1、統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A 3 相似矩陣相似矩陣 一、一、相似矩陣與相似變換相似矩陣與相似變換的概念的概念對對 A 進行進行1PAP 運算運算, 稱為對稱為對A進行相似變換進行相似變換,1,PAPB 定義定義: 設設A, B都是都是n階方陣階方陣, 若有可逆方陣若有可逆方陣 P , 使使則稱則稱 B 是是 A的相似矩陣的相似矩陣, 也稱也稱 矩陣矩陣 A與與 B相似相似;可逆矩陣可逆矩陣P 稱為把稱為把 A變成變成 B的相似變換矩陣的相似變換矩陣.統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A二、相似矩陣的性質二、相似矩陣的性質

2、矩陣間的相似關系具有矩陣間的相似關系具有 (1) 反身性反身性: A 與與 A 本身相似本身相似; (2) 對稱性對稱性: 若若 A 與與 B 相似相似, 則則 B 與與 A 也相似也相似; (3) 傳遞性傳遞性: 若若 A 與與 B 相似相似, B 與與 C 相似相似, 則則 A 與與 C 相似相似;因此相似關系是一種等價關系因此相似關系是一種等價關系.統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A定理定理: 若若 A 與與 B 相似相似, 則則(1);AB (2)( )( );R AR B (3) 相似矩陣有相同的特征多項式相似矩陣有相同的特征多項式, 從而有相同的從

3、而有相同的特征值特征值.特別地特別地, 若若 A 與對角矩陣與對角矩陣 1 2 n 相似相似, , 則則就是就是 A 的的 n 個特征值個特征值.12,n統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A例例: 設設 與與 相似相似, 求求 a, b.20022311Aa 12Bb 解解: 由于由于相似相似矩陣有相同的特征多項式矩陣有相同的特征多項式, 所以所以,AEBE2(2)(1)(2)aa (1)(2)(),b 取取01, 及及02ab 可可解解出出, ,統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A三、利用相似變換將方陣對角化三、利用相似變換將方

4、陣對角化,nAP對對階階方方陣陣若若能能找找到到可可逆逆矩矩陣陣使使1,.PAPA 為為對對角角陣陣 這這就就稱稱為為把把方方陣陣對對角角化化(1) ?A問問題題是是 在在什什么么條條件件下下方方陣陣能能對對角角化化1(2) ?APPAP 若若能能對對角角化化, ,則則如如何何求求可可逆逆陣陣 使使1,PPAP 假假設設有有可可逆逆陣陣使使1 2 n 12,nPPppp 把把用用其其列列向向量量表表示示為為統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A1PAP 則則,APP 121122,(,),nnnA pppppp 即即(1,2, ),iiiA ppin ,iiAPp

5、 可見是的特征值 而的列向量就是可見是的特征值 而的列向量就是.iA 的對應于特征值的特征向量的對應于特征值的特征向量 因而若因而若 P 是由是由 A 的的 n 個特征向量所構成個特征向量所構成, 則總有則總有;APP 1,PAP 但要但要,P需可逆需可逆即即要求要求 A 有有n 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量.統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A定理定理: n 階方陣階方陣A與對角陣相似與對角陣相似 (即即A 能對角化能對角化) 的的充要條件是充要條件是 A 有有 n 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量.12,npppAn若若是是的的 個個線線

6、性性無無關關的的特特征征向向量量12(,),nPppp 則則取取112(,),nP APdiag iip 其其中中與與對對應應. .推論推論: 如果如果 n 階方陣階方陣 A 有有 n 個互不相同的特征值個互不相同的特征值, 則則 A 必能對角化必能對角化. 當當 A 的特征方程有重根時的特征方程有重根時, 就不一定有就不一定有 n 個個線性無關的特征向量線性無關的特征向量, 從而不一定能對角化從而不一定能對角化.統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A例例: 設設 分別是分別是 A 的對應于特征值的對應于特征值1,1, 21111 , 2 , 3148 的的特征向

7、量特征向量, 求求 A.解解:111123 ,148P 令 令 1100010 ,002PAP 則 則 1441572 ,231P 可求出 可求出 1100010002APP 13175263611568025 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A 4 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化 一、一、實對稱矩陣的性質實對稱矩陣的性質(1) 實對稱矩陣的特征值都是實數實對稱矩陣的特征值都是實數.(2) 實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量 相互正交相互正交.(3) ,nAk 設設是是 階階實實對對稱稱矩矩陣陣的的 重重特特征征值值

8、 則則(), R AEnkk從而對應特征值恰有個從而對應特征值恰有個.線線性性無無關關的的特特征征向向量量統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A定理定理: 實對稱矩陣實對稱矩陣A 必能對角化必能對角化, 且存在正交陣且存在正交陣P1,PAP 使使 .An 其其中中是是以以的的個個特特征征值值為為對對角角元元素素的的對對角角矩矩陣陣 二、二、利用正交陣將實對稱矩陣對角化的步驟利用正交陣將實對稱矩陣對角化的步驟(1),;sA 1 1求求出出的的所所有有互互不不相相等等的的特特征征值值 (2)iiAE x0求出每一對應的特征方程組求出每一對應的特征方程組的的一一基基礎礎

9、解解系系, ,再將它們正交規范化,再將它們正交規范化,i 得對應的得對應的;一組正交的單位特征向量一組正交的單位特征向量(3)將所求的所有單位正交特征向量合在一起,將所求的所有單位正交特征向量合在一起,P構成矩陣構成矩陣1PPAP 就是使的正交陣.就是使的正交陣.統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A例例: 設設120222 ,023A 1 .PPAP 求求一一正正交交陣陣使使為為對對角角陣陣解解: A 特征多項式特征多項式120222023AE ( 1)(2)(5), 1231,2,5;A 得的特征值為得的特征值為統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線

10、性性 代代 數數 A11, 對應對應(),AE x0特征方程組為特征方程組為220232024AE 由由續解續解:120222 ,023A 1231,2,5;A 的的特特征征值值102 012 ,000r 13232,2,xxxx 122 ,1 得基礎解系得基礎解系111p 單位化得單位化得2/32/3 ;1/3 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A22, 對應對應(2),AE x0特征方程組特征方程組1202202021AE 由由101 011/2 ,000r 1323,/2,xxxx 211/2 ,1 得基礎解系得基礎解系續解續解:120222 ,023A

11、1231,2,5;A 的的特特征征值值222p 單位化得單位化得2/31/3;2/3 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A35, 對應對應(5),AE x0特征方程組特征方程組4205232022AE 由由101/2 011,000r 1323/2,xxxx 31/21,1 得基礎解系得基礎解系續解續解:120222 ,023A 1231,2,5;A 的的特特征征值值333p 單位化得單位化得1/32/3 ;2/3 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A續解續解:123(,)Pppp 令 令 2/32/3 1/32/3 1/32/3

12、 ,1/32/32/3 1PAP 則則100020005 1231,2,5 對對應應的的單單位位特特征征向向量量分分別別為為12/32/3 ,1/3p 22/31/3,2/3p 31/32/3 ,2/3p 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A例例: 設設011101 ,110A 1 .PPAP 求求一一正正交交陣陣使使為為對對角角陣陣解解: A 特征多項式特征多項式111111AE 2(2)(1) , 1232,1;A 得的特征值為得的特征值為統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A續解續解:12, 對應對應(2),AE x0特征方程

13、組為特征方程組為2112121112AE 由由011101 ,110A 1232,1;A 的特征值的特征值101 011 ,000r1323,xxxx 111 ,1 得基礎解系得基礎解系111p 單位化得單位化得111 ;31 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A231,對應對應(),AE x0特征方程組為特征方程組為111111111AE 由由續解續解:011101 ,110A 1232,1;A 的特征值的特征值111 000,000r 123,xxx 211,0 得基礎解系得基礎解系310 ,1 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數

14、數 A23231111,0 ,01 對應的特征方程組的對應的特征方程組的基礎解系基礎解系續解續解:23, 將正交化:將正交化:2,2 2令=令=2333222, 111 ,22 再再單單位位化化得得22p 2 2= =111,20 333p = =111 ;62 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A續解續解:123(,)Pppp 令 令 1/31/21/61/31/21/6 ,1/302/6 1PAP 則則200010001 12 對應的單位特征向量為對應的單位特征向量為1p 231 對應的單位正交特征向量為對應的單位正交特征向量為p 2 23p 111 ,31

15、 111,20 111 ;62 統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A思考題思考題2 2：,( ).(A) ; (B) ; (C) ;(D) . A BnABEAEBABABtt EAt EB 設設為為 階階矩矩陣陣, ,且且與與相相似似, ,則則與與有有相相同同的的特特征征值值和和特特征征向向量量與與都都相相似似與與一一個個對對角角陣陣對對任任意意常常數數 ，與與相相似似思考題思考題1:1: n 階方陣階方陣 A 具有具有 n 個不同的特征值是個不同的特征值是 A與對角矩陣相似的（與對角矩陣相似的（ ）.(A) 充分且必要條件充分且必要條件; (B) 充分而非必

16、要條件充分而非必要條件; (C) 必要而非充分條件必要而非充分條件; (D) 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件BD統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A思考題思考題3:3: n階方陣階方陣A 能與對角矩陣相似的充分必要能與對角矩陣相似的充分必要條件是（條件是（ ） (A) A是實對稱矩陣是實對稱矩陣; (B) A的的n個特征值互不相等個特征值互不相等; (C) A具有具有n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量; (D) A的特征向量兩兩正交的特征向量兩兩正交C統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A思考拓展思考拓展1: 設設

17、 求求 a 使使 A 能對角化能對角化.00111,100Aa 解解: A 特征多項式特征多項式011110AEa 2( 1)(1) , 1231,1;A 得的特征值為得的特征值為統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A續解續解:11, 對應對應(),AE x0特征方程組為特征方程組為10112101AEa由由00111,100Aa 1231,1;A 的特征值的特征值101 021 ,000ra ()2,R AE ;可得1個線性無關的特征向量可得1個線性無關的特征向量231,A從而能對角化,則對應特征值從而能對角化,則對應特征值;應有2個線性無關的特征向量應有2個線

18、性無關的特征向量統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A231,而對而對(),AE x0特征方程組為特征方程組為續解續解:00111,100Aa 1231,1;A 的特征值的特征值231對應有2個線性無關的特征向量對應有2個線性無關的特征向量()1,R AE 10110101AEa 而而101 001 ,000ra 1.Aa 能對角化,則要求能對角化,則要求統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A思考拓展思考拓展2: 求一個三階實對稱矩陣求一個三階實對稱矩陣 A, 它的特征值它的特征值為為 6, 3, 3, 且特征值且特征值6對應的一個特征向量為對應的一個特征向量為.,pT1) 111 (設特征值設特征值3對應的特征向量為對應的特征向量為 x = (x1 , x2 , x3)T ,由于實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量由于實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量 正交正交, , 0 3211 xxxx,p故故求得這個方程組的基礎解系為求得這個方程組的基礎解系為,101,01132 pp取取 p2 , p3 為特征值為特征值3對應的兩個線性無關的特征向量；對應的兩個線性無關的特征向量；統計軟件分析與應用4.3 相似矩陣相似矩陣線線 性性 代代 數數 A),(321pppP 令令