1、1第三章第三章 向量組的線性相關性與秩向量組的線性相關性與秩 向量的基本概念和運算向量的基本概念和運算 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 向量組的秩和最大無關組向量組的秩和最大無關組 向量組的秩和矩陣的秩的討論向量組的秩和矩陣的秩的討論 向量空間的基本概念向量空間的基本概念本章將介紹本章將介紹：2引言、引言、 向量的概念向量的概念向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數線性代數既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數組成的數組有次序的實數組成的數組幾何形象：可隨意幾何形象：可隨意平行移動的有向線段平行移動的有向線段代數形象：向量的代數形象：向量的坐標表示式坐標表示式),(21

2、nTaaaa 3定義定義 n 個有順序的數個有順序的數 所組成的數組所組成的數組naaa,21),(21naaa 叫做叫做 n 維向量維向量， 數數 叫做向量的叫做向量的分量分量（或（或坐標坐標），）， 個分量個分量.naaa,21jaj的的第第叫叫做做 3.1 向量及其相關性向量及其相關性1. 基本概念基本概念 分量為實數的向量稱為分量為實數的向量稱為實向量實向量；分量為復數的向量；分量為復數的向量稱為稱為復向量復向量. 4例如例如 矩陣的一行元素是一個向量；矩陣的一行元素是一個向量； 矩陣的一列元素也是矩陣的一列元素也是一個向量一個向量. nbbb21 為為列向量列向量.稱稱),(21na

3、aa 為為行向量行向量;常稱常稱 每一個方程中變量的系數就構成一個每一個方程中變量的系數就構成一個 n 維行向量維行向量. 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中，中，如方程組如方程組5確定飛機的狀態，需確定飛機的狀態，需要以下要以下6個參數：個參數：飛機重心在空間的位置參數飛機重心在空間的位置參數 P(x,y,z)機身的水平轉角機身的水平轉角)20( 機身的仰角機身的仰角)22( 機翼的轉角機翼的轉角)( 所以，確定飛機的狀態，需用所以，確定飛機的狀態，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實際意義維向量的實際意義n6niba

4、ii, 2 , 1, 向量的相等向量的相等.即即兩個向量相等，就是各個對應的分量都相等兩個向量相等，就是各個對應的分量都相等.),(),(2121nnbbbaaa 設設都是都是 n 維向量，則規定維向量，則規定:).0,0,0( O即即),(21naaa 零向量零向量 分量都為零的向量稱為零向量分量都為零的向量稱為零向量,記作記作O. 負向量負向量 設設 為為 稱稱 的負向量的負向量.),(21naaa 記記7),(),(2121nnbbbaaa ),(2211nnbababa ),()(2211nnbababa 向量的運算向量的運算行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣的運算法則矩陣的

5、運算法則進行運算進行運算.定義定義 設設都是都是 n 維向量，規定維向量，規定的的和和與與為為向向量量稱稱 定義定義即：即：兩個向量相加減就是將它們的對應分量相加減兩個向量相加減就是將它們的對應分量相加減.8定義定義 設 是 n 維向量，是實數, 規定),(21naaa ),(21naaa 注注 向量相加及數乘兩種運算統稱為向量相加及數乘兩種運算統稱為向量的線性運算向量的線性運算.即：即：數乘向量就是用數乘以向量的每一個分量數乘向量就是用數乘以向量的每一個分量.9OO )()()( )()()()(1由定義，易證：由定義，易證： 向量的線性運算滿足如下運算規律向量的線性運算滿足如下運算規律10

6、 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 矩陣形式： AX= 0 數的形式：其中： 向量形式：0 0 nnxxx 2211 miiiiaaa21 其中 nxxxX21注：齊次線性方程組不同的表示形式：注：齊次線性方程組不同的表示形式：111、線性相關性 )3(04)2(032)1(02zyxzyxzyx引言引言 設有方程組設有方程組易知方程間有關系易知方程間有關系 (3)=2(1)+(2), 若記若記:)114(),132(),121(321 3.1.2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2132 則則213, 可可由由即即經線性運算

7、得到經線性運算得到.12定義定義（線性組合）（線性組合）mmmm 22112121,使使組組數數如如果果有有一一對對于于向向量量或說或說 線性表示線性表示.m ,21可可由由m ,21是是則說向量則說向量 的的線性組合線性組合， 于是知于是知, 方程組中有無多余方程等價于在相應的向量方程組中有無多余方程等價于在相應的向量組中是否有某個向量能由其余向量線性表示組中是否有某個向量能由其余向量線性表示.13定義定義（線性相關）（線性相關）使使不不全全為為零零的的數數組組如如果果存存在在一一維維向向量量組組設設有有,2121mmn m ,21則說向量組則說向量組 線性相關線性相關，否則稱它們，否則稱它

8、們線性無關線性無關.Omm 2211問問: 如何用定義來驗證一組向量線性相關或線性無關如何用定義來驗證一組向量線性相關或線性無關?14 或或k注注 零向量與任一向量線性相關零向量與任一向量線性相關. ,注注 兩個非零向量兩個非零向量線性相關的充要條件線性相關的充要條件是對應分量成比例，即是對應分量成比例，即O , 來來說說注注 對單個向量對單個向量 為線性相關，為線性相關，O 為線性無關為線性無關.注注 線性無關的敘述線性無關的敘述OkkkOkkkmmm 212211則則必必有有若若有有 m ,21線性無關線性無關關于定義的幾點注意：關于定義的幾點注意：15 Okkk 631520111321

9、 Okkkkkkkk 321321316532即即 0650320 32132131kkkkkkkk故故 1113213231kkkkkkk可可取取321, 故故線性相關線性相關.例例 (P69例例3) 討論向量組線性相關性討論向量組線性相關性. Okkk 332211 使使于是得于是得O 321)1(11 631,520,111321 ,321kkk解解 設有設有16Oekekeknn 2211證證 設有設有neee,21故故線性無關線性無關.,00021 nkkk即即易知：易知：任一任一n n維維向量可由向量可由n n維單位坐標向量組線性表示維單位坐標向量組線性表示. .021 nkkk例

10、例 (P68例例1) n 維向量組維向量組 100,010,00121neee結論結論 n 維單位坐標向量組是線性無關的維單位坐標向量組是線性無關的.稱為稱為 n 維單位坐標向量組維單位坐標向量組 。17. , , , 321133322211321線性無關線性無關試證試證線性無關線性無關已知向量組已知向量組bbbbbb 例3例30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設設有有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無關，故有線性無關，故有，因因321 證證18., 0 321321線線性性無無關關向向量量組組，

11、所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx19定理定理 1 向量組向量組 線性相關線性相關 的充要條件是其中至少有一個向量可由其余的充要條件是其中至少有一個向量可由其余 m-1個個 向量線性表示向量線性表示.)2(,21 mm 中中有有一一個個向向量量設設充充分分性性m ,)(21112211 mmm 證證Ommm )1(112211即即有有能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示比比如如,)(m 于于是是不不全全為為零零顯顯然然,)1( ,121 m .,21線線性性相相關關m 20即即有有一一組組線線性性相相關關因因,21m ,

12、0,21 imkkkk不不妨妨設設中中至至少少有有一一個個不不為為零零因因（必要性）（必要性）1111)()( iiiiikkkk 則則.能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示即即i 證畢證畢.02211 mmkkk 使使不不全全為為零零的的數數,21mkkk思考：思考： 若若 線性相關，線性相關， 是否是否 一定一定 能用其余向量線性表出？能用其余向量線性表出？m ,211 mimiiikkkk )()( 11 （不一定）（不一定）21定理定理 2 設設 線性無關，而線性無關，而 線性相關，則線性相關，則 能由能由 線性表示，且表示式是唯一的線性表示，且表示式是唯一的. ,21mm ,21

13、 m ,21, , 11mmkk故故有有線線性性相相關關因因證證明明 . 0(*)1 mk式式中中必必有有則則而而其其中中若若反反證證00,(111 mmmkkk (*), 0111 mmmkkk使使不不全全為為 , 01 mk.), 0,11線線性性無無關關矛矛盾盾這這與與不不全全為為mmkk 22:.設設有有兩兩個個表表達達式式再再證證表表達達式式的的唯唯一一性性Ommm )()(:,111得得兩兩式式相相減減:,1知知線線性性無無關關由由m 證畢證畢mmmm 1111及及0 0 ii )., 2 , 1(miii 即即.線線性性表表示示可可由由諸諸于于是是i 23 易知，一個易知，一個

14、mn 的矩陣的矩陣 Amn 既可以看作是由既可以看作是由 m 個個 n 維的行向量構成；也可以看作是由維的行向量構成；也可以看作是由 n個個 m 維的列向量維的列向量構成，反之亦然構成，反之亦然. mnmmmnnmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA21222212112111212222111211 2 矩陣與向量組矩陣與向量組這里，我們來建立矩陣與向量組之間的聯系這里，我們來建立矩陣與向量組之間的聯系.24 mnnnnmmaaaaaaaaa21222122121111, 故故A可表示為可表示為 .,2121nmAA 或或 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211

15、25線線性性相相關關n ,21證證有有非非零零解解線線性性方方程程組組02211 nnxxx 結論結論 矩陣矩陣 A 的列向量組的列向量組 線性相關線性相關 的的充要條件充要條件是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax=0 有非零解有非零解. 其中其中 n ,21 ,21Tnxxxx ).,(21nA 0, 221121 nnnkkkkkk 使使存存在在一一組組不不全全為為零零的的數數 有有非非零零解解02121 nnxxx 有有非非零零解解0 Ax證畢證畢26 類似地有，類似地有，矩陣矩陣A的行向量組的行向量組 線性線性相關的充要條件是齊次線性方程組相關的充要條件是齊次線性方程組 AT x=O

16、 有非零解有非零解. .其中其中 x= =m ,21 Tmxxx21 由上可見，向量間的相關性問題可借助于矩陣或齊次由上可見，向量間的相關性問題可借助于矩陣或齊次線性方程組來表述線性方程組來表述. 熟悉同一個問題的不同形式表述，對于學好第三章及熟悉同一個問題的不同形式表述，對于學好第三章及以后內容是很重要的以后內容是很重要的.273.2 線性相關性的判定定理 本節將討論本節將討論 從不同的角度（如向量組中向量的從不同的角度（如向量組中向量的個數個數、 維數維數、以及、以及分量的順序分量的順序）提出向量組線性）提出向量組線性 相關的判定條件相關的判定條件 利用矩陣來判別向量組的線性相關性利用矩陣

17、來判別向量組的線性相關性 28Okkkrr 2211.,21線線性性相相關關故故mr Okkkmrrr 0012211從而從而.0 , 0 ,1個個數數不不全全為為零零這這因因mkkrmrr ,1,1 r ,21定理定理 3 3 若若 線性相關，線性相關， 則則 也線性相關也線性相關. .r ,21rkkk,21證證 因為因為 線性相關，故有不全為零線性相關，故有不全為零 的數的數 使使29定理定理 4 設有兩個設有兩個 n 維列向量組維列向量組 2121mm,b,bbB:,a,aaA: 即向量即向量 是把是把 的第一、二個分量對調而得，則向的第一、二個分量對調而得，則向 量組量組A與向量組與

18、向量組B的線性相關性相同的線性相關性相同.jbja證證 記記 mmbbbBaaaA2121, ,m,j,aaab,aaa anjjjjnjjjj21 1221 其中30,0:021212222111211有有非非零零解解即即方方程程組組線線性性相相關關的的充充要要條條件件是是則則向向量量組組 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaAxA,0:021211121122221有有非非零零解解即即方方程程組組線線性性相相關關的的充充要要條條件件是是向向量量組組 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaBxB31 顯然可知，方程組顯然可知，方程組 Ax=O 與方程組與方程組 Bx=O 是同解的，是同解的

19、，故若故若 A 組線性相關，組線性相關，B 組也線性相關；若組也線性相關；若 A 組線性無組線性無關，關，B 組也線性無關組也線性無關. 即它們的線性相關性相同即它們的線性相關性相同. 定理定理 4/ 設有兩個設有兩個 n 維列向量組維列向量組mjaaabaaaa,b,bB:b,a,aaAjpjpjpjnjjjjmmn, 2 , 1,:21212121 其其中中 其中其中 是是 這這 n 個自然數的某個自然數的某個確定的排列，則向量組個確定的排列，則向量組A與向量組與向量組B的線性相關性相同的線性相關性相同.nppp,21n, 2 , 132注注 定理定理4與定理與定理 4/ 對行向量情形也同

20、樣成立對行向量情形也同樣成立.定理定理 5 設有兩個列向量組設有兩個列向量組mjaaaabaaaa,b,bbB:,a,aaA:jrrjjjjrjjjjmm, 2 , 1, ,121212121 其其中中jbja即向量即向量 是由是由 添加一個分量而得，若向量組添加一個分量而得，若向量組 A 線線性無關，向量組性無關，向量組 B 也線性無關也線性無關.33記記定理定理 5 的證明的證明 AAxO則則向向量量組組 線線性性無無關關的的充充要要條條件件是是方方程程組組 mmbbbB,aaaA2121 11121121222212 :,nnrrrnnaaaxaaaxOaaax即即只只有有零零解解 BB

21、xO向向量量組組 線線性性無無關關的的充充要要條條件件是是方方程程組組34 由于方程組由于方程組 Bx=O 的前的前 r 個方程即是個方程即是 Ax=O 的的 r 個方個方程，故方程組程，故方程組 Bx=O 的解一定是的解一定是 Ax=O 的解的解.11121121222212111 21 ,:,nnrrrnnrrrnaaaxaaaxOaaaxaaa即即只只有有零零解解 因為向量組因為向量組 A 線性無關，所以線性無關，所以 Ax=O 只有零解，從而只有零解，從而Bx=O 也只有零解也只有零解, 因此向量組因此向量組 B 也線性無關也線性無關.35推論推論 r 維向量組的每個向量添上維向量組的

22、每個向量添上 n-r 個分量，成為個分量，成為 n 維維 向量組。若向量組。若 r 維向量組線性無關，則維向量組線性無關，則n 維向量組亦線性維向量組亦線性 無關；反過來，若無關；反過來，若 n 維向量組線性相關，則維向量組線性相關，則 r 維向量組維向量組 亦線性相關亦線性相關. 以上我們給出了幾個判別線性相關性的定理，為幫助以上我們給出了幾個判別線性相關性的定理，為幫助記憶，特總結成以下幾句話：記憶，特總結成以下幾句話： 改變向量的個數時，改變向量的個數時，. . 改變向量的維數時，改變向量的維數時，低維無關，高維也無關；低維無關，高維也無關； 高維相關，低維也相關高維相關，低維也相關.

23、同步改變向量的分量順序時，同步改變向量的分量順序時，線性相關性線性相關性不變不變.36注注 1) 定理的結論對定理的結論對行行向量情形同樣成立向量情形同樣成立.2) 此定理是從矩陣的角度來判斷向量組的相關性此定理是從矩陣的角度來判斷向量組的相關性, 無論無論 在理論上還是在計算中都經常被用到在理論上還是在計算中都經常被用到.定理定理 6 向量組向量組 線性相關線性相關的充分必要條的充分必要條 件是它們所構成的矩陣件是它們所構成的矩陣 的秩的秩 小于向量的個數小于向量的個數 m, 即即R(A)n 時，時，m 個個 n 維向量維向量 一定線性相關一定線性相關.特別特別 n+1個個n維向量必相關維向

24、量必相關.39 510231202231,343122321,201332CBA解解 對對A，行：，行：3個個2 維向量，必相關維向量，必相關. 列：列：2個個3 維向量，兩列不成比例，維向量，兩列不成比例， 對對B，行、列皆為，行、列皆為3個個3維向量，考察其行列式維向量，考察其行列式. 例例 討論下列矩陣的行、列向量組的線性相關性討論下列矩陣的行、列向量組的線性相關性.,2)(的的列列向向量量組組線線性性無無關關故故AAR 40對對C，列：，列：4個個3 維向量，必相關維向量，必相關. 行：行：3個個4 維向量維向量 R(C)=23, 故故 C 中行向量組線性相關中行向量組線性相關. 51

25、0231202231C 000031202231510231202231C02 B因為因為R(B)=3，故，故 B的行、列向量組皆線性無關的行、列向量組皆線性無關.41 1.已知向量組已知向量組 線性相關，求線性相關，求 t 值值.,054002121 t3 t 002,112121t 25403 練練 習習解題提示：矩陣解題提示：矩陣 的秩的秩 R(A)s ，則由于，則由于 r 個個 s 維向量必相關維向量必相關,即即線性相關，故存在不全為線性相關，故存在不全為 0 的數的數 使使引理證畢引理證畢1212rrKBAO 從從而而 Orr 2121即即故一定有故一定有61證證 設設 A1 組為組

26、為 A 組的最大無關組，組的最大無關組，B1 組為組為 B 組的最大組的最大 無關組，則無關組，則 A1 組、組、B1 組中所含的向量個數分別為組中所含的向量個數分別為 r1，r2 .證畢證畢定理定理7 設向量組設向量組 的秩為的秩為 r1， 向量組向量組 的秩為的秩為 r2， 如果如果A組能由組能由B組線性表示，則組線性表示，則 r1 r2 .rA ,:21sB ,:21 因為因為 A 組能由組能由 B 組線性表示，故組線性表示，故 A1 組也能由組也能由 B1 組線性表示組線性表示.（請思考為什么？請思考為什么？）于是由引理知于是由引理知 r1 r2 .62問問: 推論推論 1 的逆命題是

27、否成立？的逆命題是否成立？ 10000100:,0010,0001:2121 BA答答 推論推論1的逆不真，即的逆不真，即等秩組不一定等價等秩組不一定等價. 則則A組與組與B組的秩皆為組的秩皆為2，但，但A組與組與B組顯然不等價組顯然不等價.（有關此命題的進一步的結論可參見習題（有關此命題的進一步的結論可參見習題3）推論推論 1 等價的向量組有相同的秩等價的向量組有相同的秩.定理定理7的若干推論的若干推論簡稱為等簡稱為等價組等秩價組等秩如如：63定理定理8 矩陣矩陣A的秩等于的秩等于A的行向量組的秩，也等于的行向量組的秩，也等于A的的 列向量組的秩列向量組的秩.（此性質常稱為（此性質常稱為三秩

28、相等三秩相等定理定理.）推論推論 2 設在向量組設在向量組T中有中有 r 個向量個向量 滿足滿足 線性無關；線性無關； 任取任取 線性線性 表示表示. 則則 即是向量組即是向量組T的一個最大的一個最大 無關組，數無關組，數 r 即是向量組的秩即是向量組的秩.r ,21r ,21r ,21rT ,21能能由由 3.3.3 向量組的秩與矩陣秩的關系向量組的秩與矩陣秩的關系 即即 R(A) = A的的行秩行秩 = A的的列秩列秩.64定理定理8 矩陣矩陣A的秩等于的秩等于A的行向量組的秩，也等于的行向量組的秩，也等于A的的 列向量組的秩列向量組的秩.證證 設設 A 為為mn矩陣，當矩陣，當R(A)=

29、0時，時，A=O，結論自然，結論自然 成立，故下設成立，故下設R(A)0.記記 A 的列向量為的列向量為n ,21 由矩陣秩的定義，由矩陣秩的定義，A 中存在一個中存在一個 r 階子式階子式 Dr0, 由定理由定理 6知，知，Dr 所在的所在的 r 列線性無關，又由于列線性無關，又由于A中所中所有有 r+1 階子式均為階子式均為 0, 知知 A 中任意中任意 r+1個列向量線性個列向量線性相關，因此相關，因此 Dr 所在的所在的 r 列就是列就是 A 的列向量組的最大的列向量組的最大無關組，所以無關組，所以 A 的列秩等于的列秩等于 r. 同理可證同理可證 A 的行秩也等于的行秩也等于 r.)

30、.,(21nA 即即65推論推論 設矩陣設矩陣 A 的某個的某個 r 階子式階子式 Dr 是是 A 的最高階非零的最高階非零 子式，則子式，則 Dr 所在的所在的 r 個行向量即是個行向量即是 A 的行向量組的一的行向量組的一 個最大無關組；個最大無關組； Dr 所在的所在的 r 個列向量即是個列向量即是 A 的列向量的列向量 組的一個最大無關組組的一個最大無關組.例例 求下列向量組的秩，并求一個最大無關組：求下列向量組的秩，并求一個最大無關組： .81507,31312,23123321 解題思路：解題思路：法法 1 從判別向量組的相關性入手從判別向量組的相關性入手. 法法 2 構造矩陣，先

31、求矩陣的秩構造矩陣，先求矩陣的秩. （矩陣的秩可用初等變換法求得）（矩陣的秩可用初等變換法求得）66.2213 解法解法 1 易見易見從從而而線線性性無無關關又又線線性性相相關關故故,21321 ., 2,21為為一一個個最最大大無無關關組組且且向向量量組組的的秩秩為為知知 .81507,31312,23123321 ,815073131223123321 A記記解法解法 2071223 易知，二階子式易知，二階子式67故知故知 R(A)=2， 815073131223123 A又又 0000031312231232132rrr., , 2 , 21為為一一個個最最大大無無關關組組且且向向量量

32、組組的的秩秩為為知知由由三三秩秩相相等等定定理理及及推推論論 問：能否取問：能否取其它的二階其它的二階子式？子式？68例例 證證 設設 C=AB特別，特別，當當 A可逆時可逆時，有，有 當當 B可逆時可逆時，有，有)(),(min()(BRARABR )()(ARABR 則知則知 C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示; C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表示的列向量組線性表示,從而由定理從而由定理7及三秩相等定理，知及三秩相等定理，知 R(C)R(B)，R(C)R(A) 故命題成立故命題成立.)()(BRABR 69定理定理 9 矩陣矩陣 A 經過初

33、等經過初等行行變換化為矩陣變換化為矩陣 B，則，則 A 、B 的的行行向量組之間等價，而向量組之間等價，而 A、B 的的 列列向量組之間有向量組之間有 相同的線性組合關系相同的線性組合關系.本定理的證明略去本定理的證明略去, 但要注意此定理在解題中的應用但要注意此定理在解題中的應用. 43333320126624220121A 1）求矩陣的秩；求矩陣的秩； 2）求其列向量組的一個最大無關組，）求其列向量組的一個最大無關組， 3）將其余的列向量用此最大無關組線性表示）將其余的列向量用此最大無關組線性表示.例例 設有矩陣設有矩陣A70)(00000130001223020121B 行行)(0000

34、0311000910321091603101C 行行 43333320126624220121A（思考：從階梯形B 和最簡形 C 能了解原矩陣的什么信息？）解解 用初等用初等行行變換法可同時解決題中的幾個問題，變換法可同時解決題中的幾個問題， 其理論依據正是定理其理論依據正是定理9.711）R(A)=R(B)=R(C)=3. )(00000311000910321091603101)(00000130001223020121CB 2）根據）根據 B、C 的結構可知的結構可知 B、C 的第的第 1、2、4 列線性無列線性無 關，由定理關，由定理 9 知，知，A的第的第 1、2、4 列也線性無關，

35、故列也線性無關，故 A 的第的第 1、2、4 三個列向量是三個列向量是 A 的列向量組的最大無的列向量組的最大無 關組關組.723）為將）為將A 的其它的列向量用最大無關組表示，記的其它的列向量用最大無關組表示，記 54321 C 54321 A421542133191916,03231 421542133191916,03231: 易易見見由由C則在則在A中亦有中亦有 43333320126624220121 0000031100091032109160310173綜上所述，我們有綜上所述，我們有 .)3)2)( ?)()1),(關關組組線線性性表表示示大大無無將將其其余余的的列列向向量量用

36、用此此最最組組的的列列向向量量組組的的最最大大無無關關直直接接看看出出由由可可求求行行最最簡簡形形行行ABRARBA .)3)2)( ?)()1),(關關組組線線性性表表示示大大無無將將其其余余的的行行向向量量用用此此最最組組的的行行向向量量組組的的最最大大無無關關直直接接看看出出由由可可求求列列最最簡簡形形列列ABRARBA)(?)(),(,BRARBA 可可求求標標準準形形列列行行741. 設有行向量組設有行向量組 123,312,23321 x?,?,:321321線性無關線性無關為何值時為何值時線性相關線性相關為何值時為何值時問問 xx解解 考慮考慮32213321xA 357 x.,

37、5,5321321線線性性無無關關時時線線性性相相關關時時故故當當 xxCan You Answer Them?75 2 判斷判斷1 若若A組向量與組向量與B組向量等價，則組向量等價，則A組與組與B組的線性組的線性 相關性相同相關性相同.（）3 若矩陣若矩陣A的行向量組與的行向量組與B的行向量組等價，則方的行向量組等價，則方 程組程組AX=0與與BX=0同解同解.（）（）2 若若C=AB，則，則C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性的行向量組線性 表示表示, C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表示的列向量組線性表示.Can You Answer Them?763.4 向量空

38、間 本節將討論：本節將討論： 向量空間的定義向量空間的定義 向量空間的基和維數的概念向量空間的基和維數的概念 用初等變換法驗證一組向量是否構成向量空用初等變換法驗證一組向量是否構成向量空 間的基并將其余向量用這組基線性表示間的基并將其余向量用這組基線性表示77所謂運算封閉，是指所謂運算封閉，是指.,VkkVVVV 則則是是數數則則 1. 定義定義（向量空間）（向量空間） 設設V為為 n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V對于加法及數乘兩種對于加法及數乘兩種運算封閉運算封閉，那么就稱集合，那么就稱集合V為為向量空間向量空間。78 2）定義中也指明了驗證一個向

39、量集合是否為向量）定義中也指明了驗證一個向量集合是否為向量 空間的步驟：空間的步驟： V非空；非空； V關于向量加法封閉；關于向量加法封閉； V關于關于 向量數乘封閉向量數乘封閉.注注 1）n 維向量的全體維向量的全體 Rn 是向量空間是向量空間. 1. 定義定義（向量空間）（向量空間） 設設V為為 n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V對于加法及數乘兩種對于加法及數乘兩種運算封閉運算封閉，那么就稱集合，那么就稱集合V為為向量空間向量空間.79例例 1 是一向量空間是一向量空間6-這就是解析幾何中討論的三這就是解析幾何中討論的三維歐氏維歐氏 空間空間 R3

40、. ,321321RxxxxxxxV ,021211RxxxxxV 例例 2 驗證驗證 是一向量空間是一向量空間.80 ,021211RxxxxxV ,11VV 0,21kxxkkRk 則則解解 因為零向量因為零向量 0 V1 ，故，故V1 非空非空.綜上知，綜上知， V1 是一向量空間是一向量空間.又設又設 0,02121yyxx 記記 設設 02211yxyx 121,VkRkxkx 所所以以其其中中12211,VRyxyx 所所以以其其中中81,22VV 解解 以下說明以下說明 V2 對加法運算不封閉對加法運算不封閉.所以所以 V2 不是向量空間不是向量空間.設設 1,12121yyxx

41、 記記 22211yxyx ., 12V 故故的的第第三三個個分分量量不不是是由由于于 212121 ,Vxxxx xR 例例 3 說明說明 不是一向量空間不是一向量空間.82結論結論 設設 是兩個已知的是兩個已知的 n 維向量，則維向量，則 是一個向量空間是一個向量空間. , RxV ,（稱（稱V是由是由 所所生成的向量空間生成的向量空間） ,RkVxVx ,21驗證驗證 設設故故V是向量空間是向量空間. 222111, xx記記Vxx )()(212121Vkkkx )()(11183一般地，由一般地，由 所生成的向量空間為。所生成的向量空間為。m ,21 RxVmmm ,212211即若

42、向量組即若向量組 與與 等價，等價，m ,21s ,21 RxVRxVsssmmm ,11121111結論結論 等價的向量組所生成的向量空間相同等價的向量組所生成的向量空間相同.又又.21VV 則則842. 定義定義 （基和維數）（基和維數）,21Vr 設設 V 為向量空間，如果為向量空間，如果 r 個向量個向量且滿足：且滿足：線性無關；線性無關；r ,) 1 (21(2)(2) V 中任一向量都可由中任一向量都可由r ,21線性表出線性表出. 則向量組則向量組 就稱為向量空間就稱為向量空間 V 的一個的一個基基，r 稱為向量空間稱為向量空間V的的維數維數，并稱，并稱V是是 r 維向量空間維向量空間.r ,21規定：零向量空間的維數為規定：零向量空間的維數為 0.851）V的基就是的基就是V的最大無關組，的最大無