1、一種科學只有在成功地運用數學時一種科學只有在成功地運用數學時, ,才算達到完善的地步才算達到完善的地步切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離數形結合百般好，隔離分家萬事休，數形結合百般好，隔離分家萬事休，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？3.1.1方程的根方程的根與與 函數的零點函數的零點數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數形結合百般好，隔離分家萬事休，數形結合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永

2、遠聯系，莫分離切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離一種科學只有在成功地運用數學時一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到完善的地步才算達到完善的地步數缺形時少直觀，形少數時難入微，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，數形結合百般好，隔離分家萬事休，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數缺形時少直觀，形少數時難入微，學習目標學習目標1.通過二次函數的圖像，了解二次函數與一元二通過二次函數的圖像，了解二次函數與一元二次方程的關系，能判斷一元二次方程根的存在性次方程的關系，能判斷一元二次方程根的存在性及根的個

3、數；及根的個數；2.了解函數的零點與方程根的聯系，能利用函數了解函數的零點與方程根的聯系，能利用函數零點與方程根的關系確定方程根的個數。零點與方程根的關系確定方程根的個數。0624053306513 xxxxx：ln)()(x(2)061)3x(2求求下下列列方方程程的的根根問問題題問題問題探究探究 今天我們可以從教科書中了解各今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但在數學發展史式各樣方程的解法，但在數學發展史上，方程的求解卻經歷了相當漫長的上，方程的求解卻經歷了相當漫長的歲月歲月. 我國古代數學家在約公元我國古代數學家在約公元50年年100年編成的年編成的九章算術九章算術，給出了求，

4、給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法具體方法 花拉子米(約780約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。 阿貝爾(18021829)挪威數學家.證明了五次以上一般方程沒有求根公式。 卡爾達諾，意大利數學家，他第一個發卡爾達諾，意大利數學家，他第一個發表了三次代數方程一般解法的卡爾達諾表了三次代數方程一般解法的卡爾達諾公式，也稱卡當公式（解法的思路來自公式，也稱卡當公式（解法的思路來自塔塔利亞，兩人因此結怨，爭論多年）。塔塔利亞，兩人因此結怨，爭論多年）。他的學生費拉里他的學生費拉里第一個求出四次方程的第一個求出四次方程的代數解。代數解。 韋達是

5、韋達是法國法國十六世紀最有影響的十六世紀最有影響的數學家數學家之之一。第一個引進系統的一。第一個引進系統的代數代數符號，并對方符號，并對方程論做了改進。程論做了改進。韋達討論了方程根的各種韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與系數之間的關有理變換，發現了方程根與系數之間的關系即系即“韋達定理韋達定理” 。 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數函數函函數數的的圖圖象象方程的實數根方程的實數根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數根無實數根函數的圖象函數的圖象與與x軸的交點軸的交點(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x22x3=0 xy0

6、1321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3問題問題探究探究問題問題2 2 求出表中一元二次方程的實數根，求出表中一元二次方程的實數根，畫出相應的二次函數圖像的簡圖，并寫出畫出相應的二次函數圖像的簡圖，并寫出函數的圖象與函數的圖象與x x軸的交點坐標軸的交點坐標方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函數函數y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數的圖象函數的圖象與與 x 軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數根實數根x1 = x2沒有實數根沒有實數根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) ,

7、(x2,0)(x1,0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數根的實數根x1 、x2問題問題3 3 若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與一元二次方程及相應的二次函數的圖象與x x軸交點的軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？關系，上述結論是否仍然成立？1.1.方程根的個數就是函數圖象與方程根的個數就是函數圖象與x x軸交點的個數。軸交點的個數。2.2.方程的實數根就是函數圖象與方程的實數根就是函數圖象與x x軸交點的橫坐標。軸交點的橫坐標。 結論 對于函數對于函數y=f(x), 叫做函數叫做函數y=f(x)的零點。的

8、零點。方程方程f(x)=0有實數根有實數根函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)有零點有零點使使f(x)=0的的實數實數x辨析辨析 : 函數的零點是不是交點？函數的零點是不是交點？概念概念形成形成 2-2和和71 示例示例練習練習代數法代數法 1lg3122145122 xxfxxxfxxxf求下列函數的零點求下列函數的零點問題問題4 4 如圖是某地從如圖是某地從0 0點到點到1212點的氣溫變化圖，點的氣溫變化圖，假設氣溫是連續變化的，請將圖形補充成完假設氣溫是連續變化的，請將圖形補充成完整的函數圖象。這段時間內，是否一定有某整的函數圖象。這段時間內，是否

9、一定有某時刻的氣溫為時刻的氣溫為0 0度？為什么？度？為什么？問題探究問題探究 （有有或或無無）零零點點內內在在區區間間或或（有有或或無無）零零點點內內在在區區間間或或（有有或或無無）零零點點內內在在區區間間或或？圖圖像像是是連連續續還還是是間間斷斷的的觀觀察察函函數數的的圖圖像像 dcdfcfcbcfbfbabfaf,)(03,)(02,)(01結論結論abxy0ab0yxab0yxab0yx如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a,b上的圖象是上的圖象是連續不斷連續不斷的一條曲線的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0,那么，函數那么，函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內有零點，

10、即存在內有零點，即存在 使得使得f(c)=0,這個這個c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca babb bbb bbbbbb bbbbbbxy0思考思考1 1：函數函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上的圖上的圖象是一條連續不斷的曲線，若函數象是一條連續不斷的曲線，若函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a, b)(a, b)內有零點，一定能得出內有零點，一定能得出f f( (a a) )f f( (b b)0)0的結論嗎？的結論嗎？ 結論結論：函數：函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上的圖象是連續不斷的一條上的圖象是連續不斷的一條曲線：

11、曲線：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函數函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點；內有零點；（2 2）函數）函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點內有零點 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。 思考思考2 2：如果函數如果函數 y=f(x) y=f(x) 在在a,ba,b上是連續的上是連續的單調單調函數函數, , 并且在閉區間的兩個端點上的函數并且在閉區間的兩個端點上的函數值互異即值互異即f(a)f(b)f(a)f(b)0,0, 那么這個函數在那么這個函數在(a,b)(a,b)內的零點個數能確定嗎？內的零點個數能確

12、定嗎？由表由表3-13-1和圖和圖3.13.13 3可知可知f(2)0f(2)0， 即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0,f(1.5)=f(1)=10,f(1.5)=2.8750,2.8750,所以所以f(x)=f(x)=x x3 33x+53x+5在區間在區間(1, 1.5)(1, 1.5)上有零點。又因為上有零點。又因為f(x)f(x)是是( (, ,）上的減函數，所以在區間上的減函數，所以在區間(1, 1.5)(1, 1.5)上有上有且只有一個零點。且只有一個零點。xy0132112543圖像法圖像法問題問題6 6. . 的零點所在的大致區間的零點所在的大致區間函數函數利用函數的圖像

13、，指出利用函數的圖像，指出533 xxxf練習練習2：1 的的零零點點個個數數請請判判斷斷出出函函數數xxxf23 問題問題7 7. .已知關于已知關于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(1)(1)若方程有兩根，其中一根在區間若方程有兩根，其中一根在區間( (1,0)1,0)內，內， 另一根在區間另一根在區間(1(1，2)2)內，求內，求m m的范圍的范圍. .(2)(2)若方程有一個根在若方程有一個根在(0,2)(0,2)內內, ,求求m m的范圍的范圍. .(3)(3)若方程有一個根比若方程有一個根比2 2大大, ,另一個根比另一個根比2

14、 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區間若方程兩根均在區間(0(0，1)1)內，求內，求m m的范圍的范圍. .【變式引申變式引申】 65,21,21056)2(, 024)1(, 02)1(, 012)0(mmRmmmfmffmf2165 m解：解：(1)(1)條件說明拋物線條件說明拋物線f(x)=xf(x)=x2 2+2mx+2m+1+2mx+2m+1與與x x軸的交點分別在區間軸的交點分別在區間( (1 1，0)0)和和(1(1，2)2)內，內，畫出示意圖，得畫出示意圖，得.問題問題7 7：已知關于已知關于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+

15、1=0.+2mx+2m+1=0.(2)(2)若方程有一個根在若方程有一個根在(0,2)(0,2)內內, ,求求m m的范圍的范圍. .(3)(3)若方程有一個根比若方程有一個根比2 2大大, ,另一個根比另一個根比2 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區間若方程兩根均在區間(0(0，1)1)內，求內，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得:f(0)f(2)0:f(0)f(2)0即即(2m+1)(6m+5)0(2m+1)(6m+5)0解得解得: :2165 m問題問題7 7：已知關于已知關于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+

16、2mx+2m+1=0.(3)(3)若方程有一個根比若方程有一個根比2 2大大, ,另一個根比另一個根比2 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區間若方程兩根均在區間(0(0，1)1)內，求內，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得:f(2)0:f(2)0即即6m+506m+50解得解得: :65 m問題問題7 7：已知關于已知關于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(4)(4)若方程兩根均在區間若方程兩根均在區間(0(0，1)1)內，求內，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得: :解得解得

17、: : 10, 0, 0)1(, 0)0(mff . 01,2121,21,21mmmmm或或2121 m 對于函數對于函數y=f(x), 叫做函數叫做函數y=f(x)的零點。的零點。方程方程f(x)=0有實數根有實數根函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)有零點有零點使使f(x)=0的實數的實數x如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a,b上的圖象是連續不斷上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,那么，函數那么，函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內有零點，即存在內有零點，即存在 使得使得f(c)=0,這個這個c也就是

18、方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca b零點存在定理零點存在定理函數函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上的圖象是連續不斷的一條曲線：上的圖象是連續不斷的一條曲線：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函數函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點；內有零點；（2 2）函數）函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點內有零點 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。三個結論三個結論：（3）如果函數）如果函數 y=f(x) 在在a,b上是連續的上是連續的單調單調函數函數, 且且f(a)f(b)0, 那么這個函數在那么這個函數在(a,b)內的零點個數內的零點個數是唯一的。是唯一的。零點的求法零點的求法代數法和圖象法代數法和圖象法函數函數零點零點方程根，方程根，圖象圖象連續連續總有痕。總有痕。數形本是同根生，數形本是同根生，端值端值計算是根本。計算是根本。借問借問零點零點何處有，何處有，端值端值互異互異零點生。零點生。溫溫馨馨提提示示作業：作業本作業：作業本設計思路 基于數形結合思想 基于數學文化謝 謝， 再 見！人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力