1、1 排隊論排隊論教學目的教學目的：了解排隊論的經濟含義；了解排隊論的經濟含義；排隊系統的一般概念和簡單的排隊系排隊系統的一般概念和簡單的排隊系統；了解排隊問題的計算機仿真。統；了解排隊問題的計算機仿真。 2學習內容學習內容大綱內容大綱內容知識要點知識要點基本概念基本概念排隊系統排隊系統泊松分布、負指數分布泊松分布、負指數分布排隊系統排隊系統排隊系統的一般指標排隊系統的一般指標排隊模型的運用排隊模型的運用M/M/1、M/M/C排隊問題的仿真排隊問題的仿真Excel 仿真仿真3引導案例引導案例-1 銀行排隊系統銀行排隊系統4引導案例引導案例-2 醫院排隊系統醫院排隊系統5形形色色的排隊系統形形色色

2、的排隊系統達到的顧客達到的顧客要求服務的內容要求服務的內容服務的機構服務的機構出故障的機器出故障的機器修理技工修理技工病人病人電話呼叫電話呼叫進港貨船進港貨船入水庫河水入水庫河水達到機場上空的飛機達到機場上空的飛機刑事案件刑事案件達到路口的車輛達到路口的車輛來犯敵機來犯敵機修理修理領取修配零件領取修配零件診斷（或治療）診斷（或治療）通話通話裝（卸）貨裝（卸）貨放水、調整水位放水、調整水位降落降落偵破偵破通過路口通過路口截擊截擊修理技工修理技工發放發放修配零件修配零件的管理員的管理員醫生（或治療設備）醫生（或治療設備）交換臺交換臺裝（卸）貨碼頭（泊位）裝（卸）貨碼頭（泊位）水閘、管理員水閘、管理

3、員跑道跑道刑偵部門刑偵部門交通信號燈交通信號燈我防空部隊我防空部隊6為什么會出現排隊現象？為什么會出現排隊現象？假定每小時平均有假定每小時平均有4位顧客到達，服務人員為每位顧客的位顧客到達，服務人員為每位顧客的平均服務時間為平均服務時間為15分鐘。如果顧客到達的間隔時間正好是分鐘。如果顧客到達的間隔時間正好是15分分鐘，而服務人員為每位顧客的服務時間也正好是鐘，而服務人員為每位顧客的服務時間也正好是15分鐘，那么，分鐘，那么，就只需要一名服務人員，顧客也根本用不著等待。就只需要一名服務人員，顧客也根本用不著等待。 在以下情況將出現排隊現象：在以下情況將出現排隊現象： 平均到達率高于平均服務率平

4、均到達率高于平均服務率 顧客到達的間隔時間不一樣（隨機）顧客到達的間隔時間不一樣（隨機） 服務時間不一樣（隨機）服務時間不一樣（隨機）顧客離開顧客離開顧客顧客顧客排隊顧客排隊服務設施服務設施7到達數量到達數量時時 間間普通能力普通能力排隊問題并不是系統的固定狀態，它與系統設計與排隊問題并不是系統的固定狀態，它與系統設計與管理的控制有很大關系。如快餐店只允許很短的隊管理的控制有很大關系。如快餐店只允許很短的隊長，也可為特定的顧客留出特定的時間段；也可以長，也可為特定的顧客留出特定的時間段；也可以通過使用更快的服務人員、機器或采用不同的設施通過使用更快的服務人員、機器或采用不同的設施布局和政策來影

5、響顧客的到達時間和服務時間。布局和政策來影響顧客的到達時間和服務時間。81 排隊論的基本問題排隊論的基本問題1.1 排隊論的主要研究內容排隊論的主要研究內容數量指標數量指標u研究主要數量指標在瞬時或平穩狀態下的概率分研究主要數量指標在瞬時或平穩狀態下的概率分布及其數字特征，了解系統的基本運行特征。布及其數字特征，了解系統的基本運行特征。統計推斷統計推斷u檢驗系統是否達到平穩狀態；檢驗顧客達到間隔檢驗系統是否達到平穩狀態；檢驗顧客達到間隔的獨立性；確定服務時間分布及參數。的獨立性；確定服務時間分布及參數。系統優化系統優化u系統的最優設計和最優運營問題。系統的最優設計和最優運營問題。91.2 排隊

6、論的經濟含義排隊論的經濟含義排隊問題的核心問題實際上就是對不排隊問題的核心問題實際上就是對不同因素做權衡決策。管理者必須衡量同因素做權衡決策。管理者必須衡量為提供更快捷的服務（如更多的車道、為提供更快捷的服務（如更多的車道、額外的降落跑道、更多的收銀臺）而額外的降落跑道、更多的收銀臺）而增加的成本和相應的等待造成的費用增加的成本和相應的等待造成的費用之間的關系。之間的關系。10服務成本與等待成本的權衡（成本效益平衡）服務成本與等待成本的權衡（成本效益平衡）總成本總成本成本成本最佳能力最佳能力等待成本等待成本服務成本服務成本最小值最小值排隊分析的目的是使顧客等待成本與服務能力成本排隊分析的目的是

7、使顧客等待成本與服務能力成本這兩項成本之和最小這兩項成本之和最小112 排隊論概述排隊論概述2.1 基本概念基本概念概念概念u在隊列中，等待服務的顧客（在隊列中，等待服務的顧客（customer）和服務臺）和服務臺（server）就構成了一個排隊系統（）就構成了一個排隊系統（queuing system）。）。本質本質u研究服務臺與顧客之間服務與接收服務的效率問題。研究服務臺與顧客之間服務與接收服務的效率問題。總體目標總體目標u以最少的服務臺滿足最多的客戶需求。以最少的服務臺滿足最多的客戶需求。 122.2 排隊系統的一般形式排隊系統的一般形式排隊可以是有形的隊列，也可以是無排隊可以是有形的隊

8、列，也可以是無形的隊列。排隊可以是人，也可以是形的隊列。排隊可以是人，也可以是物。物。 顧客源顧客源排隊結構排隊結構服服務務機機構構顧客到來顧客到來排隊規則排隊規則服務規則服務規則顧客離去顧客離去服務系統服務系統133 排隊問題的特征排隊問題的特征總體來源總體來源到達與服務模式到達與服務模式排隊紀律（服務順序）排隊紀律（服務順序）服務員數量（通道）服務員數量（通道）14有限顧客源有限顧客源例如：公司只有例如：公司只有三臺機器時，需三臺機器時，需要維修的數量要維修的數量潛在顧客數量潛在顧客數量無限顧客源無限顧客源例如：排隊等候例如：排隊等候公共汽車的乘客公共汽車的乘客人數人數3.1 總體來源總體

9、來源分析排隊問題所用方法取決于潛在顧分析排隊問題所用方法取決于潛在顧客數量是否有限。客數量是否有限。本章討論的重點本章討論的重點153.2 顧客到達與服務模式顧客到達與服務模式常用的模型常用的模型假定假定顧客到達速度服從顧客到達速度服從泊泊松分布松分布，服務時間服從，服務時間服從指數分布指數分布。163.2.1 泊松分布泊松分布定義：設定義：設 N（t）為時間）為時間 0，t 內達到系統的內達到系統的顧客數，如果滿足下面三個條件：顧客數，如果滿足下面三個條件：u平穩性：在平穩性：在 t ，t + t 內有一個顧客達到的概率與內有一個顧客達到的概率與t無關；無關；u獨立性：在任意兩個不相交時間區

10、間內顧客達到相互獨立性：在任意兩個不相交時間區間內顧客達到相互獨立；獨立；u普通性：在普通性：在 t ，t + t內多于一個顧客達到的概率極內多于一個顧客達到的概率極小，為小，為 ( t )，可以忽略。，可以忽略。則稱則稱 N（t），），t 0 為為Poisson 過程，其對過程，其對應的分布為泊松分布（應的分布為泊松分布（ Poisson 分布）。分布）。17泊松分布的形式泊松分布的形式相對相對頻度頻度0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 00.080.060.040.020.00泊松分布泊松分布（比率）（比率）每單位時間顧客數

11、每單位時間顧客數圖圖 泊松分布泊松分布18泊松分布的概率密度函數泊松分布的概率密度函數()( )!nTTT eP nnTn：單位時間段； :到達率：單位時間段內到達的人數如果一個系統的平均到達率是每分鐘有如果一個系統的平均到達率是每分鐘有3個顧個顧客到達（客到達（ =3），求），求1分鐘內有分鐘內有5個人到達的個人到達的概率概率(5,1)nT53 15331(3 1)3(5)2.0250.1015!120eePe 193.2.2 指數分布指數分布當顧客以完全隨機的方式到達服務實當顧客以完全隨機的方式到達服務實施時，相鄰到達間隔時間服從指數分施時，相鄰到達間隔時間服從指數分布，但布，但平均到達率

12、不變平均到達率不變；隨機服務時間服從指數分布，但隨機服務時間服從指數分布，但平均平均服務率不變服務率不變；20（負）指數分布的形式（負）指數分布的形式圖圖 負指數分布負指數分布指數分布指數分布（時間）（時間）相對頻率相對頻率0時間時間21（負）指數分布的概率密度函數（負）指數分布的概率密度函數tf(t)et：單位時間段內到達的顧客數量：時間間隔22（1）（2）（3）t（分鐘）（分鐘）下一個顧客在大于等于下一個顧客在大于等于t分鐘內到達的概率分鐘內到達的概率下一個顧客在小于等于下一個顧客在小于等于t分鐘內到達的概率分鐘內到達的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.

13、220.782.00.140.861備注：設 表表 下一個到達的顧客的時間間隔的概率下一個到達的顧客的時間間隔的概率233.2.3 泊松分布和指數分布的關系泊松分布和指數分布的關系泊松分布與指數分布可以互相推導得泊松分布與指數分布可以互相推導得到。泊松分布的期望值和方差相等，到。泊松分布的期望值和方差相等，都為都為 ；指數分布期望值為；指數分布期望值為1/ ,方差方差為為1/ 2 。相鄰顧客到達相鄰顧客到達時間間隔時間間隔服從指數分布，服從指數分布，單位單位時間段內時間段內到達的顧客數服從泊松到達的顧客數服從泊松分布。分布。243.3 排隊紀律排隊紀律/排隊規則排隊規則/服務順序服務順序排隊規

14、則的排隊規則的3種類型種類型 損失制損失制 等待制等待制排隊規則排隊規則混合制混合制25等待制的四種類型等待制的四種類型最短處理時間最短處理時間SPT隨機服務隨機服務RS后到先服務后到先服務LCFS先到先服務先到先服務FCFS263.4 服務員數量服務員數量排隊系統中的常見變形排隊系統中的常見變形Title in here多通道多通道單階段單階段Title in here單通道單通道多階段多階段Title in here單通道單通道單階段單階段Title in here多通道多通道多階段多階段排隊系統排隊系統27排隊系統的四種變形排隊系統的四種變形-1單通道單通道多階段多階段 服務臺服務臺單通

15、道，單階段單通道，單階段 排隊排隊單通道、單階段排隊系統單通道、單階段排隊系統單通道、多階段排隊系統單通道、多階段排隊系統 排隊排隊 服務臺服務臺 服務臺服務臺28多通道多通道單階段單階段多通道多通道多階段多階段多通道、單階段排隊系統多通道、單階段排隊系統多通道、多階段排隊系統多通道、多階段排隊系統排隊系統的四種變形排隊系統的四種變形-2294 排隊模型排隊模型4.1 排隊問題的一般表達方式排隊問題的一般表達方式一般形式：一般形式： X / Y / CuX 顧客相繼達到顧客相繼達到時間間隔時間間隔的概率分布；的概率分布；uY 服務時間的概率分布；服務時間的概率分布；uC服務臺的個數；服務臺的個

16、數；304.2 一些特殊排隊模型一些特殊排隊模型模型模型分布分布服務服務階段階段顧客源顧客源到達到達分布分布排隊排隊規則規則服務時服務時間分布間分布隊列隊列長度長度典型例子典型例子模型表模型表示示1單通道單通道 單一單一無限無限泊松泊松 FCFS指數指數無限無限只有一個出只有一個出口的收費橋口的收費橋M/M/12單通道單通道 單一單一無限無限泊松泊松 FCFS常數常數無限無限游樂園的游樂園的過山車過山車M/G/13多通道多通道 單一單一無限無限泊松泊松 FCFS指數指數無限無限銀行柜臺銀行柜臺服務服務M/M/C4多通道多通道 單一單一有限有限泊松泊松 FCFS指數指數無限無限工廠里故障工廠里故

17、障機器的維修機器的維修指數分布指數分布常數分布常數分布314.3 模型符號定義（無限顧客源）模型符號定義（無限顧客源）符號符號代表代表 顧客到達速度（到達率）；顧客到達速度（到達率）；1/ 代表相鄰到達平均時間間隔代表相鄰到達平均時間間隔,u服務速度（服務率）；服務速度（服務率）； 1/ 代表平均服務時間代表平均服務時間系統利用率，即到達率與服務率的比值系統利用率，即到達率與服務率的比值Lq等候服務的顧客平均數等候服務的顧客平均數Ls系統中的顧客平均數（正在等候的正在接受服務的）系統中的顧客平均數（正在等候的正在接受服務的）Wq顧客排隊等候的平均時間顧客排隊等候的平均時間Ws顧客在系統中花費的

18、平均時間（排隊等候時間服務時間）顧客在系統中花費的平均時間（排隊等候時間服務時間）r正在接受服務的顧客平均數正在接受服務的顧客平均數n系統中的平均顧客數系統中的平均顧客數C服務臺（通道）數量服務臺（通道）數量P0系統系統0個個顧客概率顧客概率Pn系統有系統有n個個顧客的概率顧客的概率Lmax隊列中等候的最大期望值隊列中等候的最大期望值32系統利用率系統利用率 正在接受服務的顧客平均數正在接受服務的顧客平均數系統中的平均顧客數系統中的平均顧客數系統中等待的平均顧客數系統中等待的平均顧客數顧客平均逗留時間顧客平均逗留時間顧客平均等待時間顧客平均等待時間rssLWuqsqsLLWLr1LqWqWsu

19、1LsWsu4.4 模型參數計算模型參數計算-1（ M/M/1）01P(1)(1)nnPn 33三種重要的關系三種重要的關系“管道原理管道原理”: u穩定系統中平均輸出穩定系統中平均輸出= 平均輸入（率）平均輸入（率）= 時間的可加性時間的可加性u在系統中逗留的時間等于服務時間加排隊在系統中逗留的時間等于服務時間加排隊利特爾法則利特爾法則1WsWqussLWqqLWLW344.4 模型參數計算模型參數計算-2（ M/G/1 ）系統利用率系統利用率 正在接受服務的顧客平均數正在接受服務的顧客平均數系統中等待的平均顧客數系統中等待的平均顧客數系統中的平均顧客數系統中的平均顧客數顧客平均逗留時間顧客

20、平均逗留時間顧客平均等待時間顧客平均等待時間1CC，L sL qr22 ()qLu uLqWqLsWsru常數服務時間能將系統的平均顧客數砍掉一半常數服務時間能將系統的平均顧客數砍掉一半354.4 模型參數計算模型參數計算-3（ M/M/C）-1系統利用率系統利用率 正在接受服務的顧客平均數正在接受服務的顧客平均數系統中等待的平均顧客數系統中等待的平均顧客數系統中的平均顧客數系統中的平均顧客數顧客平均逗留時間顧客平均逗留時間顧客平均等待時間顧客平均等待時間CL sL qr02!(1)cqrLpcLqWqLsWsr364.4 模型參數計算模型參數計算-3（ M/M/C）-21100!(1)ncc

21、nrrPncnP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc37例例1一個碼頭，設待卸貨船到達時間間隔服從一個碼頭，設待卸貨船到達時間間隔服從負指數分布，平均到達負指數分布，平均到達 2 艘艘/小時；服務臺小時；服務臺是是1臺吊車，卸貨時間服從負指數分布，臺吊車，卸貨時間服從負指數分布，平均每平均每 20 分鐘可卸一艘貨船，當被占用分鐘可卸一艘貨船，當被占用時，新到貨船只能停在碼頭等待。求在平時，新到貨船只能停在碼頭等待。求在平穩狀態下碼頭上貨船的平均數；等待卸貨穩狀態下碼頭上貨船的平均數；等待卸貨船只的平均數；每艘貨船在碼頭的平均停船只的平均數；每艘貨船在碼頭的平均停留時間；貨船

22、平均需等待多長時間可以開留時間；貨船平均需等待多長時間可以開始卸貨。始卸貨。38解：解：這是一個典型的這是一個典型的M/M/1排隊排隊問題問題213r260320u 22()3 2sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小時21()2LsWs小時39例例2某醫院手術室根據病人就診和完成手某醫院手術室根據病人就診和完成手術時間的記錄，任意抽查術時間的記錄，任意抽查100個工作個工作小時，每小時來就診的病人數小時，每小時來就診的病人數n的出的出現次數如表現次數如表6所示。又任意抽查了所示。又任意抽查了100個完成手術的病例，所用時間個完成手術的病例，所用時間t出現出現的次數如下表所

23、示。試分別用公式、的次數如下表所示。試分別用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：40 到達病人數到達病人數 n出現次出現次數數 f n0101282293164105661合計合計100到達病人數到達病人數為病人完成手術為病人完成手術時間時間t/小時小時出現次數出現次數 ft 0.00.2380.20.4250.40.6170.6 1.890.81.061.01.251.20合計合計100手術時間手術時間41解：解：這也是一個這也是一個M/M/1排隊排隊問題問題（1）計算平均到達率）計算平均到達率2.1(/)100nnf人 時 平均手術時間平均手術時間0.4()100ttfT 時/人 平均

24、服務率平均服務率12.5()0.4u 人/時42（2）取）取=2.1，=2.5，通過統計檢驗方法認為，通過統計檢驗方法認為病人到達數服從參數為病人到達數服從參數為2.1的泊松分布，手的泊松分布，手術時間服從參數為術時間服從參數為2.5的指數分布。的指數分布。（3）服務設備利用率服務設備利用率2.10.842.5這說明服務機構（手術室）有這說明服務機構（手術室）有84%的時間的時間是繁忙是繁忙的的（被利用），有（被利用），有16%的時間是空的時間是空閑的。閑的。430.84ru2.12.5u 2.15.25()2.5 2.1sLu人5.250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1

25、LqWq小時5.252.5()2.1LsWs小時（4）依次帶入公式，算出各指標得：依次帶入公式，算出各指標得：44單通道仿真視頻單通道仿真視頻45排隊系統仿真軟件排隊系統仿真軟件Flexsim-1Flexsim是建立在系統理論、控制理是建立在系統理論、控制理論、數理統計、信息技術和計算機技論、數理統計、信息技術和計算機技術等理論基礎之上的仿真軟件，它是術等理論基礎之上的仿真軟件，它是系統模型規范化和數字化相結合的過系統模型規范化和數字化相結合的過程。程。46排隊系統仿真軟件排隊系統仿真軟件Flexsim-2Flexsim在排隊系統中的應用主要是利用仿真在排隊系統中的應用主要是利用仿真模型來研究

26、排隊系統，首先通過仿真模型的模型來研究排隊系統，首先通過仿真模型的運行，便于更好的觀測排隊系統過程中出現運行，便于更好的觀測排隊系統過程中出現的一系列復雜變化和動態過程；其次通過仿的一系列復雜變化和動態過程；其次通過仿真模型穩定后的相關值與排隊系統理論值的真模型穩定后的相關值與排隊系統理論值的比較，得出他們的值正好相等。比較，得出他們的值正好相等。Flexsim在排隊系統中的應用有助于我們進一在排隊系統中的應用有助于我們進一步理解排隊系統的相關概念和加深對排隊系步理解排隊系統的相關概念和加深對排隊系統的全面認識，從而對改進排隊系統做出正統的全面認識，從而對改進排隊系統做出正確的舉措。確的舉措。

27、47單通道單通道Excel求解求解48例例3-1Robot公司在全美經營把加油和汽車沖洗合并在公司在全美經營把加油和汽車沖洗合并在一起的業務。一起的業務。Robot公司對加滿油的車輛提供免公司對加滿油的車輛提供免費沖洗，對于不加油只沖洗的車收費費沖洗，對于不加油只沖洗的車收費0.5美元。美元。以往的經驗表明：加油并且洗車的顧客數和單獨以往的經驗表明：加油并且洗車的顧客數和單獨洗車的顧客數大致相等。平均加一次油可盈利洗車的顧客數大致相等。平均加一次油可盈利0.7美元，洗一次車的成本是美元，洗一次車的成本是0.1美元，公司每天美元，公司每天營業營業14小時。小時。Robot有三檔功率和清洗組合不同

28、的設備。選擇有三檔功率和清洗組合不同的設備。選擇I檔功率時，可以每檔功率時，可以每5分鐘洗分鐘洗1輛車，每天的成本是輛車，每天的成本是12美元。美元。II檔功率高于檔功率高于I檔，每檔，每4分鐘洗分鐘洗1輛車，但輛車，但每天的成本是每天的成本是16美元；選擇美元；選擇III檔功率時，每洗檔功率時，每洗1輛車需輛車需3分鐘，但每天的成本是分鐘，但每天的成本是22美元。美元。49例例3-2Robot公司估計，每個顧客洗公司估計，每個顧客洗1輛車不輛車不愿等待的時間不超過愿等待的時間不超過5分鐘，若等待分鐘，若等待的時間過長，公司將失去顧客。的時間過長，公司將失去顧客。若估計每小時有若估計每小時有1

29、0名顧客前來洗車，名顧客前來洗車，那么該選擇哪檔功率的設備？那么該選擇哪檔功率的設備？50解：解：這是一個典型的這是一個典型的M/G/1排隊排隊問題問題（1）選擇功率）選擇功率I時時22102.08333(2 ()2 12 (12 10)qLu u小時)10112r1012u 顧客平均等待時間顧客平均等待時間2.083330.208()10LqWq小時 ，即12.5(分鐘)51（2）選擇功率）選擇功率II時時22100.667(2 ()2 12 (15 10)qLu u小時)10115r1015u 顧客平均等待時間顧客平均等待時間0.6670.0667()10LqWq小時 ，即4(分鐘)如果等

30、待時間是唯一標準，則應選擇功率如果等待時間是唯一標準，則應選擇功率II的設備，但在我們做出最后結論之前，還必的設備，但在我們做出最后結論之前，還必須看一下二者的利潤差異。須看一下二者的利潤差異。52 (3)對于功率對于功率I，由于等待時間為，由于等待時間為12.5分鐘，部分鐘，部分顧客會放棄接受服務。盡管這將使數學分顧客會放棄接受服務。盡管這將使數學分析復雜化，我們仍可以估計出選擇功率分析復雜化，我們仍可以估計出選擇功率I時營業額的減少量。我們可以通過假設時營業額的減少量。我們可以通過假設Wq=5分鐘（分鐘（1/12小時），并從中解得小時），并從中解得 ，這將是最有效的顧客到達率。這將是最有效

31、的顧客到達率。2/2 ()2 ()Lqu uWqu u2212()(12)2128(/)11212()(12)12qqW uW u人 小時53因此，既然因此，既然 的最初估計是的最初估計是10人人/小時，則每小時，則每小時將失去小時將失去2名顧客。名顧客。每天的損失每天的損失(S)：12 14(0.70.4)15.4(/)2S 美元 天而選擇功率而選擇功率II，成本只增加了，成本只增加了4美元美元/天，顯天，顯然，相比較于損失的然，相比較于損失的15.4美元，我們都會選美元，我們都會選擇功率擇功率II設備。設備。功率功率II能滿足最初設定的能滿足最初設定的5分鐘等待最大限分鐘等待最大限度，因而

32、功率度，因而功率III可不予考慮，除非可不予考慮，除非 變大。變大。54例例4 Disneyland樂園中的排隊樂園中的排隊在游樂園中的頻頻排隊會極為掃興，在游樂園中的頻頻排隊會極為掃興，Disneyland中的中的FastPass (QuickPass)系統就系統就是想解決這個問題的。其工作原理如下：是想解決這個問題的。其工作原理如下： 到達的顧客將自己的票插入到達的顧客將自己的票插入FastPass的的slot中；中； FastPass計算出建議顧客返回的時間間隔或時間計算出建議顧客返回的時間間隔或時間點或時間窗；點或時間窗； 顧客無需排隊，在指定的時間返回就可持票進入。顧客無需排隊，在指

33、定的時間返回就可持票進入。55思考思考1. QuickPass對排隊系統的那些特征參對排隊系統的那些特征參數做了改變？數做了改變？2. 改變顧客到達模式，是如何影響系改變顧客到達模式，是如何影響系統績效？統績效？56解：解：泊松分布到達泊松分布到達常數分布到達常數分布到達平均達到率平均達到率11人人/分鐘分鐘11人人/分鐘分鐘平均服務率平均服務率12人人/分鐘分鐘12人人/分鐘分鐘排隊長度排隊長度5.040系統隊長系統隊長5.960平均排隊時間平均排隊時間0.460系統利用率系統利用率91.70%91.70%57Disneyland問題解決了嗎？問題解決了嗎？如果游客不按時間返回？如果游客不按

34、時間返回？是否讓游客等待時間太久了？是否讓游客等待時間太久了？過山車是按時間開還是人數一夠就開？過山車是按時間開還是人數一夠就開？/yaoxie/Pubs_2.htm58例例5某售票所有三個窗口，顧客的到達服從泊某售票所有三個窗口，顧客的到達服從泊松分布，平均到達速率松分布，平均到達速率 = 0.9人人/min；售；售票時間服從負指數分布，平均服務速率票時間服從負指數分布，平均服務速率= 0.4人人/min 。現設顧客到達后排成一隊，。現設顧客到達后排成一隊，依次向空閑的窗口購票，如圖所示。試分依次向空閑的窗口購票，如圖所示。試分別用公式、別用公式、

35、excel和仿真求解：和仿真求解：u(1) 整個售票所空閑概率整個售票所空閑概率u(2) 平均隊列長和平均隊長平均隊列長和平均隊長u(3)平均等待時間和逗留時間平均等待時間和逗留時間u(4)顧客到達后必須等待的概率（顧客到達后必須等待的概率（n3)59顧客到達和服務圖顧客到達和服務圖 顧客離去 排隊 = 0.9 顧客到達 窗口1 = 0.4 窗口2 = 0.4 窗口3 = 0.460解：解：這是一個典型的這是一個典型的M/M/C 排隊排隊問題問題0.90.7513 0.4C0.90.4u (1) 整個售票所空閑概率整個售票所空閑概率r1100!(1)nccnrrPnc012

36、352.2510!1!2!3!10.750.074861(2) 平均排隊長度和平均隊列長平均排隊長度和平均隊列長02!(1)cqrLpc322.250.750.07481.703!(10.75)1.702.253.95sqLLr(3)平均等待時間和逗留時間平均等待時間和逗留時間1.701.890.9qqLW111.894.390.4sqWWu62(4)顧客到達后必須等待的概率（顧客到達后必須等待的概率（n3)331nnPP nP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc00.0748P 230(1)(12.252.531) 0.07480.4322nrPr

37、P31 0.4320.568nP 63M/M/3仿真視頻仿真視頻64M/M/3 Excel求解求解65例例6 銀行取號系統有用嗎？銀行取號系統有用嗎？就例就例5，如果其他條件不變，顧客到達后，如果其他條件不變，顧客到達后在每個窗口前各排一隊，且進入隊列后堅在每個窗口前各排一隊，且進入隊列后堅持不換，就形成持不換，就形成3個隊列，如下圖所示。個隊列，如下圖所示。試分別用公式、試分別用公式、excel求解：求解：u(1) 整個售票所空閑概率整個售票所空閑概率u(2) 平均隊列長度和平均隊長平均隊列長度和平均隊長u(3) 平均等待時間和逗留時間平均等待時間和逗留時間u(4)顧客到達后必須等待的概率（

38、顧客到達后必須等待的概率（n3)66顧客到達和服務圖顧客到達和服務圖 顧客離去= 0.3顧客到達 = 0.9窗口1= 0.4窗口2= 0.4窗口3= 0.4= 0.3= 0.367解：解：這是這是3個個M/M/1同時服務的同時服務的排隊排隊問題問題0.30.7510.4r0.30.4u (1) 整個售票所空閑概率整個售票所空閑概率(每個窗口空閑每個窗口空閑)011 0.750.25p (4)顧客到達必須等待的概率（每個窗口顧客到達必須等待的概率（每個窗口n1)1011 0.250.75npP 68(2) 平均排隊長度和平均隊列長平均排隊長度和平均隊列長0.30.7qLu2

39、.250.753sqLLr(3)平均等待時間和逗留時間平均等待時間和逗留時間2.257.50.3qqLW3100.3ssLW3 3 9 系統（3個窗口）隊長693個個M/M/1 Excel求解求解70結論：銀行取號系統是有效的結論：銀行取號系統是有效的指標指標數值數值排隊長度排隊長度1.70系統隊長系統隊長3.95平均排隊時間平均排隊時間1.89服務臺空閑概率服務臺空閑概率0.075顧客必須等待的概率顧客必須等待的概率0.57指標指標數值數值排隊長度排隊長度2.25系統隊長系統隊長9平均排隊時間平均排隊時間7.5服務臺空閑概率服務臺空閑概率0.25顧客必須等待的概率顧客必須等待的概率0.757

40、1結論：銀行取號系統是有效的結論：銀行取號系統是有效的從這兩個系統的主要指標比較可以看從這兩個系統的主要指標比較可以看出出混合排隊比獨立排隊具有顯著的優混合排隊比獨立排隊具有顯著的優越性越性，這一點是在排隊系統的排隊方，這一點是在排隊系統的排隊方式的設計時應該注意的。式的設計時應該注意的。72普遍結論：集中使用優于分散使用普遍結論：集中使用優于分散使用將資源組合在一起為所有的顧客提供服務，將資源組合在一起為所有的顧客提供服務，可以在等待時間不變的條件下，減少所需要可以在等待時間不變的條件下，減少所需要的資源總量。如果是兩列獨立排隊，那么客的資源總量。如果是兩列獨立排隊，那么客戶可能要等那位指定

41、的服務人員提供服務，戶可能要等那位指定的服務人員提供服務，這位服務人員可能當時正忙得抽不開身，而這位服務人員可能當時正忙得抽不開身，而另一位服務人員卻閑著沒事干。在集中使用另一位服務人員卻閑著沒事干。在集中使用的系統中就不會出現這種現象。的系統中就不會出現這種現象。大規模制造或服務設施的規模經濟學大規模制造或服務設施的規模經濟學u在保持同樣利用率的情況下減少平均等待時間在保持同樣利用率的情況下減少平均等待時間 u在保持同樣平均等待時間的情況下提高利用率在保持同樣平均等待時間的情況下提高利用率735 排隊系統最優設計排隊系統最優設計成本分析成本分析5.1 概述概述排隊系統的最優設計和最優控制，即

42、排隊系統的最優設計和最優控制，即排隊系統的最優化問題，其目的在于排隊系統的最優化問題，其目的在于使排隊系統達到使排隊系統達到最大效益最大效益或者說在一或者說在一定指標下使排隊系統定指標下使排隊系統最為經濟最為經濟。74服務成本與等待成本的權衡（成本效益平衡）服務成本與等待成本的權衡（成本效益平衡）總成本總成本成本成本最佳能力最佳能力等待成本等待成本服務成本服務成本最小值最小值排隊分析的目的是使顧客等待成本與服務能力成本排隊分析的目的是使顧客等待成本與服務能力成本這兩項成本之和最小這兩項成本之和最小755.2 M/M/1模型中的最優服務率模型中的最優服務率u -1最佳服務能力是使總成本最小化：最佳服務能力是使總成本最小化：總成本總成本=顧客等候成本顧客等候成本+服務能力成本服務能力成本1wswssCuC uC LCz為時服務機構單位時間的費用為每個顧客在系統中逗即：留時間的費用/1SM MLu模型中 swzC uCu所以：765.2 M/M/1模型中的最優服務率模型中的最優服務率u -2swzC uCu0dzdu令20()swCCu即：所以所以M/M/1模型的最優服務率為：模型的最優服務率為：ws