1、1信號與系統張張 宇宇 講師講師天津大學精儀學院精儀系四室天津大學精儀學院精儀系四室2第一章第一章 信號與系統信號與系統1.1 緒言緒言一、一、信號、系統及相互關系信號、系統及相互關系二、二、信號與系統的理論體系信號與系統的理論體系三、三、課程性質和課程定位課程性質和課程定位四、四、學習目的和學習方法學習目的和學習方法五、五、參考書目和幾點原則參考書目和幾點原則3v確定信號與隨機信號確定信號與隨機信號；v時間連續與時間離散（模擬與數字）時間連續與時間離散（模擬與數字）；v周期信號與非周期信號周期信號與非周期信號；v能量信號與功率信號；能量信號與功率信號；v實信號與復信號；實信號與復信號；v一維

2、信號與多維信號；一維信號與多維信號；1.2 信號的分類信號的分類41.3 幾種典型連續時間信號幾種典型連續時間信號1.指數信號2.正弦信號3.復指數信號4.抽樣信號*5.鐘形脈沖信號（高斯函數）5v加（減）、乘（除）、微分（積分）加（減）、乘（除）、微分（積分）v反轉與平移反轉與平移v尺度變換（橫坐標展縮）尺度變換（橫坐標展縮）1.4 信號的基本運算與基本變換信號的基本運算與基本變換61.5 階躍函數與沖激函數階躍函數與沖激函數*v函數本身有不連續點函數本身有不連續點(跳變點跳變點)或其導數與積分有不連續或其導數與積分有不連續點的一類函數統稱為點的一類函數統稱為奇異信號奇異信號或或奇異函數奇異

3、函數。1.單位斜變信號單位斜變信號2.單位階躍信號單位階躍信號3.單位沖激信號單位沖激信號4.沖激偶信號沖激偶信號基本奇異函數：基本奇異函數：主要內容：主要內容：基本定義基本定義物理解釋物理解釋相互關系相互關系重要性質重要性質7一一系統數學模型系統數學模型二二系統的線性系統的線性*三三系統的時不變特性系統的時不變特性四四系統的因果性系統的因果性五五系統的穩定性系統的穩定性六六系統的框圖表示系統的框圖表示1.6 系統的描述與分類（性質）系統的描述與分類（性質） 系統分析研究的系統分析研究的主要問題主要問題：對給定的具體系統，求出它：對給定的具體系統，求出它對給定激勵的響應。對給定激勵的響應。 具

4、體地說：系統分析就是建立表征系統的數學方程并求具體地說：系統分析就是建立表征系統的數學方程并求出解答。出解答。 系統的系統的分析方法分析方法：輸入輸出法（外部法）輸入輸出法（外部法）狀態變量法狀態變量法（內部法）（內部法）（chp.8 不講不講)外部法外部法時域分析（時域分析（chp.2,chp.3)變換域法變換域法連續系統連續系統頻域法頻域法(4)和和復頻域法復頻域法(5)離散系統離散系統z域法域法（chp6)系統特性系統特性：系統函數系統函數（chp.7 部分部分)1.7 LTI系統分析方法概述系統分析方法概述（1）把）把零輸入響應零輸入響應和和零狀態響應零狀態響應分開求。分開求。（2）把

5、復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據線）把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據線性系統的可加性：性系統的可加性：多個基本信號作用于線性系統所引多個基本信號作用于線性系統所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。求解的求解的基本思路基本思路：采用的數學工具：采用的數學工具：（1）卷積積分與卷積和）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換）拉普拉斯變換（4）Z變換變換三個重要問題：三個重要問題：（1）基本信號及響應；）基本信號及響應；（2）復雜信號的分解；）復雜信號的分解；（3）LTI系統分析方法。系統分析方法。101.7 LTI

6、系統分析方法概述系統分析方法概述（緒論）（緒論）時時 域域時時 域域(離散離散)頻域頻域(jw w)頻域頻域(ejq q)S域域(連續連續)Z域域(離散離散)基本信號基本信號d (d (t)d (d (k)ejw wtejq qkest(S=s+=s+ jw)w)Zk(Z = rejq q)數學方法數學方法卷積卷積積分積分卷積卷積和和F S、FTDF SDTFTLTZT系統模型系統模型h ( (t)h ( (k)H (jw w) H (ejq q )H (S)H (Z)3+2 (6+3)311第一章小結第一章小結v信號分類：連續信號分類：連續&離散（模擬、數字）；能量、功率信號離散（模

7、擬、數字）；能量、功率信號v典型連續信號（抽樣信號）典型連續信號（抽樣信號）v階躍信號與沖激信號（定義、物理意義、常用特性）階躍信號與沖激信號（定義、物理意義、常用特性）v系統基本概念：系統模型；系統描述（分類）系統基本概念：系統模型；系統描述（分類）v系統線性（零輸入、零狀態響應）系統線性（零輸入、零狀態響應）v系統時不變性、穩定性、因果性系統時不變性、穩定性、因果性v系統（連續）的框圖模型與微分方程模型系統（連續）的框圖模型與微分方程模型12第一章作業第一章作業p23: 1.2 (3) (7) ; 1.6(6)(7); 1.9 ; 1.10 (2) (4) (6) 1.20(a)(b);

8、1.29 1.324sin()6td d +=? 212d +=()()tted例例 某某LTI因果連續系統，起始狀態為因果連續系統，起始狀態為x(0)。已知，當。已知，當x(0) =1，輸入因果信號，輸入因果信號f1(t)時，全響應時，全響應 y1(t) = e t + cos(t)，t0；當當x(0-) =2，輸入信號，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應時，全響應 y2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0；求輸入求輸入f3(t) = +2f1(t-1)時，系統的零狀態響應時，系統的零狀態響應y3f(t) 。ttfd)(d1解解 設當設當x(0) =1，輸入因果信號，輸入因

9、果信號f1(t)時，系統的零輸入響時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為應和零狀態響應分別為y1x(t)、y1f(t)。當。當x(0-) =2，輸入信，輸入信號號f2(t)=3f1(t)時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為y2x(t)、y2f(t)。 由題中條件，有由題中條件，有y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t + cos(t)，t0 （1）y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2）根據線性系統的齊次性，根據線性系統的齊次性，y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t) =3y

10、1f(t)，代入式（代入式（2）得）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （3）式式(3) 2式式(1)，得，得 y1f(t) = 4e-t + cos(t)，t0由于由于y1f(t) 是因果系統對因果輸入信號是因果系統對因果輸入信號f1(t)的零狀態響應，的零狀態響應，故當故當t0，y1f(t)=0；因此；因此y1f(t)可改寫成可改寫成 y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t) (4) f1(t) y1f(t) = -4e-t + cos(t)(t)根據根據LTI系統的微分特性系統的微分特性ttyttfd)(dd)(d1f

11、1= -3(t) + 4e-t -sin(t)(t)根據根據LTI系統的時不變特性系統的時不變特性f1(t-1) y1f(t-1) = -4 e-(t-1)+ cos(t-1)(t-1) 由線性性質，得：當輸入由線性性質，得：當輸入f3(t) = +2f1(t1)時時ttfd)(d1y3f(t) = + 2y1(t-1) = 3(t) + 4e-t sin(t)(t) + 2-4 e-(t-1)+ cos(t-1)(t-1) ttyd)(d116一、系統一、系統 (數學數學)模型模型 描述系統的基本特征描述系統的基本特征 為了便于對系統進行分析，需要建立系統的模型，在模為了便于對系統進行分析，

12、需要建立系統的模型，在模型的基礎上可以運用數學工具進行系統研究。型的基礎上可以運用數學工具進行系統研究。給定系統的結構給定系統的結構和參數、初始條和參數、初始條件的情況下，件的情況下，)(tf)(ty已知已知系統的特性系統的特性求求( ) & ( )f ty t17)t(eR)t( idt)t(diL=+由數學表達式表示的系統模由數學表達式表示的系統模型，為系統的數學模型型，為系統的數學模型由理想電路元件符號表由理想電路元件符號表示的系統模型示的系統模型i(t)LR +e(t) -例如日光燈電路的電路模型例如日光燈電路的電路模型什么是系統模型？什么是系統模型？1.4 系統分析方法+-

13、R / Le (t) 1/Li(t)i(t)由理想單元模型表示由理想單元模型表示的系統框圖的系統框圖18電感器的低頻等效電路電感器的低頻等效電路 電感器的高頻等效電路電感器的高頻等效電路L RL RC1 1、建模是有條件的，同一物理系統，在不同的條件下，可以得 到不同形式的數學模型。嚴格地說，只能得到近似的模型。系統模型系統模型系統物理特性的數學抽象，以數學表達式或具系統物理特性的數學抽象，以數學表達式或具有理想特性的符號組合圖形來表示系統特性。有理想特性的符號組合圖形來表示系統特性。關于系統模型的建立有幾個方面須說明關于系統模型的建立有幾個方面須說明：1.4 系統分析方法192 2、不同的物

14、理系統，有可能得到形式上完全相同的數學模型。、不同的物理系統，有可能得到形式上完全相同的數學模型。C)(tucR)(tiS (t=0)0)0 (Uuc=RC電路的零輸入響應：電路的零輸入響應：0)0(0)()(UutudttduRCccc=（11）Mu(t)（速度）（速度）Bu(t)(摩擦力）摩擦力）初速度）()0(0)()(0UutBudttduM=（12）物體的減速運動：物體的減速運動：（11）與（）與（12)是形式上完全相同的數學模型是形式上完全相同的數學模型1.4 系統分析方法20 3 3、較復雜的系統，同一系統模型可有多種不同的數學表現形式、較復雜的系統，同一系統模型可有多種不同的數

15、學表現形式狀態方程狀態方程 -適合于多輸入多輸出系統分析（一階微分方程組適合于多輸入多輸出系統分析（一階微分方程組）例：)()()()(22tutudttduRCdttudLCsccc=+若選若選)(),(tutic作為輸出，則系統的狀態方程為：作為輸出，則系統的狀態方程為：sccuLtiLRuLdtditicdttdu1)(1)(1)(+=一階微分方程組-狀態方程R+)(tusL)(tiC +uc(t) -1.4 系統分析方法1. 1. 連續系統與離散系統連續系統與離散系統 若系統的輸入信號是連續信號，系統的輸出信號也是連若系統的輸入信號是連續信號，系統的輸出信號也是連續信號，則稱該系統為續

16、信號，則稱該系統為連續時間系統連續時間系統，簡稱為，簡稱為連續系統連續系統。 若系統的輸入信號和輸出信號均是離散信號，則若系統的輸入信號和輸出信號均是離散信號，則稱該系統為稱該系統為離散時間系統離散時間系統，簡稱為，簡稱為離散系統離散系統。 2. 2. 動態系統與即時系統動態系統與即時系統 若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態系統動態系統 或或記記憶系統憶系統。含有記憶元件。含有記憶元件(電容、電感等電容、電感等)的系統是動態系統的系統是動態系統。否則稱。否則稱即時系

17、統即時系統或或無記憶系統無記憶系統。3. 3. 單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統系統的分類（描述）：系統的分類（描述）：22六、系統的框圖表示六、系統的框圖表示Y(t)=f (t-T)Tf (t)f1 ()f2 ()f1 () +f2 ()f1 ()f2 ()f1 () f2 ()af ()a f ()f ()a f ()af（t）=tdfty)()(a) 積分器積分器Y(k)=f (k-1)Df (k)(b) 延遲單元延遲單元(c) 加法器加法器(d) 乘法器乘法器(e) 標量乘法器標量乘法器(f) 延時器（延時延時器（延時T）基本單元：基本單元：23+-

18、 a1f（t）y(t)- a0y(t)y(t)y(t) = - a1 y(t) - a0 y(t) + f(t)即：即：y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = f(t)由系統的框圖表示列寫系統微分方程由系統的框圖表示列寫系統微分方程 - 1：24+- a1f(t)x(t)-a0 x(t)x(t)y(t)b0b1b2x(t) = - a1 x(t) - a0 x (t) + f(t)即，即，x(t) + a1 x(t) + a0 x(t) = f(t)對于左邊的加法器，有：對于左邊的加法器，有：對于右邊的加法器，有：對于右邊的加法器，有：y(t) = b2x(t) + b1 x(t

19、) + b0 x(t)a0y = b2 ( a0 x ) + b1 ( a0 x ) + b0(a0 x)a1y = b2(a1x) + b1 ( a1x) + b0 ( a1 x)y= b2 (x) + b1 (x) + b0 (x)所以，所以，y(t) + a1y (t) + a0y (t) = b2 f (t) + b1 f (t) + b0 f (t) 由框圖到方程由框圖到方程- 225由線性疊加原理列寫框圖方程由線性疊加原理列寫框圖方程y1(t) + a1 y1(t) + a0 y1(t) = b0 f(t)y1(t)/ b0+- a1f（t）y1 (t)/b0- a0y1(t)/

20、b0y1(t)b0y2(t) + a1 y2(t) + a0 y2(t) = b1 f (t)+- a1f（t）- a0y3(t)b2y3(t) + a1 y3(t) + a0 y3(t) = b2 f (t)- a1f(t)-a0y(t)b0b1b2y(t) + a1y (t) + a0y (t) = b2 f (t) + b1 f (t) + b0 f (t) +- a1f（t）- a0y2 (t)/ b1y2(t)b1y2(t)/b1y 2(t)/b126框圖到方程框圖到方程- 3（例）（例）+-3f(t)x(t)-2x(t)x(t)y(t)13所以所以，y(t) + 3y (t) +

21、2y (t) = 3 f (t) + 0 f (t) + 1 f (t) 即，即，y(t) + 3y (t) + 2y (t) = 3 f (t) + f (t) +-3f(t)x(t)-2x(t)x(t)y(t)13x(t)-2即，即， y(t) + 3y (t) + 2y (t) + 2y (t) = 3 f (t) + f (t) 有有y(t) + 3y (t) + 2y (t) + 2y (t) = 0 f (t) + 3 f (t) + 0 f (t) + 1 f (t) 27y1(t)3二、系統的線性二、系統的線性1、系統的線性的基本含義齊次性與可加性系統的線性的基本含義齊次性與可

22、加性X1(t)X2(t)355y2(t)線性系統線性系統3X1(t) + 5 X2(t)3y1(t) + 5 y2(t)齊次性：齊次性：可加性：可加性：Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2() 2、動態系統是線性系統的條件動態系統是線性系統的條件 動態系統不僅與激勵動態系統不僅與激勵 f () 有關，而且與系統的初有關，而且與系統的初始狀態始狀態x(0)有關。有關。 初始狀態也稱初始狀態也稱“內部激勵內部激勵”。完全響應可寫為完全響應可寫為 y () = T f () , x(0)零狀態響應為零狀態響應為 yf() = T f () , 0零輸入響應為零輸入響應

23、為 yx() = T 0，x(0)當動態系統滿足下列三個條件時該系統為線性系統當動態系統滿足下列三個條件時該系統為線性系統：零狀態線性零狀態線性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0或或 Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零輸入線性零輸入線性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0)

24、+bT0,x2(0)可分解性可分解性： y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0)例例：判斷下列系統是否為線性系統？：判斷下列系統是否為線性系統？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1顯然，顯然， y (t) yf(t) yx(t) 不滿足可分解性，故為非線性不滿足可分解性，故為非線性（2） yf

25、(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 滿足可分解性；滿足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不滿足零狀態線性。故不滿足零狀態線性。故為非線性系統。為非線性系統。（3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性；，顯然滿足可分解性；由于由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yx(t)不滿足零輸入線性。故不滿足零輸入線性。故為非線性系統。為非線性系統。例：例：判斷下列系統是否為線性系統？判斷下列系統是否為線性系統？xxfxxtyt

26、td)()sin()0(e)(0+=解：解：xxfxtyxtytftxd)()sin()(),0(e)(0=y (t) = yf(t) + yx(t) ， 滿足可分解性；滿足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021+=+= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態線性；，滿足零狀態線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,

27、x2(0), 滿足零輸入線性；滿足零輸入線性；所以，該系統為線性系統。所以，該系統為線性系統。32三、系統的時不變特性三、系統的時不變特性系統的特性（參數）系統的特性（參數）不隨不隨時間的變化而變化時間的變化而變化 時不變系統；時不變系統；系統的特性（參數）隨時間的變化而變化系統的特性（參數）隨時間的變化而變化 時變系統；時變系統；時不變時不變系統系統f f(t)(t)tyzs(t)tyzs(t - t0)t0tf f(t-t(t-t0 0) )t0tT0，f(t) = yzs(t) T0，f(t t0) = yzs(t t0)例例：判斷下列系統是否為時不變系統？：判斷下列系統是否為時不變系統

28、？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f ( t)解解(1)令令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )而而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然 T0，f(k kd) = yf (k kd) 故該系統是時不變的。故該系統是時不變的。(2) 令令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而而 yf (t td)= (t td) f (t

29、 td)顯然顯然T0，f(t td) yf (t td) 故該系統為時變系統。故該系統為時變系統。(3) 令令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而而 yf (t td) = f ( t td)，顯然，顯然 T0，f(t td) yf (t td) 故該系統為時變系統。故該系統為時變系統。直觀判斷方法：直觀判斷方法： 若若f ()前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統為時變系統。為時變系統。 LTI連續系統的微分特性和積分特性連續系統的微分特性和積分特性 本課程重點討論線性時不變系統本課程重點討

30、論線性時不變系統(Linear Time-Invariant)，簡稱，簡稱LTI系統。系統。微分特性：微分特性：若若 f (t) yf(t) ， 則則 f (t) y f (t) 積分特性：積分特性：若若 f (t) yf(t) ， 則則ttxxyxxfd)(d)(f36四、系統的因果性四、系統的因果性系統響應（零狀態響應）不出現于激勵之前的系統系統響應（零狀態響應）不出現于激勵之前的系統 因果系統因果系統f (t) = 0 tt0 (0) yf (t) = T0,f(t) =0, tt0(0) 因果系統因果系統yf (t) = 3f(t-1)當當f (t) = 0 t0 yf (t) = 3

31、f(t-1) = 0 t1該系統為因果系統該系統為因果系統yf (t) = 3f(t+1)當當f (t) = 0 t0 yf (t) = 3f(t+1) = 0 t-1該系統為非因果系統該系統為非因果系統所有實際存在的模擬系統都是因果的；所有實際存在的模擬系統都是因果的；能夠實時實現的數字系統都是因果的。能夠實時實現的數字系統都是因果的。例：例：37五、系統的穩定性五、系統的穩定性非穩定系統( )=0)(dxxftyf( )( )=ttf穩定系統穩定系統: 有界的輸入產生有界的輸出有界的輸入產生有界的輸出BIBO定義定義f () yf () 例：例：( )( )( )ttdtttyf=0( )

32、ttyf,( )( )(2tftyty=+可以證明，對于所有可以證明，對于所有f(t), 此系統滿足此系統滿足BIBO穩定。穩定。( )ttf=)(當，( )( )tetytf21212+=有，X一單位斜變信號t)(tRO11t)(0ttR O10t10+ +t1 1 定義定義=000)(ttttRt)(tfOK = = 00000)(ttttttttR3 3三角形脈沖三角形脈沖 = =它它其其 00)()( ttRKtf由由t - -t0=0 可知起始點為可知起始點為0t2 2有延遲的單位斜變信號有延遲的單位斜變信號 下面采用求函數序列極限的下面采用求函數序列極限的方法定義階躍函數。方法定義

33、階躍函數。選定一個函數序列選定一個函數序列n(t)如圖所示。如圖所示。 ton1n11n21n to1 (t)=0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn二單位階躍信號二單位階躍信號X二單位階躍信號=00000(), 01ttttttt += 00000 (), 01 ttttttt有延遲的單位階躍信號有延遲的單位階躍信號階躍信號的實質在于*可方便表可方便表示信號的接入示信號的接入或斷開時刻或斷開時刻開關函數開關函數階躍函數性質：階躍函數性質：（1）可以方便地表示某些信號）可以方便地表示某些信號 f (t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) (a

34、)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（2）用階躍函數表示信號的作用區間）用階躍函數表示信號的作用區間 （3）積分）積分 )(d)(ttt=X用單位階躍信號描述其他信號tO12 2 ( ( ) )tf( ( ) )tG其他函數只要乘以門函數，就剩下門內的部分其他函數只要乘以門函數，就剩下門內的部分信號的持續時段、亦或分段表示。信號的持續時段、亦或分段表示。( )=+=( )22f tttg t符號函數符號函數：(Signum) = =0101)sgn(ttt= +=sgn( )()( )2 ( )1tttt=+1( )sg

35、n( )12tt門函數：門函數：也稱窗函數也稱窗函數tO( ( ) )tsgn平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺度變換相結合tof ( t )1- -22已知已知f (t)，畫出，畫出 f ( 4 2t)。 三種運算的次序可任意。但三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間一定要注意始終對時間 t 進進行。行。f (t - -4 4)426to1壓縮，得壓縮，得f (2t 4)f (2t - -4 4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t - -4 4)to1右移右移4，得，得f (t 4)tof ( t )1- -22壓縮，得壓縮，得f (2

36、t)f ( 2t )- -11to1右移右移2，得，得f (2t 4)f (2t - -4 4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t - -4 4)to1也可以先壓縮、再平移、最后反轉。也可以先壓縮、再平移、最后反轉。 若已知若已知f ( 4 2t) ，畫出，畫出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反轉，得反轉，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展開，得展開，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof ( t )1- -22X三單位沖激（難點）描述一類強度極大

37、、作用描述一類強度極大、作用時間極短一種物理現象時間極短一種物理現象例如：例如：_+1V(0)K t =_+cU1ciCF=(0 )0(0 )1ccUVUV+=概念引出(0 )(0 )1cqCUC+=000_0_(0 )( )( )1cqidt dtd+=庫侖單位沖激函單位沖激函數（信號）數（信號）X定義1：狄拉克(Dirac)函數( () ) = = = + 0 0)( 1d)(ttttd dd d00( )d( )d1ttttdd+= 函數值只在函數值只在t = 0時不為零；時不為零； 積分面積為積分面積為1 1； t =0 時，時， ，為無界函數。，為無界函數。 ( ( ) ) td d

38、X定義2 （廣義極限）t)(tpO 12 2 =+1( )22p ttt面積保持面積保持1 1；脈寬脈寬； 脈沖高度脈沖高度； 則窄脈沖集中于則窄脈沖集中于 t=0 處。處。面積為面積為1 1寬度為寬度為0 0 = =000tt無無窮窮幅幅度度三個特點：三個特點：0 / 2 / 2 / 2 / 21 1 積積分分分分微微d d(t) (t)d=d ( )( )dtttd =( )d( )tt沖激函數與階躍函數關系：沖激函數與階躍函數關系：tttd)(d)(d=ttdd)()(可見，引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如可見，引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如tof (t)21- -1f

39、(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求導求導1- -1otf (t)(2)(- -2)X+=221lim)(lim)(00dtttpt若面積為若面積為k，則強度為，則強度為k。三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數取取 0極限，都可以認為是沖激函數。極限，都可以認為是沖激函數。描述ot)(td d )1(ot)(0tt d d )1(0t時移的沖激函數時移的沖激函數X沖激函數的性質1抽樣性抽樣性2奇偶性奇偶性3沖激偶沖激偶4標度變換標度變換( ) ( )d(0)tttd=( )

40、( )d ( ), ( )g tttN g tt=X1.抽樣性(篩選性)()0()()(tftftd dd d= =對于移位情況：對于移位情況： = = )(d)()(00tfttfttd d如果如果f(t)在在t = 0處連續，且處處有界，則有處連續，且處處有界，則有 = =)0(d)()(fttftd dot)(tf )0(f000() ( )( ) ()ttf tf tttdd=)(22)()4sin()()4sin(ttttddd=+22d)()4sin(=tttd?d) 1()4sin(03=tttd?d)()4sin(91=tttd?d)(211=dt?d)() 1(12=td02

41、2其它, 011,2tt(t)(e2)()(e2)(e)(edd2222ttttttttttdd=X2. 奇偶性)()(tt = =d dd d證明奇偶性時，主要考察此函數的作用，即和其他函數證明奇偶性時，主要考察此函數的作用，即和其他函數共同作用的結果。共同作用的結果。 + = =)0(d)()(fttftd d + ttftd)()(d d + + = = = =)d()()( d d ft)0(d)()(ff= = = = + d d有值有值只在只在又因為又因為0)(= =ttd d)()(tt = =d dd d，故，故由定義由定義1 1，矩形脈沖本身是偶函數，故極限也是，矩形脈沖本身

42、是偶函數，故極限也是偶偶函數。函數。由由抽樣性抽樣性證明奇偶性。證明奇偶性。X3.沖激偶Ot)(td d )1(0 Ot)(td d ot)(ts t)(ts O 21 21 1X （與（與( ( ) ) ( ( ) )tfttfdd0)()(= =不同）不同） 3)0( d)()( fttft = = d d1 ,0d)( = = ttd d( ( ) )ttttd dd d= = d)( 沖激偶的性質時移，則：時移，則： )( d)()( 00tfttftt = = d d4, )()(ttd dd d = = )()(00tttt = = d dd d( ( ) )( ( ) )( (

43、) )tftfttfddd)0()(0)( = = ， 2X是奇函數是奇函數所以所以)(td d 如何得到？X2a4. 對d (t)的標度變換( ( ) )( ( ) )taatd dd d1= =沖激偶的標度變換沖激偶的標度變換( ( ) )( ( ) )taaatd dd d = = 11 ( ( ) )( ( ) )taaatkkk)()(11d dd d = =()()( )( )( )1kkkttdd= 奇偶性奇偶性p(at)2a1 / 1 / S=1S=1/ a / 2 / 2 / 2 / 21 / 1 / p(t) 0d d(t)d d(t)/a已知已知f(t)，畫出，畫出g(t

44、) = f (t)和和 g(2t) 求導，得求導，得g(t) o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1壓縮，得壓縮，得g(2t) (2)o1tg(2t)-1-1復合函數形式的沖激函數復合函數形式的沖激函數 實際中有時會遇到形如實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數，其中的沖激函數，其中f(t)是普通函數。并且是普通函數。并且f(t) = 0有有n個互不相等的實根個互不相等的實根 ti ( i=1，2，n) ttftftftd)(d)()(ddd=)(dd)( 1)(tfttftfd=f(t)圖示說明：圖示說明： 例例f(t)= t2 4 (t2 4)=1 (t+2)+

45、(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2to)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422+=+=+=tttttttttttddddddd( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)一般地，一般地，=niiitttftf1)()( 1)(dd這表明，這表明，f(t)是位于各是位于各ti處，強度為處，強度為 的的n個沖激函個沖激函數構成的沖激函數序列。數構成的沖激函數序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2+=tttddd注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)無意義。無意義。 X四. R(t)，(

46、t)， d(t) 之間的關系t)(tRO11t)(tuO1Ot)(td d )1( R(t) 求求 積積(- t ) (t) 導導 分分 d d(t) X五、沖激（偶）函數的性質總結( ( ) )( ( ) )taaatkkk)()(11d dd d = =（2 2）與普通函數相乘）與普通函數相乘)0(d)()(ftttf= = + d d)()0()()(tfttfd dd d= =（4 4）尺度、奇偶性）尺度、奇偶性 （3 3）抽樣特性）抽樣特性 ( ( ) )taatd dd d1)(= =（1 1）微積分性質）微積分性質d ( )d ( )( )( )ddttttttddd=( )d(

47、 )ttd = = = tttt)(d)(d dd d)()0()()0()()(tftfttfd dd dd d = = )0(d)()(ftttf = = d d()( )( )( )( 1)kkkttdd= 移位情況？移位情況？移位情況？移位情況？X重要特性：重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數形式。其對時間的微分和積分仍然是指數形式。1指數信號tKtf e)(= =單邊單邊衰減衰減指數信號指數信號l 指數衰減指數衰減, ,0 0 l l 指數增長指數增長0 0 l 直流直流( (常數常數) ), ,0= = K0= = O( ( ) )tft( ( ) ) = = 0e00 ttt

48、ft 通常把通常把1/1/ 稱為指數信號的稱為指數信號的時間常數時間常數，記作，記作 , ,代表信號衰代表信號衰減速度，具有時間的量綱。減速度，具有時間的量綱。Ot1( ( ) )tff (t)0X3復指數信號討論討論()()tKtKtKtfttstwwsswssinejcose)( Kee)()tj(+=+=衰減指數信號升指數信號直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0wswswsS=s + s + jw w 為復數，稱為復頻率為復數，稱為復頻率s, w s, w 均為實常數均為實常數歐拉歐拉(Euler)公式公式Xtttsin)Sa(= =4抽樣信號(Sampling Signal) (

49、( ) )tSa123O =02)()(dttSadttSa0)Sa(3 , 2 , 1=tnnt，()( )ttSaSa=0)Sa(lim1)Sa(lim0=tttt性質性質主瓣主瓣旁瓣旁瓣X2e)( = = tEtf在隨機信號分析中占有在隨機信號分析中占有重要地位。重要地位。5鐘形脈沖函數(高斯函數)Ot( () )tf 2 eEE78.E0.78EE/e/2t0X歐拉(Euler)公式()()tttwwwjjee21cos+=()()tttwwwsinjcose j+=()()tttwwwjjeej21sin=極坐標與極坐標與直角坐標直角坐標能量信號與功率信號能量信號與功率信號 將信號將信號f (t)施加于施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率為電阻上，它所消耗的瞬時功率為| f (t) |2，在區間，在區