1、南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù) 學 2016.05注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙參考公式樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知全集U1，2，3，a，集合M1，3若UM2，5，則實數(shù)a的值為2設復數(shù)z滿足z(1i)24i，其中i為

2、虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)為 3甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績（單位：環(huán)）如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是S1I2While S100II2SS×IEnd WhilePrint I（第5題圖）4從2個白球，2個紅球，1個黃球這5個球中隨機取出兩個球，則取出的兩球中恰有一個紅球的概率是5執(zhí)行如圖所示的偽代碼，輸出的結果是 6已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l，m給出下列命題：lm； lm； ml； lm其中正確的命題是 (填寫所有

3、正確命題的序號)7設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2an2，則 8設F是雙曲線的一個焦點，點P在雙曲線上，且線段PF的中點恰為雙曲線虛軸的一個端點，則雙曲線的離心率為9如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)sinx(0)在y軸右側圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且AOB，則該函數(shù)的周期是10已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x0時，f(x)2x2，則不等式f(x1)2的解集是OyxAB（第9題圖）ABCDM（第11題圖）11如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2若·3，則· 12在平面直角坐標系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點

4、N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為13設函數(shù)f(x)g(x)f(x)b若存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 14若實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內）15(本小題滿分14分)在ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C的對邊若向量m(a，cosA)，向量n(cosC，c)，且m·n3bcosB（1）求cosB的值；（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求的值16(本小題滿分14分)如圖，在直三

5、棱柱ABCA1B1C1中，D為棱BC上一點 （1）若ABAC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1平面BCC1B1；（2）若A1B平面ADC1，求的值 （第16題圖）ABCDA1B1C117 (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2，1)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點 OxyFPQ（第17題圖）若直線l過橢圓C的右焦點F，求OPQ的面積；求證： OPOQ18(本小題滿分16分)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，ADBC，ADC90°，AB5千

6、米，BC8千米，CD3千米現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍（第18題圖）CBAD19(本小題滿分16分)設函數(shù)f(x)x3mx2m(m0) （1）當m1時，求函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間； （2）設g(x)|f(x)|，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，m上的最大值；（3）若存在t0，使得函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個不

7、同的點，且函數(shù)f(x)的圖象在這兩點處的兩條切線都經過點(2，t)，試求m的取值范圍 20(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項的和為Sn，記bn （1）若an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，其中a，d均為正數(shù) 當3b1，2b2，b3成等差數(shù)列時，求的值； 求證：存在唯一的正整數(shù)n，使得an+1bnan+2 （2）設數(shù)列an是公比為q(q2)的等比數(shù)列，若存在r，t(r，tN*，rt)使得，求q的值南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學附加題 2016.05注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙

8、的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講APOHC（第21題A圖）B如圖，已知半圓O的半徑為2，P是直徑BC延長線上的一點，PA與半圓O相切于點A， H是OC的中點，AHBC（1）求證：AC是PAH的平分線；（2）求PC的長B選修42：矩陣與變換已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對應的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程 C選修44：坐標系與參數(shù)方程設極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合

9、，極軸與x軸的正半軸重合已知橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點M的極坐標為(1，)若P是橢圓C上任意一點，試求PM的最大值，并求出此時點P的直角坐標D選修45：不等式選講求函數(shù)f(x)5的最大值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內作答解答應寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）從0，1，2，3，4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和（1）求X是奇數(shù)的概率；（2）求X的概率分布列及數(shù)學期望23（本小題滿分10分） 在平面直角坐標系xOy中，點P(x0，y0)在曲線yx2(x0)上已知A(0，1)，Pn(x

10、，y)，nN*記直線APn的斜率為kn （1）若k12，求P1的坐標；（2）若 k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)南京市2016屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學參考答案及評分標準說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)一、填空題（本大題共14小題，每小題

11、5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）15 23i 30.02 4 58 674 8 94 101，3 11 123 13(1，2) 14 二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內）15(本小題滿分14分)解：（1）因為m·n3bcosB，所以acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，············

12、···············································3分所以sin(AC)3sinBco

13、sB，所以sinB3sinBcosB因為B是ABC的內角，所以sinB0，所以cosB···········································

14、;·········7分（2）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac由正弦定理，得sin2BsinA·sinC ································&#

15、183;··············································9分因為cosB，B是ABC的內角，所以

16、sinB·················································&#

17、183;····11分又············································

18、3;····················14分16(本小題滿分14分)證明：（1）因為ABAC，點D為BC中點，所以ADBC ······················

19、83;··························2分 因為ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC 因為ADÌ平面ABC，所以BB1AD ··············&

20、#183;····································4分 因為BCBB1B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1 因為ADÌ平面ADC1，所

21、以平面ADC1平面BCC1B1 ·············································6分(2)連結A1C，交AC

22、1于O，連結OD，所以O為AC1中點 ·············································8分因為A1B平面AD

23、C1，A1BÌ平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD ···········································

24、·······12分因為O為AC1中點，所以D為BC中點，所以1 ······································

25、3;···························14分17(本小題滿分14分)解：（1）由題意，得，1，解得a26，b23所以橢圓的方程為1 ···············

26、;··················································

27、;·2分（2）解法一 橢圓C的右焦點F(，0)設切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)······························4分由方程組解得或 所以點P，Q的坐標分別為(，)，(，)，所以PQ ·&#

28、183;·······························6分因為O到直線PQ的距離為，所以OPQ的面積為 因為橢圓的對稱性，當切線方程為y(x)時，OPQ的面積也為綜上所述，OPQ的面積為 ·······&

29、#183;·························8分解法二 橢圓C的右焦點F(，0)設切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)·············

30、··················4分把切線方程 y(x)代入橢圓C的方程，消去y得5x28x60設P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2 由橢圓定義可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2××················

31、·····6分因為O到直線PQ的距離為，所以OPQ的面積為 因為橢圓的對稱性，當切線方程為y(x)時，所以OPQ的面積為綜上所述，OPQ的面積為 ·································8分解法

32、一：(i)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x或x當x時，P (，)，Q(，)因為·0，所以OPOQ當x時，同理可得OPOQ ·································10分(ii) 若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為yk

33、xm，即kxym0因為直線與圓相切，所以，即m22k22將直線PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2·································12分因為

34、3;x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2將m22k22代入上式可得·0，所以OPOQ綜上所述，OPOQ ································

35、83;····14分解法二：設切點T(x0，y0)，則其切線方程為x0xy0y20，且xy2 (i)當y00時，則直線PQ的直線方程為x或x當x時，P (，)，Q(，)因為·0，所以OPOQ當x時，同理可得OPOQ ····························

36、;······10分(ii) 當y00時，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0設P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2 ······························12分所以·x1x

37、2y1y2x1x2因為xy2，代入上式可得·0，所以OPOQ綜上所述，OPOQ ·····································14分18(本小題滿分16分)解：(1)由題意，可得AD12千米

38、由題可知|， ··············································2分解得v ··

39、;············································4分(2) 解法一：經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先

40、乙到達D地，故2，即v8 ················································

41、;6分當0vt5，即0t時，f(t)(6t)2(vt)22×6t×vt×cosDAB(v2v36) t2因為v2v360，所以當t時，f(t)取最大值，所以(v2v36)×()225，解得v ······························

42、3;··········9分當5vt13，即t時，f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t)29因為v8，所以，(v6) 20，所以當t時，f(t)取最大值，所以(v6) 2 ()2925，解得v ·························

43、;···············13分當13vt16， t時，f(t)(126t)2(16vt)2，因為126t0，16vt0，所以當f(t)在(，)遞減，所以當t時，f(t)取最大值，(126×)2(16v×)225，解得v 因為v8，所以 8v ···············

44、······························16分解法二：設經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先乙到達D地，故2，即v8 ············&#

45、183;····································6分以A點為原點，AD為x軸建立直角坐標系， 當0vt5時，f(t)(vt6t)2(vt)2由于(vt6t)2(vt)225，所以(v6)2(v)2對任意0t都

46、成立，所以(v6)2(v)2v2，解得v ··············································

47、83;9分當5vt13時，f(t)(vt16t)232由于(vt16t)23225，所以4vt16t4對任意t都成立，即對任意t都成立，所以解得v ·····································

48、3;·········13分當13vt16即t，此時f (t)(126t)2(16vt)2由及知：8v，于是0126t12124，又因為016vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)2423225恒成立綜上可知8v ························

49、;·····················16分19(本小題滿分16分)解：（1）當m1時，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(，0)和(，) ··············

50、83;·······················2分（2）依題意m0因為f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0 當0x時，f (x)0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)；當xm時，f (x)0，所以f(x)在(，m)上為減函數(shù)；所以，f(x)極大值f()m3m ····

51、83;············································4分當m3mm，即m，ymaxm3m··

52、83;············································6分當m3mm，即0m時，ymaxm綜上，ymax ·&

53、#183;················································8分（3）設兩

54、切點的橫坐標分別是x1，x2則函數(shù)f(x)在這兩點的切線的方程分別為y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)，y(x23mx22m)(3x222mx2)(xx2) ···································&#

55、183;·······10分將(2，t)代入兩條切線方程，得t(x13mx12m)(3x122mx1)(2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2)因為函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個不同的切點，所以方程t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且僅有不相等的兩個實根···········12分整理得t2x3(6m)x24mxm設h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2

56、(3xm)(x2)當m6時，h (x)6(x2)20，所以h(x)單調遞增，顯然不成立當m6時， h (x)0，解得x2或x列表可判斷單調性，可得當x2或x，h(x)取得極值分別為h(2)3m8，或h()m3m2m 要使得關于x的方程t2x3(6m)x24mxm有且僅有兩個不相等的實根，則t3m8，或tm3m2m ·······················

57、3;·······14分因為t0，所以3m80，（*），或m3m2m0（*）解（*），得m，解（*），得m93或m93因為m0，所以m的范圍為(0，93，) ·······························

58、···16分20(本小題滿分16分)解：（1）因為3b1，2b2，b3成等差數(shù)列， 所以4b23b1b3，即4×3(2ad)， 解得， ···································&#

59、183;4分 由an1bnan2，得anda(n1)d，整理得 ········································6分解得n， ···

60、83;····································8分由于1且0 因此存在唯一的正整數(shù)n，使得an1bnan2 ········&#

61、183;································10分（2）因為，所以 設f(n)，n2，nN*則f(n1)f(n)，因為q2，n2，所以(q1)n22(q2)n3n2310，所以f(n1)f(n)0，即f(n1)f(n)，即f(n)單調遞增·&

62、#183;································12分所以當r2時，tr2，則f(t)f(r)，即，這與互相矛盾所以r1，即 ··········

63、3;························14分若t3，則f(t)f(3) ·，即，與相矛盾于是t2，所以，即3q25q50又q2，所以q ················

64、3;··························16分南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學附加題參考答案及評分標準 2016.05 說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和

65、難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講證明：(1)連接AB因為PA是半圓O的切線，所以PACABC因為BC是圓O的直徑，所以ABAC又因為AHBC，所以CAHABC，所以PACCAH，所以AC是PAH的平分線 ·····&

66、#183;·····································5分(2)因為H是OC中點，半圓O的半徑為2，所以BH3，CH1又因為AHBC，所以AH2BH·HC3，所以AH在RtAHC中，AH，C

67、H1，所以CAH30°由(1)可得PAH2CAH60°，所以PA2由PA是半圓O的切線，所以PA2PC·PB，所以PC·(PCBC)(2)212，所以PC2 ·································

68、83;·········10分B選修42：矩陣與變換解：設曲線C上的任意一點P(x，y)，P在矩陣A對應的變換下得到點Q(x，y)則 ， 即x2yx，xy，所以xy，y ····························&#

69、183;···················5分代入x22xy2y21，得y22y·2()21，即x2y22，所以曲線C1的方程為x2y22 ·····················&#

70、183;·····················10分C選修44：坐標系與參數(shù)方程解：M的極坐標為(1，)，故直角坐標為M(0，1)，且P(2cos，sin)，所以PM，sin1，1 ·················

71、5分當sin時，PMmax，此時cos±所以，PM的最大值是，此時點P的坐標是(±，)·······························10分D選修45：不等式選講 解：函數(shù)定義域為0，4，且f(x)0 由柯西不等式得52()2()()(5··)2，······················5分 即27×4(5··)2，所以56 當且僅當5，即x時，取等號所以，函數(shù)f(x)5的最大值為6 ········