1、三角形中的四“心”與向量平面幾何中的三角形四“心”，即三角形的內(nèi)心（內(nèi)角平分線的交點，內(nèi)切圓的 圓心）、重心（中線的交點）、垂心（高線的交點）、外心（各邊垂直平分線的交 點，三角形外接圓的圓心）。在引入向量這個工具后，我們可以通過向量來表示 三角形的四“心”，這樣使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有更清 楚的認識。、重心:uuur uuur uuur r例1、已知。是VABC所在平面上白一點，若 OA OB OC 0,則。是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uur uuir uuur r uuur uuiruuuruuur uuur【解析】若OA OB OC 0 ,則OA OB

2、= OC ,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行uuir uuur uuur,四邊形OAC B，設(shè)OC與AB交于點D ,則D為AB中點，有OA OB=OC ,uuir uuur得OC=OC，即C,O,D,C四點共線，故CD為VABC的中線，同理AE,BF亦為VABC的中線，所以O(shè)是VABC的重心例2、已知O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三點，動點 P滿足uuur uuruuur uuurOP OA(AB AC),（0,）,則動點P的軌跡一定通過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化為APuuur uuuruuur uuur(AB AC),當 (0,)時，由于(AB

3、AC)表示BC邊上的中線所在直線的方向向量，故動點P的軌跡一定通過VABC的重J。、Ouuu 2例3、在VABC內(nèi)，存在一點P ,使PAuuir 2PBuuur 2PC 最小，貝U點P是VABCA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】利用解析法 設(shè)A,B,C三點坐標分別為(Xi,0), y2),(X3, y3)，點P的坐標為(x, y),uuu 2PAumr 2PBUULT 2PC (X222222Xi) (y yi) (X X2)(y y) (x X3) (y 代)3x2 2( Xi、2222222X2X3)xXiX2X33y2(yiyy3)yyiy y當且僅當x Xi x2 x3,y3yi

4、 V23LUT 2 UULT 2時，PA PBuuur 2PC取最小值,即點P是VABC 的重心例4、已知。是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三點，動點 P滿足 uuur uuurw1T UU(TABACOP OA(-uttT -uutf),(0,),則動點P的軌跡一止通過AB sin B AC sin CVABC 的A.外心B.內(nèi)心UULT 【解析】由正弦定理得AB sin BC.重心D.垂心UUUTUULTAC sinC，故可設(shè) AB sin BuuurAC sinC二UULTUulT LUU AB貝U OP OA(-uutfAB sin BUULTAC uuTuuuruutT)=

5、 OA + (ABAC sin CuuurAC),- (0,)，設(shè)uuur uuir uuur uuiurt 一,則 AP t(AB AC) 2tAM (t (0,),其中 M 為 BC 邊的中點,所以A,P,M三點共線，即點P的軌跡是從A點出發(fā)經(jīng)過M點的射線(除去A點)，故點P的軌跡一定通過VABC的重心。二、內(nèi)心：uuu unr uuur例5、三個不共線的向量OA,OB,OC滿足uuir uuur AB OA ( uuirABuuu CA uuu ) CAuurOBuuurBA(-uuurBAuuuCB -uuur-) CBuuirOCuuuBC(uuu-BCuuu CA -uuuri-)

6、 CA是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuu uuir uiur【解析】因為OA,OB,OC均與VABC的外角平分線垂直，所以O(shè)為內(nèi)心。例6、已知。是VABC所在平面上的一點,A, B, C所對的邊分別為a,b,c,uuu uuuaOA bOBuuur cOCr0 ,則O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】uuu 因為OAuurOBuuurb OC cr 0,uuu 所以O(shè)Auuu(OAuuur 所以AObcuiurAB) buuuAB(a b c) ( cuur (OAuuir AC V)uiurAC)r0,uuu則 OA(a buuiruuurc) AB b A

7、C cr 0,同理可證:例7、uiurOPbcuuuAB(-uuu(a b c) ABuuur AC uuur ) AC,所以AO平分 BAC ,BO平分 ABC , CO平分 ACB，從而。為 ABC的內(nèi)心。已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三點，動點 P滿足uuurOAuuurAB (uuurABuuurAC、 uuur ),AC(0,則動點P的軌跡一定通過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】上式可化為uuurAP (uuu AB uuu ABuuur AC Ac(0,uuiruuur AB AC)時，由于(ruutri rtuturr)ABAC表示 BAC的平

8、分線所在直線的方向向量,故動點P的軌跡一定通過VABC的內(nèi)心。三、外心:uuur2例8、設(shè)O為VABC所在平面上一點，若OAuur 2 OBuuLT2OC，則O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uur2 uuur2 uuur 2【解析】若OA OB OC ,uuu 2則OAuuir 2OBuuir 2uurOC ,即 OAuuurOBuurOC ,則O是VABC的外心。例9、已知O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三點,動點 P滿足uur uuir 照 OB OC OPuur/ AB(-uuurAB cosBuuurACuuur ACcosC),(0,)，則動點P的軌跡一定通

9、過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】uur uuurOB OCBC的中點，當 （0,）時，uuur/ AB(-utuFAB cosBuuurACuuurAC cosCuuir）表小垂直于BC的向量，所以點P在BC的垂直平分線上，故動點P的軌跡一定通過VABC的外心。四、垂心:例10、在同一平面上有VABC及一點O滿足關(guān)系式:uuu 2 uuu 2OA BCuuur2 uuu 2 uuu-2OB CA OCuur 2AB，則O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】unr2 uur 2OA BCuuu 2 OBuur 2 CAuuir2 OCuur 2 ABuuh u

10、ur2(OA OB )uuur 2 (BCuukCA ) 0uur (OAuurOB)uur(OAuuurOB)uuur (BCuuuCA)uuu uuu(BC CA)uur (OAuurOB)uurBAuur uurBA (BCuuuCA) 0uur uurBA (OAuuur uuirOB BCuuuCA) 0uurBAuuur(2OC)uurBAuuurOCuuruuir uuur,同理 AO BC , BOuuurAC ,故O是VABC的垂心。例11、設(shè)O為VABC的外心,uur uuu平面上一點P使OP OAuuir uuirOB OCVABC 的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心A.

11、外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuruur uur【解析】OP OA OBuuurOCuuirOPuuirOAuuirOBuuurOCuuurAPuuirOBuuirOCuur uuur uurAP BC (OBuuirOC)uur BCuuir (OBuuirOC)uuur (OCuurOB)uiur 2OCuiur 2OB而O為VABC的外心，故UULT OCuuirOB ,uur uuruuur即 AP BC=0, APUULrBC ,同理uuur uuir uuuBP AC,CPuurAB ,故點P是VABC的垂心。例12、O為空間中一點，動點P在A,B,C三點確定的平面的平面內(nèi)且滿足u

12、uir (OPuur uiurOA) (ABUULTAC) 0 ,則點P的軌跡一定通過VABC 的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuruuuuuiruuir【解析】因為(OP OA) (AB AC)uuur uiur0 ,所以 AP CB=0UULr ,即APuuuCB ,故點P的軌跡一定通過VABC的垂心。例13、P是VABC所在平面上一點,uuu uuirPA PBuurPBuurPCuuurPCuuuPA ,則P是VABC 的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】uuuPAuuurPBuur uuurPB PCuuuruuuPC PA ,uuirPAuurPBuuirPBuuuPCu

13、uu uuurPA PBuurPBuuurPCuiurPBuuu (PAuurPC)uur uurPB CA 0uuirPBuuuCA ,同理可證uuurPCuuuruuuAB, PAuuur BC ,所以P是VABC的垂心。例14、已知O是平面上uuurOPuuuOAuuur/ AB(-UturAB cosBJEM ,uuir ACA,B,C是平面上不共線的三點，動點P滿足uturAC cosC),(0,),則動點P的軌跡一定通過VABC 的uuur【解析】上式可化為APumrAB(-uutrAB cosBuuurACumrAC), cosC(0,),所以uuur uurAP BCuuur )BCuuur/ AB(-uutF|AB cosBuuurACutuFAC cosCumr uuur ,AB BC (-uurAB cosBuuur uui