1、2009年普通高等學校招生全國統一考試(山東卷)理科數學注：解析僅代表個人觀點，錯誤在所難免，謹此就教于各位。本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘?？荚嚱Y束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1. 答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、準考證號、縣區和科類填寫在答題卡和試卷規定的位置上.，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答案不能答在試卷上。3. 第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區域內作答;不能寫在試

2、題卷上; 如需改動，先畫掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙,修正帶,不按以上要求作答的答案無效。4. 填空題請直接填寫答案,解答題應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.。參考公式：柱體的體積公式V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是錐體的高。錐體的體積公式V=，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B獨立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次試驗中發生的概率是,那么次獨立重復試驗中事件A恰好發生次的概率:. 第卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項

3、中，只有一項是符合題目要求的。1.集合,若,則的值為( )A.0 B.1 C.2 D.4【解析】:,故選D.答案:D【命題立意】:本題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.3.將函數的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數解析式是( ).A. B. C. D.3. 【解析】:將函數的圖象向左平移個單位,得到函數即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數解析式為,故選D.答案:D【命題立意】:本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.4. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則

4、該幾何體的體積為( ).2 2 側(左)視圖 2 2 2 正(主)視圖 A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:C【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,俯視圖 由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準確地計算出.幾何體的體積.5. 已知，表示兩個不同的平面，m為平面內的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】:由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內的一條直線,則,反過來則不一

5、定.所以“”是“”的必要不充分條件.答案:B. 【命題立意】:本題主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念.A B C P 第7題圖 7.設P是ABC所在平面內的一點，則（）A. B. C. D.【解析】:因為，所以點P為線段AC的中點，所以應該選C。答案：C?！久}立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答。.某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.有圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是96，106，樣本數據分組為96，98），98，100),96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0

6、.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 第8題圖 100，102)，102，104),104，106,已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45【解析】:產品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300, 已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36,設樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是

7、120×0.75=90.故選A.答案:A【命題立意】:本題考查了統計與概率的知識,讀懂頻率分布直方圖,會計算概率以及樣本中有關的數據.9. 設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D. 10. 定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得,所以函數f(x)的值以6為周期重復性出現.,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.答案:C.【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數的周期性和對數的運算.11.在區間-1，1上隨機取一個數x，的值介于

8、0到之間的概率為( ).A. B. C. D. 【解析】:在區間-1，1上隨機取一個數x,即時, 區間長度為1, 而的值介于0到之間的區間長度為,所以概率為.故選C答案:C【命題立意】:本題考查了三角函數的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數值的范圍,再由長度型幾何概型求得. x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 12. 設x，y滿足約束條件 ，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4【解析】:不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z（a>

9、;0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標函數z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.答案:A 【命題立意】:本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,并且能夠求得目標函數的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。【命題立意】:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據絕對值的定義分段去掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題

10、涉及到分類討論的數學思想.14.若函數f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是 .【解析】: 設函數且和函數,則函數f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點, 就是函數且與函數有兩個交點,由圖象可知當時兩函數只有一個交點,不符合,當時,因為函數的圖象過點(0,1),而直線所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數a的取值范圍是答案: 開始 S=0,T=0,n=0 T>S S=S+5 n=n+2 T=T+n 輸出T 結束 是 否 【命題立意】:本題考查了指數函數的圖象與直線的位置關系,隱含著對指數函數的性質的考查,根據其底數

11、的不同取值范圍而分別畫出函數的圖象解答.15.執行右邊的程序框圖，輸入的T= .【解析】:按照程序框圖依次執行為S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,輸出T=30答案:30【命題立意】:本題主要考查了循環結構的程序框圖,一般都可以反復的進行運算直到滿足條件結束,本題中涉及到三個變量,注意每個變量的運行結果和執行情況.16.已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區間0,2上是增函數,若方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,則【解析】:因為

12、定義在R上的奇函數，滿足,所以,所以, 由為奇函數,所以函數圖象關于直線對稱且,由知,所以函數是以8為周期的周期函數,又因為在區間0,2上是增函數,所以在區間-2,0上也是增函數.如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 答案:-8【命題立意】:本題綜合考查了函數的奇偶性,單調性,對稱性,周期性,以及由函數圖象解答方程問題,運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題. 三、解答題：本大題共6分，共74分。17.(本小題滿分12分)設函數f(x)=cos(2x+)

13、+sinx. (1) 求函數f(x)的最大值和最小正周期.(2) 設A,B,C為ABC的三個內角，若cosB=，f()=，且C為銳角，求sinA.解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函數f(x)的最大值為,最小正周期.（2）f()=,所以,因為C為銳角,所以,所以,所以sinA =cosB=.【命題立意】:本題主要考查三角函數中兩角和差的弦函數公式、二倍角公式、三角函數的性質以及三角形中的三角關系.（18）（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD

14、=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1/A1D， E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC.（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點

15、,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,過O在平面CC1F內作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F,在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為. E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因為ABCD為等腰梯形,所以BAC=ABC=60&

16、#176;,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC.（2）,設平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應用向量知識解答問題的能力.(19)(本小題

17、滿分12分) 在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求q的值；（2） 求隨機變量的數學期望E; （3） 試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。解:（1）設該同學在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且

18、P(A)=0.25, P(B)= q,.根據分布列知: =0時=0.03,所以，q=0.2.（2）當=2時, P1=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24當=3時, P2 =0.01,當=4時, P3=0.48,當=5時, P4=0.24所以隨機變量的分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 隨機變量的數學期望（3）該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為;該同學選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.【命題立意】:本題主要考查了互斥事件的概率,相

19、互獨立事件的概率和數學期望,以及運用概率知識解決問題的能力.（20）（本小題滿分12分）等比數列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立 【命題立意】:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題,以及放縮法證明不等式.（21）（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距

20、離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數；（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。A B C x 解:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當時，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數為設,則,所以當且僅當即時取”=”.下面證明函數在(0,160)上為減函數, 在(160,400)上為增函數.設0<m1<m2<160,則 ,因為0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×160×