1、、選擇題b1.設連續函數f(x)>0，那么當a<b時，定積分af(x)dx的符號()A.一定是正的B .一定是負的C. 當0<a<b時是正的，當 a<b<0時是負的D .以上結論都不對bb解析： 由af(x)dx的幾何意義及f(x)>0, 可知 af(x)dx 表示 x= a, x= b, y= 0 與 y = f(x)圍成的曲邊梯形的面積.答案：Abaf(X)dX>0.2假設a02X2dX,b2x3dx,c0 12sin xdx ,貝V a, b, c的大小關系是()0A. a<c<bB. a<b<cC. c<b&

2、lt;aD. c<a<b解析:13 12814 |2a=3x3 |0=3, b= x4 |2= 4 ,c= cosx I2 = 1 cos2, c<a<b.答案：D3.求曲線y= x2與y= x所圍成圖形的面積，其中正確的選項是()A.S=1(x2 x)dx0B.S=1(x x2)dx0C.S= 1(y2 y)dy0D.S=1(y. y)dy0答案B解析兩函數圖象的交點坐標是(0,0), (1,1)，故積分上限是1，下限是0，由于在0,1 上,x>x2，故函數y= x2與y= x所圍成圖形的面積S=1(x x2)dx.014. 1(sin x 1)dx 的值為()

3、A. 2B.0 C.2 2cos1 D. 2 2cos1【答案】A1 1【解析】/sin x 1)dx cosx x 1 ( cos1 1) cos( 1) 125. 由曲線y x2 2x與直線y x所圍成的封閉圖形的面積為1152A. -B. -C. D.-6363【答案】A【解析】在直角坐標系內，畫出曲線和直線圍成的封閉圖形，如下列圖，2y x2 2x由x 2x x,解得兩個交點坐標為-1,0和0,0,利用微積分的幾何含義可得封閉圖形的面積為：0 2 1 3 1 2 0 1 1 1S (x (x 2x)dx ( - x x ) | 1().八 '1' 323 26二、填空題

4、x6. f(x) = 0(2t 4)dt，那么當 x 1,3時，f(x)的最小值為 .x解析：f(x) = 0(2t 4)dt = (t2 4t)|0 = x2 4x= (x 2)2 4( 1< x< 3),當 x= 2 時，f(X)min = 4.答案： 47. 一物體以v(t) = t2 3t+ 8(m/s)的速度運動，在前 30 s內的平均速度為 解析：由定積分的物理意義有：s= ° (t2 3t 8)dt = (t3 3t2+ 8t)R°=7890(m). vs = 7f0° = 263(m/s).答案：263 m/s三、解答題8. 求以下定積

5、分：2 2 1 (1)1 x x + x dx;0(cosx+ ex)dx；(3) 9 .x(1 + ,x)dx；4nDos2|dx.0解析:2(1)1x x2+1xdx=21xdx221( c X3 c3 71x2dx+11dx = |2 |2 + ln x|2= 3 3+ ln 2 = In 2 56.(cosx+ ex)dx =0cosxdx19 x(1 + .x)dx=選+ x)dx=0 1exdx = sin x| + ex| = 1 y2 3 1 2923231X； +x249 = _x 曠-X 4一 + _ X3 2 243232292 42=(陰影)面積為乎,"cos

6、xdx=0J +;osxdx=!x|0 n+ 1sinx|0n= n09. 函數f(x)= x3 + ax2 + bx+ c的圖象如圖：直線y=0在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區域求 f(x).解：由 f(0) = 0 得 c= 0, f' (x)= 3x2 + 2ax+ b.由 f' (0) = 0 得 b= 0, /f(x) = x3 + ax2= x2(x+ a), 由 / 6a f(x)dx=f 得 a= 3.110. f(x)為二次函數，且 f( 1) = 2, f (0) = 0,0f(x)dx = 2.(1)求f(x)的解析式；求f(x)在1,

7、1上的最大值與最小值.解析：(1)設 f(x) = ax2 + bx+ c(a 工 0),那么 f' (x)= 2ax+ b.a b+ c = 2c= 2 a由 f( 1) = 2, f' (0) = 0，得，即b= 0b= 0/f(x) = ax2 + (2 a).1 1又 0f(x)dx=0ax2 + (2 a)dx=ax3 + 2 a x |0 = 2 |a= 2,a = 6 ,. c= 4. 從而 f(x)= 6x2 4. / f(x) = 6x2 4, x 1,1, 所以當 x = 0 時，f(x)min = 4 ； 當 x= ±1 時，f(x)max= 2

8、.B 卷：5+2+2、選擇題1.f(x)6為偶函數且0 f (x)dx66 f (x)dx 等于(C.-1解析：vf(x)為偶函數，60 f(x)dx06f(x)dxf(x)dx60 f(x)dx 1.答案：C2.(改編題)f (x)2 |x，那么21f (x)dx ()B. 4C.D.【答案】 【解析】f(x)x,x 0x,x 02 01 f (x)dx 1(2 x)dx20(2 x)dx (2x)|(2x2 3.5.93.函數y= x2與y = kx(k>0)的圖象所圍成的陰影局部的面積為2，貝y k等于()A . 2B . 1C. 3D . 4答案：Cy= x2解析：由消去y得x2

9、 kx= 0,y= kx所以x= 0或x= k，那么陰影局部的面積為/ o(kx x2)dx= (|kx2 護)|0= 9.119即2k3 §k3 = 9，解得 k= 3.10OW x< 24. 一物體在力F(x)=(單位：N)的作用下沿與力 F相同的方向，從 x3x+ 4 x>2=0處運動到x= 4(單位：m)處，那么力F(x)作的功為(A. 44B. 46C. 484解析：W=0F(x)dx =答案：B201Odx+D. 50(3x+ 4)dx= 10x|2 +5.函數f X滿足f 00 ,其導函數f x的圖象如以下列圖，貝U f x的圖象與x軸所圍成A. 13【答案

10、】的封閉圖形的面積為x【解析】由導函數 f x的圖像可知,函數 f x為二次函數，且對稱軸為1,開口方向設函數f(x)ax2 bxc(a 0)1 f(0)0, cO.f (x)2axb,因過點-1,0與0,2，那么有 2a ( 1)b 0,2a 0 b 2, a1,b2.f (x) x2 2x,那么 f X 的圖象與 x軸所圍成的封閉圖形的面積為2S ( x 2x)dx2132-x x3)|-2=3(-2)3(2)2二、填空題6.改編題設f(X)【答案】1【解析】Tf(1) lg1lg x,x 0a 2，假設 f(f(1)1,那么 a為x 3t dt,x 00 ，a 23 a30, f (f

11、(1)f(0)00 3t dt t |o a 1, a 1.7.函數f(x) = - x3 + ax2 + bx(a, b R)的圖象如下列圖，它與x軸在原點處相切，且 x軸與函數圖象所圍成區域(圖中陰影局部)的面積為 丄，那么a的值為答案1解析f' (x) = 3x2 + 2ax+ b,Tf ' (0) = 0 ,.b = 0,.f(x) = x3+ ax2,令 f(x) = 0,得 x= 0 或 x= a(a<0).1 1S 陰影= 0( x3 + ax2)dx= 1a4=衫,-a= 1.a三.解答題8.改編題畫出曲線 y -與直線y xx解析：如下列圖，封閉圖形的區

12、域為ABC.2由y 與y x 1聯立可得C(2,1),x21由y與x=4聯立可得B(4,),x2由y x 1與x=4聯立可得 A(4,3).所求封閉圖形 ABC的面積：1及x 4所圍成的封閉圖形，并且其面積42&1)dx2;dx 中2 洸 2lnx|8 4 2 2 2ln4 2ln 2 4 2ln2.9.在曲線y= x2(x>0)上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為丄12.(1)求切點A的坐標.(2)求過切點A的切線方程.解析：設切點A(xo, yo)，由y' = 2x,過點A的切線方程為y yo= 2xo(x xo),即 y = 2xox xo2.令y=

13、 0,得x= 2即5詈，0).設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形面積為 S,S 曲邊aaob = °x2dx 1 x3 |00 3x。3,03311X02 1 3SzABC = 2|BC| |AB|= 2(X0 2)X02= 4X03.S=討»3= 1，-.x0= 1,從而切點A(1,1)，切線方程為y= 2x 1.C卷：2+2+1、選擇題1.如下列圖，在一個邊長為1的正方形 AOBC內，曲線yx2和曲線y .x圍成一個葉形圖陰影局部，向正方形AOBC投一點該點落在正方形AOBC內任何一點是等可能的的點落在葉形圖內部的概率是1A.-2【答案】1B.-6D1C.4D.內隨

14、機那么所投【解析】o ( x x2)dx(2X?63)|01,S正方形 OBCA =1,333pS_1S正方形OBCA32.設函數f(x)= x x，其中x表示不超過xg(x)= 3，f(x)在區間(0,2)上零點的個數記為m,f(x)與g(x)的圖象交點的個數記為n,貝V ng(x)dx的值是()mC.答案解析由題意可得，當 0<x<1時，x = 0,f(x)= x,當 K x<2 時,兩個函數有4個交點，所以m= 1, n = 4,那么, x ng(x)dx=4 3 dx=m1x21452.二.填空題3. ：( 4 x2x)dx 【答案】2【解析】o (. 4 x2 )d

15、x 等于y24在第一象限的面積x)dxo ( . 4 x2 )dx2xdx021 2x22.4.如圖，設點P從原點沿曲線y= x2向點A(2,4)移動，記直線 OP、曲線y= x2及直線x= 2 所圍成的面積分別記為S1, S2,假設S1 = S2,那么點P的坐標為 .解析：設直線OP的方程為y= kx, P點的坐標為(x, y),x那么 0(kx x2)dx=$3-*kx2 |2 ,2 1 1 x(x2 kx)dx,即卩 kx2 3x3解得 *kx2 3x3= 8 2 k 3x3 |kx2 ,解得k= 3,即直線OP的方程為y= 3x,416所以點P的坐標為3, 6 .答案：3, ?三解答題5如下列圖,在區間0,1上給定曲線y= x2,試在此區間內確定t的值，使圖中陰影局部的面積S1 + S最小.解析由題意得S1 = tt2tx2dx=3t3, S2= 1因為當 0<t<