1、對數函數及其性質1 對數函數的概念(1) 定義：一般地，我們把函數y三logax(a0,且1)叫做對數函數，其中 x是自變量，函數的定義域是(0 ,+ ).(2) 對數函數的特征：log ax的系數：1特征logax的底數：常數，且是不等于1的正實數logax的真數：僅是自變量 x判斷一個函數是否為對數函數，只需看此函數是否具備了對數函數的特征.比方函數y = log7x是對數函數，而函數 y = 3log 4x和y = logx2均不是對數函數，其原因是 不符合對數函數解析式的特點.【例1 1】函數f(x)= (a2 a+ 1)log(a+ 1)x是對數函數，那么實數 a =.解析：由 a2

2、 a + 1= 1，解得 a= 0,1 .又 a+ 1 0，且 a+ 1 工 1， a = 1.答案：1【例1 2】以下函數中是對數函數的為 .(1) y= log a . x (a 0，且 a 1) ； (2)y = log2x + 2；(3) y= 8log2(x + 1) ； (4)y= logx6(x 0，且 x 1)；(5)y= log 6X.解析：序號是否理由(1)X真數是Jx，不是自變量x(2)X對數式后加2(3)X真數為x+ 1，不是X，且系數為8，不是1(4)X底數是自變量X，不是常數(5)V底數是6，真數是x2. 對數函數y= logax(a0，且a 1)的圖象與性質(1)

3、 圖象與性質a 10 v av 1圖 象加1 11性質(1)定義域x|x 0值域y|y R當x= 1時，y= 0，即過定點(1,0)(4)當 x 1 時，y0;當 0vxv 1 時，yv 0當x 1時，yv 0；當0 vxv1 時，y0(5)在(0，+ )上是增函數(5)在(0，+s )上是減函數談重點對對數函數圖象與性質的理解對數函數的圖象恒在 y軸右側，其單調性取決于底數.a 1時，函數單調遞增；0 v av 1時，函數單調遞減理解和掌握對數函數的圖象和性質的 關鍵是會畫對數函數的圖象，在掌握圖象的根底上性質就容易理解了.我們要注意數形結合思想的應用.(2)指數函數與對數函數的性質比擬解析

4、式y = ax(a0,且1)y= logax (a0，且1)性質定義域R(0，+ )值域(0，+s )R過定點(0,1)(1,0)單調性單調性一致，同為增函數或減函數奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數也不是偶函數(3)底數a對對數函數的圖象的影響 底數a與1的大小關系決定了對數函數圖象的“升降：當a 1時，對數函數的圖象“上升；當0v av 1時，對數函數的圖象“下降. 底數的大小決定了圖象相對位置的上下：不管是a 1還是0 v av 1，在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大.-431 【例2】如下列圖的曲線是對數函數y= log ax的圖象.a從 3，一中取值,3510那么

5、相應曲線Cl，C2, C3, C4的a值依次為()A.34, ,3,1B.34, ,1,3351031054C .3 ,314 D .-,3 ,1335103105解析：由底數對對數函數圖象的影響這一性質可知，C4的底數v C3的底數v C2的底數v C1 431的底數故相應于曲線 C1，C2，C3，C4的底數依次是.3，一，一.答案：A35 10點技巧 根據圖象判斷對數函數的底數大小的方法(1)方法一：利用底數對對數函數圖象影響的規律：在 x軸上方“底大圖右，在x軸下方“底大圖左 ；(2)方法二：作直線 y= 1， 它與各曲線的交點的橫坐標就是各對數的底數，由此判斷各底數的大小.3. 反函數

6、(1) 對數函數的反函數指數函數y = ax(a 0，且a 1)與對數函數y= logax(a0，且a 1)互為反函數.互為反函數的兩個函數之間的關系 原函數的定義域、值域是其反函數的值域、定義域； 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y = x對稱.求函數的反函數，一般步驟如下： 由y= f(x)解岀x，即用y表示岀x； 把x替換為y, y替換為x; 根據y = f(x)的值域，寫岀其反函數的定義域.【例3 1】假設函數y= f(x)是函數y= ax(a0,且a 1)的反函數，且f(2) = 1,那么f(x)=()A. log 2xc . log1 x2D . 2x2解析：因為函數y = ax

7、(a 0,且a 1)的反函數是f(x) = logax,又 f(2) = 1,即 loga2 = 1,所以 a = 2.故 f(x)= log 2x.答案：A【例3 2】函數f(x)= 3x(0v x 2)的反函數的定義域為()A. (0 ,+ )B. (1,9C. (0,1)D. 9 ,+ )解析：/ 0v x 2 , a 1v 3x 0,且1)中僅含有一個常數a，那么只需要一個條件即可確定對數函數的解析式，這樣的條件往往是f(m)= n或圖象過點(m，n)等等通常利用待定系數法求解，設岀對數函數的解析式f(x) = logax(a0，且a 1)，利用條件列方程求岀常數 a的值.logam=

8、 n，這時先把對數m= kn(k 0，且1)，1mn .禾U用待定系數法求對數函數的解析式時，常常遇到解方程，比方式logam= n化為指數式的形式an= m,把m化為以n為指數的指數幕形式那么解得a= k 0 還可以直接寫岀1a mn，再利用指數冪的運算性質化簡例如：解方程loga4=- 2,那么21a-2= 4,由于41，所以a21然，也可以直接寫岀 a 4 2，再利用指數幕的運算性質，得1.又2142a 0，所以a1(22)2【例4- 1】f(ex) = x，那么f(5)=()A . e5B . 5eC .In 5D. log5e解析：(方法一)令 t= ex，那么 x= ln t，所以

9、 f(t) = ln t，即 f(x)= ln x.所以 f(5) = ln 5 .仿法二)令云=5,貝U x= ln 5，所以f(5) = ln 5 .答案：C【例4-2】對數函數f(x)的圖象經過點 1 ,2 ，試求f(3)的值.9分析：設岀函數f(x)的解析式，利用待定系數法即可求岀.解：設 f(x)= logax(a0,且 a 1)，.a2 =對數函數f(x)的圖象經過點11 2a=9. f(x)= log1 x .3 f(3) = log 133log13【例4-3】對數函數f(x)的反函數的圖象過點(2,9)，且 f(b)=-，試求2b的值.解：設 f(x) = logax(a 0

10、,32,從而 a= 3 .于是 f(x)= log 3x，那么 f(b)= log3b且a 1)，那么它的反函數為y = ax(a0，且a 1)，1，解得 b= 32. 3 .2由條件知a2= 95 對數型函數的定義域的求解(1)對數函數的定義域為 (0,+ ).在求對數型函數的定義域時，要考慮到真數大于o,底數大于o，且不等于1 假設底數和真數中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義.一般地，判斷類似于 y = logaf(x)的定義域時，應首先保證 f(x) 0 (3)求函數的定義域應滿足以下原那么： 分式中分母不等于零； 偶次根式中被開方數大于或等于零

11、； 指數為零的幕的底數不等于零； 對數的底數大于零且不等于1; 對數的真數大于零，如果在一個函數中數條并存，求交集.【例5】求以下函數的定義域.(1) y= log 5(1 - x)； (2)y= log(2x-i)(5x- 4)； y ,log.5(4x 3) 分析：利用對數函數y= logax(a0,且a豐1)的定義求解.解：要使函數有意義，那么1 -x0，解得xv 1，所以函數y = log5(1 - x)的定義域是x|xv 1.5x 40,4(2) 要使函數有意義，那么2x 10,解得x 且XK 1，4,1 (1).2x 11,所以函數y = log(2x- 1)(5x-4)的定義域是

12、解得一 v x0，且a工1)的復合函數，其值域的求解步驟如下: 分解成y = logau，u = f(x)這兩個函數； 求f(x)的定義域； 求u的取值范圍； 利用y = log au的單調性求解.對于函數y = f(logax)(a 0，且1)，可利用換元法，設logax= t，那么函數f(t)(t R)的值域就是函數f(logax)(a0,且a工1)的值域.注意：(1)假設對數函數的底數是含字母的代數式(或單獨一個字母)，要考查其單調性，就必須對底數進行分類討論.(2) 求對數函數的值域時，一定要注意定義域對它的影響當對數函數中含有參數時，有時 需討論參數的取值范圍.【例6- 1】求以下函

13、數的值域：2 2(1) y= log2(x2 + 4) ； (2)y= log 1 (3 + 2x- x ).2解：/ x2 + 4 4， log2(x2 + 4) log 24 = 2.二函數 y = log2(x2 + 4)的值域為2，+).(2) 設 u= 3+ 2x- x2，貝U u=- (x- 1)2 + 40， 0v u- 2. 函數 y= log 1 (3 + 2x- x2)的值2 2 2域為-2，+ ).【例6- 2】f(x)= 2 + log3x, x 1,3，求y =f(x)2 + f(x2)的最大值及相應的x的值.分析：先確定y=f(x)2 + f(x2)的定義域，然后轉

14、化成關于log3x的一個一元二次函數，利用一元二次函數求最值.解：/ f(x)= 2+ log3X, x 1,3， y= f(x)2 + f(x2) = (log 3x)2 + 6log 3x+ 6 且定義域為1,3.令 t = log 3x(x 1,3) . / t = log3x 在區間1,3上是增函數， 0 t0，且a 1)過定點(1,0)，即對任意的a0，且a 1都有loga1 = 0.這 是解決與對數函數有關的函數圖象問題的關鍵.對于函數y = b+ klogaf(x)(k，b均為常數，且 心0)，令f(x)= 1，解方程得 x= m，那么該函數 恒過定點(m，b) 方程f(x) =

15、 0的解的個數等于該函數圖象恒過定點的個數.(2) 對數函數的圖象變換的問題、，向左(b0)或向右(b 0，且a 1)移-b|個單位長度-f函數y= log a(x + b)(a 0，且a工1)、,向上(b0)或向下(b 0，且 a 1)移同個單位長度-函數 y = logax+ b (a 0，且 a 1)當x0時，兩函數圖象相同 函數 y = logax(a0,且1)當x0時的圖象關于f軸對稱函數 y = loga|xl(a 0,且 / 1)保存X軸上方的圖象 函數 y = logaX(a0,且1)同時將x軸下方的圖象祚關于-x軸的對稱變換T-f函數 y= llogaxl(a 0,【例7-

16、1】假設函數y= log ax + b+ ca 0,且1的圖象恒過定點3,2，那么實數b, c的 值分另V為.解析：函數的圖象恒過定點3,2,將(3,2)代入 y = loga(x + b) + c(a 0，且 a工 1),得 2 = loga(3 + b) + c.又當 a 0,且 1 時，log al = 0 恒成立，- c= 2. log a(3 + b) = 0. - b=- 2.答案：一2,2【例7- 2】作岀函數y= |log2x+ 1| + 2的圖象.解：第一步作函數y= Iog2x的圖象，如圖 ;第二步將函數 如圖；y = log2x的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得函數y=

17、 log2x +1的圖象,第三步將函數11的圖象，如圖;y = Iog2x + 1在x軸下方的圖象作關于x軸的對稱變換，得函數y = |log2x +第四步將函數 的圖象，如圖.y = |log2x + 1|的圖象，沿y軸方向向上平移 2個單位長度，便得到所求函數17)/I叫/1234 X:圖8. 禾I用對數函數的單調性比擬大小兩個對數式的大小比擬有以下幾種情況:1底數相同，真數不同.比擬同底數是具體的數值的對數大小，構造對數函數，利用對數函數的單調性比擬大小.要注意：明確所給的兩個值是哪個對數函數的兩個函數值；明確對數函數的底數與1的大小關系；最后根據對數函數的單調性判斷大小. 底數不同，真

18、數相同假設對數式的底數不同而真數相同時，可以利用順時針方向底數 增大畫岀函數的圖象，再進行比擬，也可以先用換底公式化為同底后，再進行比擬. 底數不同，真數也不同.對數式的底數不同且指數也不同時，常借助中間量 0,1進行比擬.對于多個對數式的大小比擬，應先根據每個數的結構特征，以及它們與“0和“ 1的大小情況，進行分組，再比擬各組內的數值的大小即可.注意：對于含有參數的兩個對數值的大小比擬，要注意對底數是否大于1進行分類討論.【例8- 1】比擬以下各組中兩個值的大小.(1) log3l.9, Iog32； (2)log 23, Iog2 ； (3)logan, Ioga3.141 .分析：(1)

19、構造函數y= log3x，利用其單調性比擬；分別比擬與0的大小；分類討論底數的取值范圍.解：(1)因為函數y= Iog3x在(0 ,+a)上是增函數，所以f(1.9) v f(2).所以Iog3l.9vlog32.(2) 因為 Iog23 Iog21 = 0, Iog2 v Iog1 = 0,所以 Iog23 Iog2 .(3) 當a 1時，函數y= logax在定義域上是增函數，那么有loganIoga3.141 ；當0v av 1時，函數y= log ax在定義域上是減函數，那么有loga n 1時，loga n log a3.141 ； 當 0 a 1 時，log a n ba 1,試比

20、擬 log a ，logb , logba, logab 的大小.ba分析：利用對數函數的單調性或圖象進行判斷.a解：/ ba 1 , 0 1.ba二 loga logaa = 1,bIogb1 logbav logbb,即卩 0 log ba 1.由于1 b b,a 0 logbb b 1, - - 1b2b logb- aa二 logb 0,即 logbab,. b-logab log ba log b a9. 利用對數函數的單調性解對數不等式(1)根據對數函數的單調性，當a0,且a 1時，有logaf(x) = logag(x)f(x) = g(x)(f(x) 0, g(x) 0)；當

21、a 1 時,logaf(x) logag(x)f(x) g(x)(f(x) 0, g(x) 0)； 當 0 a logag(x)f(x)0, g(x) 0).(2)常見的對數不等式有三種類型：形如logaf(x) log ag(x)的不等式，借助函數y= log ax的單調性求解，如果a的取值不確定, 需分a 1與0a b的不等式，應將 b化為以a為對數的對數式的形式，再借助函數y= log ax的單調性求解. 形如log af(x) logbg(x)的不等式，根本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數值，利用 對數函數的單調性來脫去對數符號，同時應保證真數大于零，取交集作為不等式的解集. 形如

22、f(log ax) 0的不等式，可用換元法 后再解x的范圍.(令t = log ax)，先解f(t) 0,得到t的取值范圍然log 1(4 x)；7解：(1)由，得(2)當x 1時，有當0v x v 1時，有2x 132x 10,3 x0,2x 10,x0,x,解得1 v xv 3 ；x,2解得0 v xv 3【例9 1】解以下不等式： log 1 x7logx(2x + 1) logx(3 x).x0,4x0,解得0 v xv 2 所以原不等式的解集是 x|0v xv 2.x4 x,所以原不等式的解集是2 、0x 或 1x 1 時,y= log ax為增函數,3. a ，結合a 1，可知2當

23、0v av 1時，y = logax為減函數,2一 a 322av ，結合 0 v av 1，知 0 v a v33 a的取值范圍是a0a3 .10. 對數型函數單調性的討論1,當底數未明確三是注意其定義(1)解決與對數函數有關的函數的單調性問題的關鍵：一是看底數是否大于給岀時，那么應對底數a是否大于1進行討論；二是運用復合法來判斷其單調性； 域.關于形如y= logaf(x)一類函數的單調性，有以下結論:當0 v av 1時相函數y= logaf(x)的單調性與函數u= f(x)(f(x) 0)的單調性，當a 1時相同,反.例如：求函數 y = log2(3 2x)的單調區間.分析：首先確定

24、函數的定義域，函數y= log2(3 2x)是由對數函數 y= log2u和一次函數u= 3-2x復合而成，求其單調區間或值域時，應從函數 y= log2u的單調性考慮.u= 3 - 2x的單調性、值域入手，并結合函數3oo，2 .解：由3- 2x0,解得函數 y= log2(3 2x)的定義域是設 u= 3 2x，xco3 u= 3 2x在 -o，上是減函數，且y= log2u在(0,+o)上單調遞增,3函數y= log 2(3 2x)在 -o，-上是減函數.函數y= log2(3 2x)的單調減區間是3o，2 .【例10 1】求函數y= loga(a ax)的單調區間.解：假設a 1，那么

25、函數y = logat遞增，且函數t= a ax遞減.又/ a ax 0，即 卩 axv a， xv 1. 函數 y= log a(a ax)在(一o，i)上遞減.假設0v av 1，那么函數y= log at遞減，且函數t = a ax遞增.又/ a ax0，即 axv a， x 1. 函數 y= loga(a ax)在(1,+o)上遞減.綜上所述，函數y = loga(a ax)在其定義域上遞減.析規律 判斷函數y= log af(x)的單調性的方法函數y= log af(x)可看成是y = logau與u= f(x)兩個簡單函數復合而成的，由復合函數單調性“同增異減的規律即可判斷需特別注

26、意的是，1上是增函數，求 a的取值范圍.21是函數u = x2 ax a的遞減區間,2在求復合函數的單調性時，首先要考慮函數的定義域，即“定義域優先.【例 10 2】 f(x) = log1 (x2 ax a)在21解：丄是函數f(x)的遞增區間，說明，2由于是對數函數，還需保證真數大于0.令 u(x) = x2 ax a, / f(x)= log1 u(x)在211上是增函數,，2 u(x)在 , 1-上是減函數，且u(x) 0在 ，J 上恒成立.2 2a 1Ja1,2 2即111a一1 w a wa0.2u -0, 422滿足條件的a的取值范圍是a11 a -.211對數型函數的奇偶性問題

27、判斷與對數函數有關的函數奇偶性的步驟是：(1)求函數的定義域，當定義域關于原點不對稱時，那么此函數既不是奇函數也不是偶函數, 當定義域關于原點對稱時，判斷f(- X)與f(x)或f(x)是否相等；當f( x) = f(x)時，此函數是偶函數；當f( x) = f(x)時，此函數是奇函數；(3) 當f( x) = f(x)且f( x) = f(x)時，此函數既是奇函數又是偶函數；當f( x)工f(x)且f( x)工f(x)時，此函數既不是奇函數也不是偶函數.例如，判斷函數f(x)= loga( x2 1+ x) (x R，a 0,且1)的奇偶性.解：/f( x)+ f(x)= log a( .

28、x2 1 x) + loga( x2 1+ x)=loga(x2 + 1 x2)= loga1 = 0， f( x) = f(x) . f(x)為奇函數.1 x【例11】函數f(x)= loga(a 0,且a 1).1 x(1)求函數f(x)的定義域；判斷函數f(x)的奇偶性；求使f(x) 0的x的取值范圍.分析：對于第 問，依據函數奇偶性的定義證明即可對于第(3)問，利用函數的單調性去掉對數符號，解出不等式.1 x解：由 0,得一1vxv 1,故函數f(x)的定義域為(一1,1).1 x f( x)= loga11loga；f(x),又由(1)知函數f(x)的定義域關于原點對稱,函數f(x)是奇函數.1 x1 x當 a 1 時，由 log a0= loga1，得 1，解得 0 vxv 1；1 x1 x1 x1 x當 0v av 1 時，由 log a 0= loga1，得 0v v 1,解得一