1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *二、環(huán)流量與旋度二、環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 第七節(jié)一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yzxO一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, RQP,在包含 在內(nèi)的一證證:情形情形1. 與平行 z 軸的直線只交于 一點(diǎn), 設(shè)其方程為yxDyxyxfz),(, ),(:n為確定起見, 不妨設(shè) 取上側(cè) (如圖).yx

2、DC則有簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddyzxOnyxDC定理1 yxyPxzzPdddd同理可證yQdzyzQyxxQddddzRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 情形情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè), 則可通過作輔助線把 分成與z 軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 x

3、Oy 面上的一塊平面區(qū)域, 則斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 證畢定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一類曲面積分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例1. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分zyyxxzddd其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整解解: 記三角形域?yàn)?,

4、 取上側(cè),則個(gè)邊界, 方向如圖所示. zyyxxzdddyxxzzyddddddyxDyxdd323yxD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z2xyO例例2. 為柱面與平面 y = z 的交線, 從 z 軸正向看為順時(shí)針, .ddd2zxzyxyxyI解解: 設(shè) 為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210則其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式其他形式 計(jì)算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *二、二、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度斯托克斯公式y(tǒng)xxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)

5、(zRyQxPddd設(shè)曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引進(jìn)一個(gè)向量),(RQPA Ar ro ot t記作向量 rot A 稱為向量場 A 的RQPkjizyx稱為向量場 A 定義定義: sAzRyQxPdddd沿有向閉曲線 的環(huán)流量環(huán)流量.sASnAddr ro ot t或 sASAndd)(r ro ot t于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度. A目錄 上頁 下

6、頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zuyuxu,2. 場論中的三個(gè)度場論中的三個(gè)度設(shè), ),(zyxuu 梯度梯度:ur ra ad dg gu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotrotAAdivA散度散度:旋度旋度:則, ),(RQPA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),222zyxr設(shè)則.)(;)(divrrradradg grotrotradradg g提示提示:rr ra ad dg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rr ra ad dg gr ro ot t三式相加即得)(divrr ra ad dg grzryrxzyxkji0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家. 他是19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一, 其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題的有效且一般的新方法,