追

48、上時針的時間為 20（11/12） 22（分）（分）答：再經過答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。分鐘時針正好與分針重合。n例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解解 鐘面上有鐘面上有60格，它的格，它的1/4是是15格，因而兩針成直格，因而兩針成直角的時候相差角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走么分針就要比時針多走 （5415）格，如）格，如果分針在時針前與它成直角，那

49、么分針就要比時果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（針多走（5415）格。再根據）格。再根據1分鐘分針比時分鐘分針比時針多走（針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時）格就可以求出二針成直角的時間。間。 （5415）（11/12） 6（分）（分） （5415）（11/12） 38（分）（分） 答：答：4點點06分及分及4點點38分時兩針成直角。分時兩針成直角。n例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解解 六點整的時候，分針在時針后（六點整的時候，分針在時針后（56）格，）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。際上是

50、一個追及問題。（56）（11/12） 33（分）（分）答：答：6點點33分的時候分針與時針重合。分的時候分針與時針重合。14、盈虧問題、盈虧問題 【含義含義】根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。【數量關系數量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數（盈虧）參加分配總人數（盈虧）分配差分配差如果兩次都盈或都虧，則有：如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總人數（大盈小盈）參加分配總人數（大盈小盈）分配差分配差

51、 參加分配總人數（大虧小虧）參加分配總人數（大虧小虧）分配差分配差【解題思路和方法解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。n例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解解 按照按照“參加分配的總人數（盈虧）參加分配的總人數（盈虧）分配差分配差”的數量關系：的數量關系： （1）有小朋友多少人？）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（人） （2）有多少個蘋果？）有多少個蘋果？ 3121147（個）（個）答：有小朋友答：有小朋友12人，有人，有47個蘋果。個蘋果。 n例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延

52、長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解解 題中原定完成任務的天數，就相當于題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分參加分配的總人數配的總人數”，按照，按照“參加分配的總人數（大參加分配的總人數（大虧小虧）虧小虧）分配差分配差”的數量關系，可以得知的數量關系，可以得知原定完成任務的天數為原定完成任務的天數為 （26083004）（300260）22（天）（天）這條路全長為這條路全長為 300（224）7800（米）（米）答：這條路全長答：這條路全長7800米。米。 n例3學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多

53、少人？解解 本題中的車輛數就相當于本題中的車輛數就相當于“參加分配的總參加分配的總人數人數”，于是就有，于是就有（1）有多少車？）有多少車？ （300）（4540）6（輛）（輛）（2）有多少人？）有多少人？ 40630270（人）（人）答：有答：有6 輛車，有輛車，有270人。人。15、工程問題、工程問題 【含義含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。【數量關系數量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作解答工程問題

54、的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。 工作量工作效率工作量工作效率工作時間工作時間 工作時間工作量工作時間工作量工作效率工作效率 工作時間總工作量工作時間總工作量（甲工作效率乙工作效率）（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法解題思路和方法】變通后可以利用上述數量關系的公式。n例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單

55、獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？解解 題中的題中的“一項工程一項工程”是工作總量，由于沒有給是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位單位“1”。由于甲隊獨做需。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天天完成，那么每天完成這項工程的完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需；乙隊單獨做需15天完成，天完成，每天完成這項工程的每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（完成這項工程的（1/101/15）。）。 由此可以列出算式：由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）（

56、天）答：兩隊合做需要答：兩隊合做需要6天完成。天完成。n例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解解 設總工作量為設總工作量為1，則甲每小時完成，則甲每小時完成1/6，乙每小，乙每小時完成時完成1/8，甲比乙每小時多完成（，甲比乙每小時多完成（1/61/8），），二人合做時每小時完成（二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人）。因為二人合做需要合做需要1（1/61/8）小時，這個時間內，）小時，這個時間內，甲比乙多做甲比乙多做24個零件，所以個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？）每小時甲比乙多做多少零件？

57、241（1/61/8）7（個）（個）（2）這批零件共有多少個？）這批零件共有多少個？ 7（1/61/8）168（個）（個） 答：這批零件共有答：這批零件共有168個。個。解二解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為為 1/6 1/84 3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的由此可知，甲比乙多完成總工作量的 43 / 43 1/7 所以，這批零件共有所以，這批零件共有 241/7168（個）（個）n例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，

58、余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為我們設總工作量為12、10、和、和15的某一公倍數，的某一公倍數，例如最小公倍數例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分，則甲乙丙三人的工作效率分別是別是 60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做還需要因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （6052）（64）5（小時）（小時） 答：還需要答：還需要5小時才能完成。小時才能完成。n例4一個水池，底部

59、裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 解解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。作效率。 要要2小時內將水池注滿，即要使小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管

60、、排水管的工作效率及總工作量（一是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。，其余兩個量便可由條件推出。 我們設每個同樣的進水管每小時注水量為我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則，則4個進水管個進水管5小時注水小時注水量為（量為（145），），2個進水管個進水管15小時注水量為（小時注水量為（1215），從而），從而可知每小時的排水量為可知每小時的排水量為 （1215145）（155）1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一