1、§2線性子空間與子空間的分解在通常的三維幾何空間中，考慮一個通過原點的平面。不難看出，這個平面上的所有向量對于加法和數量乘法組成一個二維的線性空間，這就是說，它一方面是三維幾何空間的一個部分，同時它對于原來的運算也構成一個線性空間。一般地，我們不僅要研究整個線性空間的結構，而且要研究它的線性子空間，一方面線性子空間本身有它的應用，另一方面通過研究線性子空間可以更深刻地揭示整個線性空間的結構。一、線性子空間的定義定義7設V是數域F上的一個線性空間，W是V的一非空子集。如果W對于V中所定義的加法和數乘運算也構成數域F上的一個線性空間，則稱W為V的一個線性子空間，簡稱子空間。驗證W是否為V

2、的子空間，實際上只需考察W對于V中加法和數乘運算是否封閉就行了。因為線性空間定義中的規則(1)(8)在W對線性運算是封閉的情況下必是滿足的。例1任何線性空間有兩個平凡子空間或假子空間；一個是它自身VV，另一個是W0，稱為零元素空間(零子空間)。除此之外的子空間稱為非平凡子空間或真子空間。下面舉幾個常見的例子。例2給定A(ai,a2,L,an)Rmn,集合N(A)x|Ax0,xRnR(A)(A)L(ai,a2,L,an)spanai,a2,L,any|yAx,xRn分別是Rn和Rm上的子空間，依次稱為A的零空間(核)和列空間(值域)，零空間的維數稱為零度A的零空間是齊次線性方程組Ax0的全部解向

3、量構成的n維線性空間Rn的一個子空間。因為解空間的基就是齊次線性方程組的基礎解系。所以，dim(N(A)nrank(A)0A的左零空間和行空間N(AT)x|ATx0,xRmR(AT)(At)y|yATx,xRm,dim(N(At)mrank(AT)0A表示Amn的廣義逆，滿足AXAA,M有N(A)(InAA)且InAA,AA籍等。所以rank(InAA)tr(InAA)ntr(AA)nrank(AA)nrank(A)例3設1，2，m(m1)是V的m個向量，它們所有可能的線性組合所成的集合Span1,2,m|kiii1是V的一個子空間，稱為由1,2,m生成的子空間。若記A(1,2,m)RnL則(

4、A)Span1,2,m由子空間的定義可知，如果V的一個子空間包含向量1,2,m,那么就一定包含它們所有的線性組合。也就是說Span1,2,m是V的一個子空間。注：容易證明(1) dim(A)rank(A)0(A)(AB),Bb1bl,特別若bj,j1,2,l可表示為1,2,m的線性組合，則(A)(AB)。定理2設W是Vn的一個m維子空間，1,2,m是W的一個基，則這m個向量必定可擴充為Vn的基。證明若mn,則定理已成立。若mn,則Vn中必存在一個向量ml不能由1,2,m線性表出，從而1,2,m,m1線性無關。如果m1n,則定理已成立。否則繼續上述步驟。經過nm次，則可得到Vn內nm個線性無關的

5、向量，使1,2,m,m1,n為Vn的基。二、子空間的分解子空間作為子集，有子集的交(W1W2),和(W1W2)等運算，對它們有如下定理。定理3設W1,W2是線性空間V的子空間，則有(1)W1與W2的交集W1W2|WW2是V的子空間，稱為W1與W2的交空間。(2)W1與W2的和W1W2|12,1W1,2W2是V的子空間，稱為W1與W2的和空間。證明(1)由0W1,0W2,可知0W1W2,因而W1W2是非空的.其次，如果，W1W2,即，W1而且，W2,因此W1,W2,因此W1W2.同樣，由kW1,kW2,知kW1W2.因此W1W2是V的子空間.由定義W1W2V,而且非空.，W1W2,則有i,iWi

6、,i1,2.由(11)(22),因Wi是子空間，則iWi,2W2,k1Wi,k2W2,所以WiW2,W1W2,即W1W2是V的子空間.子空間的交與和的概念可以推廣到多個子空間的情形。定理4（維數定理）設W1和W2是線性空間V的兩個子空間,則有dimW1+dimW2=dimW2)+dim(W1W2)證明設dim(W1W?)r,dimW|s1,dimW2s2WiW2基為由定理2知，它們可分別擴充為:Wi的基2,r,r1,W2的基1,2,r,r1,Wi=SpansiW2=Span1,2,r,S2W1W2Span1,2,r,1,s1,r1,s21,2,r,r1,Si,r1,S2為線性無關組。任取數ki

7、,pi,qi，使ikiiPi1ir1iqii0.ir1因為s1rs2Piikiiqii,ir1i1ir1所以s1Pii叫W2.ir1從而有s1rPiinii,ir1i1r§S2r§niPiio.i1ir1由1,2,r,r1,s1是Wi的基,線性無關，故Pi0,ir1,s代入式，得rs2kiiqii0,i1ir1而1,2,r,r1,s2是W2的基，于是ki0（i1,2,r）,qi0（ir1,且），故1,2,r,r1,S1,r1,S2線性無關，dim（WW2）r（sr）（S2r）S1S2r,定理得證.從式知，若W1W20，則有dim(W1+W2)<dimW1+dimW2,

8、這時W1不是唯一的。例如W1SpanW2,x1120,2,00X2,XiWi,i0W2Span101,2,具表達式中X133,2，有2W100X2W2,即W101W2000。這時0220W1T3W2口有陽種表達式0020T.0和例4設R3中的兩個子空間是-11-1-1W1Span11,21,W2Span13,21010-1求W1W2及W1W2的基和維數。解四V?=Span1,2,i,2由于1122且1,2,2線性無關，故WiW2的一個基為1,2,2,其維數dim（WW2）=3。由維數定理知dim(W1W2)=dim(叫)dim(W2)-dim(叫W2)=2+2-3=1根據得到1212(0,2,

9、1)T0W1W2,從而(0,2,1)t為W1W2的一個基，其維數dim(W1W2)=1。三、直和子空間子空間的和W1W2的定義僅表明，其中的任一向量可表示為12,1W1,2W2。但這種表示法不一定唯一。定義8設W1,W2是線性空間V的兩個子空間，如果W1W2中每個向量的分解式12,1W1,02W2是唯一的，WJW1W2稱為W1,W2的直和，記為W1W2。定理5設W1,W2是線性空間V的兩個子空間，則下面幾條等價W1W2是直和；0向量表示法唯一，即由012(1W1,咆W2)得120；W1W2=0;dim(W1)dim(W2)dim(wW2)證明采用輪轉方式證明這些命題。(1)(2)(1) 按定義

10、，W1W2內任一向量表示法唯一，因而0的表示法當然唯(3)用反證法。若WiW20,則有WiW2,0,于是Wi,W2。而0(),這與零向量的表示是唯一的假設矛盾。(2) (4)利用維數定理即得。(3) (1)由維數定理知dim(WiW2)=0,即WiW2=0.對任一叫W2,如果i2i2(i,iWi；如，0C2W2)則有ii2-2于是ii2-2WiW20,即ii0,2-200這說明ii,22因而表示法唯一。定理證畢。定理6設Wi是Vn的一個子空間，則必存在Vn的子空間W2,使WiW2Vn。證明：設dim(Wi)=m,且i,2m是Wi的一個基，根據定理2它可擴充為Vn的基1,2W2Spanm1,n,

11、顯然W2就滿足要求。子空間的交、和及直和的概念可以推廣到多個子空間的情形。四、內積空間前文中，我們對線性空間的討論主要是圍繞著向量之間的加法和數量乘法進行的。與幾何空間相比，向量的度量性質如長度、夾角等在實際應用中更重要。因此，我們在一般線性空間中定義內積，導出內積空間的概念。定義9設V是實數域R上的實線性空間。如果對于任意的,V，都有一個實數（，）與之對應，且滿足(1)(,)(,);(2)(,)(,)(,);(3)(k,)k(,);(4)(,)0,當且僅當0時（，）0.則稱（，）為與的內積。定義了內積的實線性空間V稱為內積空間，乂稱歐幾里得空間或Euclid空間（簡稱為歐氏空間）。例如，在R

12、n中，定義內積（x,y）xTyxiyi。這時Rn成i1為內積空間。在內積空間Rn中，如果（x,y）0,則稱x與y正交，記為xy。設歐氏空間Rn中的基為1,2,n，歐氏空間中有兩個向nmxii,nyjj，下面我們來計算，的內積。i11G(則有注:X1X22,yXn方陣G(n)y1y2陣，或度量矩陣。1,2,G(1,2,n)G(1,因為方陣X0,(1,G(1,2)1,積(，)xTyXi1i，yjj1xtG(j)Xi(i,j)yj1)1)1)2,n)yn)稱為向量組n線性無關0。,n)對稱正定。n)X0,XTG(2,n)n)n)n的Gram要條件n)X(2G(1)|J表小長度的平萬；n2，表小面積的

13、平萬；n3,n是規范正交基，則G(即向量內積等丁坐標的內積,積空間的基常采用規范正交基呢？2,n)2時，則In,內計算簡單，所以內Xi的計算簡單不Xn另外，在規范正交基1,2,n下向量Xii(i,n)的坐標i1Xn需要解線性方程組就能得到Xi(,i),i1,n,即(,i)i1設W是內積空間V的一個子空間。顯然W也是一個內積空問。如果V的一個向量與W的每一個向量正交，則稱與W正交，記為W。對于V中的兩個子空間W1,W2,如果任取Wi,W2,都有(，)0,即，則稱Wi與W2是互相正交的。記為WiW2。定義io設S為V中的子空間，記Sx|xS,xV容易證明S也是線性空間，稱為S的正交補空間定理7設A

14、為nk矩陣。記A為滿足條件AA0且具有最大秩的矩陣，則R(A)R(A)證明設xR(A)xAt,tAxAAt0zAx0,z(Az)x0xAzxR(A);反之,xR(A)xAz,z(Az)x0zAx0,zAx0xAt,txR(A).推論:證明：R(A)R(A)N(At);R(At)N(A).R(A)xR(A)xAt,t任意(At)'x0,t任意t'A'x0,t任意A'x0xN(A').xR(A)xAt,tA'xA'At0xN(A')，證畢.只證第一式，因為把第一式中的A看成A'即得第二式.對于一個線性空間S,如果存在k個子空間

15、Si,Sk,使得對任意S,可唯一地分解為Si,i1,2,k,則稱S為Si,Sk的直和，記為SSiS2Sk,若進rH少假設，對任意的iSi,jSj,ij,j，則稱S為Si,Sk的正交直和，記為SSiS2Sk,特別，對于Rn中子空間S都成立。設A(AiAk),(A)(Aj)0,ij,則(A)(Ai)(Ak);若進一步假設AAj0,ij,則容易證明(A)(A)(Ak)容易證明對于內積空間可的子空間S有下面的性質S(S);(2)SiS2S2Si;(SiS2)S1S2;(S1S2)S1S2.定理8對任意矩陣A，包有R(A)R(AA)。證明顯然R(AA)R(A),故只需證R(A)R(AA),事實上，對任給xR(AA),有xAA0。右乘x,得xAAx(Ax)(Ax)2|Ax|0,故Ax0,即xR(A).證畢.定理9設Anm,Hkm,則(1)SAx:Hx0是R(A)的子空間;dim(S)rankArank(H).H證明第一結論的證明是簡單的,現證。不妨設R(H)k,則存在k階可逆矩陣Q,使得HQ(Ik0),丁是dim(S)=dimAx:HxH0=dimA一一Qx:HQx0H=dimU；U02x:(|k0)x0,其中UiU2AQ,=dimU2x(2):X(2)任怠，其中xk1x(1)X(2)(mk)1=rank(U2)=rank，*r