1、隨機事件與概率隨機事件及其運算隨機事件及其運算隨機事件的概率隨機事件的概率條件概率與事件的獨立性條件概率與事件的獨立性第一章NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編 第一章 隨機事件及其運算第一節一、基本概念一、基本概念二、事件之間的關系二、事件之間的關系 三、三、事件之間的運算事件之間的運算四、四、事件的運算律事件的運算律NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編1. .加法原理加法原理: :2. .乘法原理乘法原理: : (1,2,)in

2、 imL12+ mnnnL如果完成某件事有m 種途徑, 而每種途徑有種不同的方法, 那么完成該件事共種不同的方法. in12 mnnnL有如果完成某件事須經過 m 個步驟, 而完成每個步驟分別有種不同的方法, 那么完成該件事共有種不同的方法.3. .重復排列重復排列: : 從 n 個不同的元素中任意取出 r 個元素(1rn),按照一定順序允許重復出現排成一列, 稱為從n 個元素取出 r 個元素的重復排列,rn .排列總數為預備知識預備知識NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編4. .選排列選排列: :預備知識預備知

3、識,rnArnA (1) (2)(1)nnnnrL從 n 個不同的元素中任取出 r 個(1rn)元素按照一定順序不重復地排成一列,稱為從 n 個元素中取出r 個元素的選排列, 記為且有5. .全排列全排列: :,nPr = n 的選排列稱為全排列, 記為且有!nPn(1)2 1nn 6. .組合組合: :,rnCrrnnrACP(1) (2)(1)(1) (2)2 1nnnnrrrr 從 n 個不同的元素中任意取出 r 個(0rn)元素組成一組(不考慮次序),稱為從 n 個元素中取出r個元素的一個組合,記為且有NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事

4、件與概率概率統計電子教案 薛震 編1. .確定性現象與不確定性現象確定性現象與不確定性現象2. .隨機現象的統計規律性隨機現象的統計規律性不確定性現象不確定性現象:(隨機現象隨機現象)確定性現象確定性現象: 每天早晨太陽從東方升起; 水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰; 擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？ 一天內進入某超市的顧客數.規律性稱之為統計規律性.這種隨機現象的各種結果會表現出一定的規律性,一、基本概念一、基本概念NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編3. .隨機試驗隨機試驗: :( (E) )可重復進行結

5、果有多個每一次試驗的結果是不可預言的,由隨機試驗的一切可能結果組成的一個集合. 其每個元素稱為樣本點.4.樣本空間樣本空間:結果試驗前已知對隨機現象進行觀察或試驗.但所有可能NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編E1: 將一枚硬幣連拋兩次,考慮正反面出現的情況;E2:擲一顆均勻骰子, 考慮可能出現的點數;記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數;E3:例例1.記錄他的身高(m)和體重(kg).E4:任選一人,1 (正,正),(正,反), (反,正),(反,反)30 1 2 ， ，21,2,3, 4,5, 6 4,03, 0

6、400h ghg 寫出下列試驗的樣本空間.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編注注: 樣本空間是一個集合;對于一個隨機試驗而言, 樣本空間并不唯一.例如例如: :擲兩枚均勻的骰子一次,若試驗目的是觀察出現的點數和:22,3,4,12 . 若實驗的目的是觀察所有可能出現的結果:11,1 ,1,6 ,6,1 ,6,6; NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編6. 事件的發生事件的發生: 7. 必然事件與必然事件與不可能事件不可能事件: :

7、事件 集合5. 隨機事件：隨機事件： 樣本空間的某個子集.例如例如: :在擲骰子試驗中,事件A:出現偶數點2, 4, 6A基本事件：復合事件：由一個樣本點構成的集合由多個樣本點構成的集合 ,A B C 發生A所包含的某一個樣本點出現ANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編二、事件之間的關系二、事件之間的關系2. .事件的相等事件的相等: :1.事件的包含事件的包含: :3. .事件的互斥事件的互斥: :( (互不相容互不相容) )ABABA與B不能同時發生,注注: 基本事件之間是互斥的; 與任何事件互斥.A 發生必

8、然導致B發生,與B互斥.AB 即ABAB ,AB若有則稱A則稱A包含于B.ABABNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編三、事件的運算三、事件的運算1. .和和: :( (并并) ) ABABAB或2. .積積: :( (交交) ) ABABAB且注注: 和、積運算可推廣到有限個和可列無窮多個的情形.A,B中至少有一個發生的事件.A ,B 同時發生的事件.ABBAABBANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編4. .逆逆: :( (對立

9、事件對立事件) )稱 A與B互逆.注注:事件互斥與互逆的區別ABAB ABAB且注注:()ABCABCABAAB3. .差差: : A發生而B不發生的事件, 若A,B互斥,若A與B滿足 ,AB 且AB ABBABABA,ABABAB則稱為A與B的差.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編四、事件的運算律四、事件的運算律3. .對偶律：對偶律：ABAB（積的逆逆的和）（和的逆逆的積）ABAB2. .分配律：分配律：ABCABACABCABAC1. .交換律、結合律交換律、結合律: :( (略略) )NORTH UNI

10、VERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例2. 用A、B、C的運算關系表示下列各事件:三個事件中至少一個發生: ABC沒有一個事件發生: ABCABC（由對偶律） 恰有一個事件發生: ABCABCABC至多有兩個事件發生: ABC（考慮其對立事件） 至少有兩個事件發生: ABBCCAABCABCABCABCABC不能從字面上理解事件的對立.注注: :NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編 第一章 隨機事件的概率第二節一、概率的統計定義一、概率的統計定義二

11、、古典概率二、古典概率 三、三、幾何概率幾何概率 四、四、概率的性質概率的性質NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編引引 言言概率就是隨機事件發生的可能性大小的數量表征,通常用P(A) 來表示事件A發生的可能性大小.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編一、概率的統計定義一、概率的統計定義1. .頻率頻率: : 定義定義1:在相同的條件下重復進行了N次試驗,若A發生了 次,( )NFAN則稱 為A在N次試驗中出現的頻率.獨立重復地做N次

12、試驗,2. .概率的統計定義概率的統計定義: : 定義定義2: :發生的頻率穩定地在某一數值p 附近擺動,生的概率.當N很大時,若事件A則稱p 為A發注注: :概率是確定的,而頻率與試驗次數有關.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編二、古典概率二、古典概率有限性等可能性1. .古典型隨機試驗古典型隨機試驗: :2. .古典概率的定義：古典概率的定義： 若事件 中含有 個樣本點,A)(nkk則稱 為 發生的概率,nkA定義定義3:1,2,.,n 設古典型試驗的樣本空間為記為( )kP AnA中的樣本點個數中的樣本點

13、個數NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例1. .從編號為110的10個同樣的球中任取一個,解解: 由題意知,問題歸結為古典概率的計算,包含的樣本點個數:11010CA包含的樣本點個數:1則B包含的樣本點個數:5則( )1/10P A ( )5/101/2P B B=抽到奇數號球的概率.A=抽到2號球，求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例2. .擲兩枚均勻的骰子一次,求出現點數和為8的概率.解解: 1,1 ,1,6 ,6,1

14、 ,6,6 包含的樣本點個數:2636設A=出現點數和為8,則A包含的樣本點個數: 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2A5思考思考: :能否取2,3, 4,12 , 為什么?( (不能，因為基本事件不是等可能的不能，因為基本事件不是等可能的) )( )5/36P A NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編解解: 1221146252212( )/16/33P AC C C C CC設 A=恰有一雙配對,則4111146222212( )1( )1/17/33P BP BC C C C CC 或

15、1221122246252262212( )()/17/33P BC C C C CC C CC求：至少有一雙配對的概率.例例3. .(2)設B=至少有兩只鞋子配成一雙,則其中恰有一雙配對的概率；從6雙不同的鞋子中任取4只，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編不能，因為取到兩雙部分重復了一次，1222226210622C C CC C C某一次取法：1262C C第3雙，210C第4雙另一次取法：1262C C第4雙，210C第3雙B包含的樣本點個數應為思考思考: : B包含的樣本點個數能否為1226210,C

16、C C為什么?比如：2. .古典概率的性質古典概率的性質: :0)(AP1)(P非負性：對任意A，規范性：0)(P)(1)(APAP可加性：若A和B互斥，)()()(BPAPBAP則重復！重復！NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編三、幾何概率三、幾何概率無限性等可能性1. .幾何型隨機試驗幾何型隨機試驗: :2. .幾何概率的定義：幾何概率的定義： 在幾何型隨機試驗中,( )P AA的測度(長度,面積,體積)的測度(長度,面積,體積)定義事件A發生的概率為NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第

17、一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例4. .如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架貯藏著石油,若在海域里隨意選取一點鉆探,解解: : 由題意知,設A=鉆到石油, 則40( )50000P A 問鉆到石油的概率是多少？問題歸結為幾何概率的計算,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編則會面的充要條件這是一幾何概率問題,(7點設為零時刻),22260405960P所求概率點為圖中陰影部分,可能的結果全體是邊長為60的正方形里的點,例例5.（會面問題會面問題） 兩人相約7點

18、到8點在先到者等候另一人20分鐘后就試求這兩人能會面的概率？解解: :以 分別表示兩人到達時刻, x y能會面的20 xy為,xyo20602060可離去，某地會面，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編四、概率的性質四、概率的性質(1)有限可加性：有限可加性：是 n 個兩兩互不相容的事件，設12,nA AA,(), ,1,2, ,ijA Aij i jn即則有(3)單調性：單調性：(2)事件差：事件差：A,B是兩個事件,則( )( )P AP B;若事件AB,1212()()()()nnP AAAP AP AP

19、A;()( )()P ABP AP AB;則NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編(4)加法公式：加法公式：對任意兩事件, ,A B有()( )( )()P ABP AP BP AB該公式可推廣到任意n個事件12,nA AA的情形.(5)互補性：互補性：(6)可分性：可分性：對任意兩事件, ,A B有( )()()P AP ABP AB注注: :( )1( )P AP A ;NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編( )1/2,P A (

20、 )3/10,P B 故(1)()( )( )()P ABP AP BP AB()1/10,P AB 7/10(2)()1()P ABP ABP AB 3/10(3)()( )()P ABP AP AB2/5例例6.(1)取到的數能被2或3整除的概率;(2)取到的數即不能被2也不能被3整除的概率;(3)取到的數能被2整除而不能被3整除的概率. .B=能被3整除,解解: :設A=取到的數能被2整除,則求在110這10個自然數中任取一數,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例7.個數字之積能被10整除的概率?從1-

21、9九個數字中有放回的取出n個數字, 求這n解解: : 設A=取出的這n個數字中含有數字5,B=取出的這n個數字中含有偶數字,則()P AB1 ( )( )()P AP BP AB 1()P AB 1()P AB 8541999nnnnnn NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編 第一章 條件概率與事件的獨立性第三節一、條件概率一、條件概率二、乘法公式二、乘法公式三、三、全概率公式及貝葉斯公式全概率公式及貝葉斯公式 四、四、事件的相互獨立性事件的相互獨立性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章

22、 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編某事件的發生對另一事件的發生是否產生影響?則,bb gg bg gb A:“家中至少有一個女孩”,B:“家中至少有一個男孩”從而 3,4P A 3,4P B 2142P AB 2|3P A B 1/223/43P ABP B引引 言言已知某家庭中有兩個孩子,引例引例: :NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編1. .定義定義: :且 , ( )0P B 稱()(|)( )P ABP A BP B為在B發生的條件下A發生的條件概率.注注: : 時,( )0P B

23、 無意義.(|)P A B(|)( )P AP AP AP 對于事件A,B,一、條件概率一、條件概率NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編2.性質性質: :(|)0;PB(|)1(|);P A BP A B 121212(|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A ABNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例1. .第二次抽到次品的概率.設10件產品中有3件次品,現無放回的抽取2件,在第一次抽到次品的條件下,解解: :則i

24、A 第i 次抽到次品,21(|)P AA注注: :區分條件概率與兩事件同時發生概率的不同.求1 21()()P A AP A3210931029NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編二、乘法公式二、乘法公式設,A B 若( )0,P B 則()( )(|).P ABP BP A B若( )0,P A 則()( )(|).P ABP AP B A一般地,設12,nA AA 1 21()0,nP A AA若則1 2()nP A AA12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA

25、NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編設口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解解: :iA 第i次取到白球, i=1,2則1A 第1次取到黑球,2()P A211P AAA1212P A AA A1212P A AP A A 121121|P A P AAP A P AA2P A(驗證抓鬮的科學性)例例2. .無放回取球， 求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編111aabaab abab abaab1P A類似地:

26、kaP Aab1, 2,kab2()P A 121121|P A P AAP A P AANORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編盒子里有n個球，問第i個人取到黑球的概率.解解: :iA 第i個人摸到黑球, i=1,2,n212()()P AP A A121() (|)P A P AA1()1/P An111nnn1n()nP A12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA1 21()nnP A AAA(摸獎問題)例例3. .n個人其中n-1個白球，1個黑球.依次取一個球,

27、不放回.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編123112(1)nnnnnnnn1n12131 211() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AAA1lim0nn( (摸到大獎的概率幾乎為摸到大獎的概率幾乎為0)0)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編1( );niiiA 三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式1A2A3A1nAnA完備事件組).如:,A A構成完備事件組1. .完備事件組完備事件

28、組: :若滿足：事件組，12,nA AA( ),(), ,1,2,., .ijii A Aiji jn 則稱 為 的一個分割12,nA AA(或稱為 的一個NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編2.全概率公式全概率公式:1A2A3A1nAnA且()0iP A 1,2,.in有稱為全概率公式.B1( )niiP BP A B1niiiP A P B A則對,B 設12,nA AA是 的一個分割,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編112

29、233() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B A2500200015000.050.030.013.3600060006000123( )()()()P BP ABP A BP A B例例4. .設某工廠有三個車間, 生產同一種產品,解：解： 設B表示取到得產品為次品；iA表示取到第i個車間的產品.一二三次品率:0.050.030.01產量:250020001500混合后從中任取一件,求該產品為次品的概率.1,2,3i NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編3.貝葉斯

30、公式：貝葉斯公式：()(|)( )jjP A BP ABP B稱為貝葉斯公式(或逆全概率公式).且()0iP A 1,2,.in有則對,B 1() (|),(1,., )() (|)jjniiiP AP B AjnP A P B A12,nA AA是 的一設若, 0)(BP貝葉斯貝葉斯個分割,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例5.臨床上統計患非典的可能性分別為“僅發熱”0.03,“僅干咳”0.01,“既發熱又干咳”0.05,“無上述現象”0.0001現對某疫區25000人檢查發現： “僅發熱”500人，“僅

31、干咳”1000人，“既發熱又干咳”250人，疫區中任取一人，他為“非典”患者的概率;“非典”患者中臨床表現為“僅發熱”病人的概率.檢驗“非典”：求NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編C=既發熱又干咳的病人, D=無明顯癥狀的人，E=得了“非典”由全概率公式得： |P EP A P E AP B P E B |P C P E CP D P E D5000.030.00159325000由貝葉斯公式得： ( ) (|)(|)P A P E AP A EP E5000.03250000.001593解：解： 設A=僅發

32、熱的病人， B=僅干咳的病人，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編已知例例6. 商店論箱出售玻璃杯， 每箱20只， 其中每箱含有0,1,2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1， 某顧客選中一箱,從中任選4只檢查，結果都是好的， 便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解解: 設 A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的.分別表示事件每箱含0,1,2只次品,012,B B B0()0.8,P B1()0.1,P B2()0.1,P BNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨

33、機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編由貝葉斯公式:11120()(|)(|)()(|)iiiP BP A BP BAP BP A B0.08480(|)1P A B41914204(|)5CP A BC418242012(|)19CP A BCNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編全概率公式與貝葉斯公式說明：全概率公式與貝葉斯公式說明：令iA-“原因”,B-“結果”,則iP A-第i 種原因發生的概率.|iP B A-原因iA引起結果B發生的可能性大小.導致該結果出現的可能性大小.它是由某原因引起的

34、可能性大小.全概率公式全概率公式: :綜合引起結果的各種原因，貝葉斯公式貝葉斯公式: :當結果出現時，NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編四、事件的相互獨立性四、事件的相互獨立性1、兩事件獨立、兩事件獨立定義定義1:,A B兩個事件滿足若()( ) ( ),P ABP A P B則稱事件A與B相互獨立.注：注：, 與任何事件相互獨立;事件的獨立與事件的互斥的區別;判別獨立的方法定義驗證;對實際問題,由經驗驗證.(無聯系)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概

35、率統計電子教案 薛震 編例例2. 從一付52張(去掉王)的撲克牌中任意抽取一張,令A=抽出一張K,問A與B是否獨立?例例1.求出現雙6點的概率.解解: :設iA 第i枚骰子出現6點, i=1,2易知12,A A獨立,12P A A12P AP A1 116 636B=抽出一張黑桃,解解: : 14152,CP AC 113152,CP BC1521,P ABC P ABP A P B,A B是相互獨立的.擲兩枚均勻的骰子一次，加上大小加上大小王如何？王如何？NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編定理定理1: :,A

36、 B相互獨立 |P A BP A 0P B |P B AP B 0P A 若事件A與B獨立,則也相互證證: :P ABP AB P AP AB P AP A P B 1P AP B P A P B 、A與B與B、A與AB獨立.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編 1P AP BP AB 1P AP BP A P B 1( ) 1( )P AP B P A P BP ABP AB1P AB NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編例例3.

37、設 A =甲中, B= 乙中, C= 目標被擊中, = 0.92.求在一次射擊中目標被擊中的概率. 其命中率分別=0.8+0.60.80.6用對立事件公式1P AB 1P A P B 1 0.2 0.4 0.92兩射手同時向同一目標射擊一次，為0.8和0.6，解解: :解法1:( )()P CP AB( )( )()P AP BP AB解法2:( )P CNORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編2、多個事件的獨立、多個事件的獨立定義定義2: 若三個事件, ,A B C滿足:()( ) ( )P ABP A P B()

38、( ) ( )P ACP A P C()( ) ( )P BCP B P C則稱事件兩兩獨立., ,A B C若在此基礎上還滿足：()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C則稱事件, ,A B C相互獨立.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編注注: : 兩兩獨立相互獨立例如：例如： 有4張同樣大小的卡片,抽到的概率相同,1,2,3 2 1 3 令iA 抽到的卡片上有數字i,i=1,2,3則1231()()()2P AP AP A上面標有數字, 每張被NORTH UNIVERSITY OF CHIN

39、A第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編12121()() ()4P A AP A P A23231()() ()4P A AP A P A13131()() ()4P A AP A P A兩兩獨立但12312311()()()48P A A AP A P AP A即三個事件不相互獨立.1,2,3 2 1 3 NORTH UNIVERSITY OF CHINA第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率概率統計電子教案 薛震 編一般地， 設12,nA AA是n個事件， 若以下等式成立:1,ijn ()() ()ijijP A AP A P A則稱n個事件相互獨立.12,nA AA()() () ()ijki