1、    單片機中最小二乘方濾波器的向量測量和功率計算    單片機中最小二乘方濾波器的向量測量和功率計算    類別：單片機/DSP             &nbsp作者：濟南山東電力研究院（250002）丁衛東         丁 穎 韓 冬 &#

2、160;          來源：電子技術應用             摘要：提供了一種每周波四點采樣的最小二乘方濾波器，通過整型變換和查表求根等優化算法，可在單片機中實現相量的快速測量。分析了濾波器中相量的相位關系，并提供了兩線制功率的計算方法。           

3、                        關鍵詞：最小二乘方濾波器         向量 單片機 功率                目前，以單

4、片機為基礎的數字式電氣測量、保護裝置已成為主流形式。交流信號直接采樣也已成為一種普通的方法?？焖俑盗⑷~算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，計算量很大，特別是在單片機的處理能力有限的情況下，既要保證實時性，又要保證計算速度，不經過精心設計和程序優化，很難保證二者的統一。        通過減少采樣次數、使用每周濾四個采樣點擬合的濾波器和一套優化措施，使該算法計算速度大大提高，可以勝任工頻向量的實時測量，因而可以用于過流、速斷、方向保護等多個方面。本文分析了濾波器中的向量相位關系，同時給出了以此為基礎的兩線制功率計

5、算舉例。該方法已通過實際應用檢驗。        1 最小二乘方濾波器的構造        根據文獻13的研究結果，對每一路信號，輸入電壓函數可表示為：                         

6、;                 式中：        P0直流分量值        Pk第K次諧波分量的幅值 K=1,，N        k第K次諧波的相對起始相角   

7、60;     K=1，N        基波角頻率，=2f,f=50Hz        常數，等于直流分量衰減時間常數        在一般測量、保護應用中，只關心基波成分。為減少計算量，應最大限度地減少采樣次數。根據采樣定理，一個正弦函數的離散采樣次數量少每周波3次。為方便起見，將每周波采樣次數定為4次，

8、即采樣周期為5ms。則公式（1）中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級數展開并取其前兩項，則（1）式成為：        u(t)=P0-P0t+P1sin(t)cos(1)+P1cos(t)sin(1)            (2)        其中，P0為直流分量值，P1為基波峰-峰值，1為基波分量在采樣時

9、刻相對于零點的相位角。        若以最近連續4次采樣值為樣本，可得到4個采樣方程。如將P0、-P0、P1cos(1)P1sin(1)作為待測未知數，可將4個采樣方程表示成如下矩陣：                            

10、0;             若分別用符號A表示系數矩陣，X表示未知參數向量，U表示采樣值，則：        X=A -1U    (3)        其中A-1表示A的逆矩陣，亦即向量X的最小二乘方濾波器。根據文獻3，這個濾波器為：   

11、60;                                      因此，        P1cos(1)=A-13IUI   

12、;      I=1,4    (4)        P1sin(1)=A-14IUI         I=1,4    (5)        cos(1)=P1cos(1)/P1   &#

13、160;        (6)        sin(1)=P1sin(1)/P1            (7)        P0=A-11IUI        

14、60;I=1,4    (8)        P0=A-12IUI         I=1,4    (9)                      

15、;                    實際應用中，為了減少單片機順序采樣帶來的時間延遲所造成的計算誤差，硬件電路應具有同步采樣功能。其作用就是在采樣時刻將所有電氣信號分別保持下來。        2 數字濾波器中瞬時相量的關系        如果

16、用ua、ub、uc分別表示三相電壓相量,Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分別用ua、ub、uc表示；用ia、ib、ic分別表示三相電流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分別為ia、ib、ic。則（4）式就是對應相量在X軸上的投影，即矢量的實部；（5）式就是對相量在Y軸上的投影，即矢量的虛部，（4）和（5）式中的1是上述相量相對于20ms時間窗之初時刻的相位角。        圖1表示了A相電壓和A相電流的相位關系，其他依此類似。     

17、0;  上述相量的相位關系是相量進一步運算的基礎。        3 兩線制功率計算        目前，高壓線路的功率測量一般采用三相電壓和兩組電流，即兩線制功率表方法。用式（4）、（5）、（6）、（7）和（10）可以實現線路有功功率和無功功率測量，具體過程如下：        兩線制的前掉是假設三相電流平衡，即：  

18、;      ia+ib+ic=0    (11)        如果無B相電流互感器，則B相電流：        ib=-(ia+ic)    (12)        線路有功功率為：   

19、;     P=Pa+Pb+Pc=ua×ia+ub×ib+uc×ic        =ua×ia-ub×(ia+ic)+uc×ic        =uab×ia+ucb×ic        =Uab×Ia×co

20、s(uab-ia)+Ucb×Ic×cos(ucb-ic)            (13)        根據三角函數公式：        cos(uab-ia)=con(uab)×cos(ia)+sin(uab)×sin(ia)    &#

21、160;       (14)        cos(ucb-ic)=cos(ucb)×cos(ic)+sin(ucb)×sin(ic)            (15)        其中，uab為A相和B相之間的線電壓；ucb為

22、C相和B相之間的線電壓。        將（6）和（7）式結果帶和（14）、（15）和（13）式，即測得三相平衡線路的有功功率。        如果輸入電壓是相電壓，則：        P=Pa+Pb+Pc=ua×ia+ub×ib+uc×ic       &#

23、160;=ua×ia-ub×(ia+ic)+uc×ic        =Ua×Ia×cos(ua-ia)-Ub×Ia×cos(ub-ia)        -Ub×Ic×cos(ub-ic)+Uc×Ic×cos(uc-ic)         

24、   （16）        將上式中的余弦函數展開后，再鈄（6）和（7）式的對應結果分別代入即可。        無功功率的計算只需將（14）、（15）和（16）式中的余弦運算改為相應的正弦運算即可。        4 基于單片機應用的優化措施       

25、 從目前市場情況來看，雖然單片機性能在不斷提高，如INTEL單片機從8位、16位到32位不斷推陳出新，但真正得以廣泛采用的并不是性能最好的產品。從實際應用來看，有時必須面對一個受限制的客觀現實。就本應用來說，采用以下措施可大大提高程序的計算速度。        4.1 變浮點運算為整數運算        對于（4）（10）式來說，采用C或PL/M高級語言進行浮點運算既方便，精度又高。但與整數運算相比，浮點運算速度要慢得多。因此，為提高計算速度，應盡量采用整數運算。從工程實際來看，A/D轉換后的結果一般是雙字節整數，可與放大10位的最小二乘濾波器直接運算，則（4）式變為：        X3=5×U2-10×U3+5×U4            (17)