1、第五章數(shù)列學(xué)習(xí)要求：1. 了解數(shù)列和其通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和的概念2. 理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.3. 理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題 .一、數(shù)列的概念1. 定義按照一定順序排列的一列數(shù)，數(shù)列里的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第 n項(xiàng)，第一項(xiàng)也叫首項(xiàng) .一般地，常用 a1，a2，a3， an來表示數(shù)列， 其中 an 是數(shù)列的第 n項(xiàng)，又叫做數(shù)列的通項(xiàng) . 數(shù)列記為an例如 , 數(shù)列1,3,5,7,2 n1,第 1項(xiàng)是 1，第 2項(xiàng)是 3，第 3項(xiàng)是 5，第

2、n項(xiàng)是 2n1，數(shù)列記作2n12. 數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列 an 的第 n項(xiàng) an 與項(xiàng)數(shù) n之間的關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如，數(shù)列 1,3,5,7,2 n1,通項(xiàng)公式是 an2n1.3. 數(shù)列的前 n項(xiàng)和對(duì)于數(shù)列 a1, a2 , a3 , an稱 a1a2a3an為這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，記作 Sn .即 Sna1a2a3an4. 數(shù)列 an 的 an 與 Sn的關(guān)系例 1 已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn 3n2 2n，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an解析 : 由 S 3n22n得n所以，當(dāng) n2時(shí)3 12當(dāng) n 1 , a1S1211,滿足公式a

3、n65n所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an 6n 5 歷年試題（ 2014 年試題）2. 已知數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和 Snn22n，求（ I ） an 的前三項(xiàng)；（ II ）數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式解析 ：（ I ）（II）當(dāng) n 2,anSnSn 1n22n( n1)22(n 1) 2n 3當(dāng) n1時(shí) a11,滿足 an2n 3所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n3（ 2007 年試題）已知數(shù)列 an前 n 項(xiàng)和 S n(2n 1)n（ I ）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ II ）判斷 39 是該數(shù)列的第幾項(xiàng) .解:（ I ）當(dāng) n 2,anSnSn 12n2n2(n 1)2(n 1) 4n 1當(dāng) n1時(shí) a13,

4、滿足 an4n 1所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an4n1(II) 設(shè) 39 是 該 數(shù) 列 的 第 n 項(xiàng) ， 則39 4n 1, n 10，即 39 是該數(shù)列的第 10 項(xiàng)二、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差， 記為 d ，即 danan 1等差數(shù)列的一般形式為2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列， 則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為3. 等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列， Sn 為其前 n項(xiàng)和，則或 Sna1 n(n 1)dn124. 等差

5、中項(xiàng)如果 A, B,C 稱等差數(shù)列， B就稱為 A與 C 的等差中項(xiàng)，則 BAC2注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明an 1and 為常量5. 等差數(shù)列的性質(zhì)（ 1）在等差數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等差數(shù)列 .對(duì)于等差數(shù)列 a1, a2 , a3 , an數(shù)列 a , a , a , a也是等差數(shù)列，數(shù)列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等差數(shù)列數(shù)列 a1 , a5 , a9 , a13也是等差數(shù)列例 2 如在等差數(shù)列an 中，已知 a24,a79，求 a12解 析 ： a2 , a7 , a12 構(gòu) 成 等 差 數(shù) 列

6、， 因 為a7a2945，所以 a12a759514（2）對(duì)等差數(shù)列an ，若 m,n,s,t 均為正整數(shù)，且 mnst ，則 amanasat如a1a9a2a8a3a7a4a62a5例 3 在等差數(shù)列an中，已知 a2a8 10，求a5解析：因?yàn)?a2aaa ，即 2aaa ,所855528(a2a8 )105以， a522例 4 設(shè) an為等差數(shù)列 , 其中 a59,a1539，則 a10（ A）24 （B）127 （C） 30 （D）33解析 : 解法一由等差數(shù)列an 的通項(xiàng)公式ana1(n1)d知a1 4d 9 a1 14d 39解法二an 為等差數(shù)列， 所以 a5 , a10 , a

7、15 也是等差數(shù)列，所以， a10 是 a5 與 a15 的等差中項(xiàng)，例 5 在等差數(shù)列 an 中，如果 a22,a3 5，則S10_解析： da3a25 2 3，由 a2a1d ,得a1a2d231例 6等差數(shù)列 an中，若 a4a5 a690則其前 9項(xiàng)的和 S9（）A.300B.270C. 540D.135解析：an 是等差數(shù)列，所以 a4a6 2a5 ，由a4 a5a690得 3a590， a530由 Sn(a1an ) n得， S9(a1a9 ) 9，22又 a1 a9 2a5 ，所以，選 B歷年試題（ 2013 年試題）等差數(shù)列 an 中，若 a12,a36，則 a2A.3 B.4

8、 C.8D. 12解析： a2a1a3 26242（ 2012 年試題）已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為 3，那么該數(shù)列的前 5項(xiàng)和為（）A. 35 B.30C. 20D.10解析：由 Sna1 n(n1)d 得n12選 A（ 2011 年試題）已知等差數(shù)列an 的首項(xiàng)與公差相等，an的前 n項(xiàng)的和記作Sn ，且 S20840.（ ） 求數(shù)列an 的首項(xiàng) a1及通項(xiàng)公式；（）數(shù)列an 的前多少項(xiàng)的和等于84?解析 :（ ） 已知等差數(shù)列an 的公差 da1又S20a20 (20 1) d20a 190d210a201211即 210a1840，所以， a14又 da1，即 d4，所以，ana

9、1(n1)d4 (n1)44n即數(shù)列 a的通項(xiàng)公式為 an4nn（ ）設(shè)Sn84， 又Sn(a1an ) n(4 4n) n2n22n，即 2n2222n84，解得 n6,n7（舍去）所以數(shù)列an 的前6項(xiàng)的和等于 84.（ 2009 年試題）面積為6 的直角三角形三邊的長(zhǎng)由小到大成等差數(shù)列，公差為 d ，求 d 的值 ;在以最短邊的長(zhǎng)為首項(xiàng)， 公差為 d 的等差數(shù)列中， 102 為第幾項(xiàng)？解析 : （ I ）由已知條件可設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為ad, a, ad,其中a0,d0,則 (ad)2a2(ad )2 ，得a4d三邊長(zhǎng)分別為 3d,4 d,5d故三角形三邊長(zhǎng)分別是3,4,5 . 公差

10、 d1(II) 以 3 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為故第 100項(xiàng)為 102（ 2008 年試題）已知等差數(shù)列an中,a19,a3a80. 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ; 當(dāng) n為何值時(shí) ,數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn 取得最大值 ,并求該最大值 .解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,由已知a3a80, 得 2a19d0.又已知 a19,所以 d2.數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 a9 2 n1,即nan112n. 解法一：數(shù)列an的前 n項(xiàng)和Sn9112nn210nn225.5n2當(dāng) n5時(shí)， Sn 取得最大值25.112 ,令解 法二： 由 知annan112n0n11,所以數(shù)列前5 項(xiàng)的和

11、2最大，最大值為S5a54 d595 4225.5122三、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，記為anq ，即 qan 1等比數(shù)列的一般形式為2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公比為 q 的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為3. 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公比為 q的等比數(shù)列， Sn 為其前 n項(xiàng)和，則或 Sna1an q (q1)1q4. 等比中項(xiàng)如果 A, B,C 稱等比數(shù)列， B就稱為 A與 C 的等比中項(xiàng)，則 B2AC 或 BAC注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等

12、比數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明an 1q為常量an5. 等比數(shù)列的性質(zhì)（1）在等比數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等比數(shù)列.對(duì)于等比數(shù)列 a1, a2 , a3 , an數(shù)列 a , a , a , a也是等比數(shù)列，數(shù)列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等比數(shù)列數(shù)列 a1 , a5 , a9 , a13也是等比數(shù)列例 7 如在等比數(shù)列an 中 , a26,a424, 則a6（）A. 8B. 24C. 96D. 384解 析 ： a , a ,a6是等比數(shù)列，因?yàn)?4a6a4244，a4a26a64a4 42496，選 C（2）對(duì)等比數(shù)列an ，若

13、m,n,s,t 均為正整數(shù)，且 m n st ，則 am anas at如 a a a2a a a7a4a a 2198365例如在等比數(shù)列an 中，已知 a1 a516，求 a3解析： a 2aa16，即 a16 43153例8 設(shè)等比數(shù)列an的各 項(xiàng)都為正數(shù)，若a3 1,a59，則公比 q=（A）3（B）2（C） -2（D）-3a1qn 1知解析 : 由等比數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 an例 9 設(shè)等比數(shù)列an 的公比 q=2，且 a2 a48則a1 a7（A）8（B）16（C） 32（D）64解析 : 由等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式ana1qn 1知例 10在 等 比 數(shù) 列 an中 ， 若a3

14、2S25,a42S35 ， 則an的 公 比q _解析：a4a32S35 (2S25) 2(S3S2 )， 又S3S2a3 ，所以 a4a32a3，即 a43a3 ,qa43，填3a3例 11 已知等比數(shù)列an中， a210,a320，那么它的前 5項(xiàng)和 S5_解 析 ： 由 a2 10,a320，可求得公比qa3202，從而 a1a210a210q52所以 S5a1 (1 q5 ) 5 (1 25 )155，填 1551 q12例 12已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，a12,前 3 項(xiàng)的和為 14（I ）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II ）設(shè) bnlog 2 an ,求數(shù)列 bn的前 20項(xiàng)的和解

15、析 :（I ）設(shè)等比數(shù)列an 的公比為 q, 則22q2q214所以 q2q 60, q2,q231(舍去)所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n（II ） bnlog2 anlog 2 2nn則例 13 設(shè) an 為等差數(shù)列 , 且公差 d 為正數(shù) ,已知 a2a3a415,又a2 , a31,a4 成等比數(shù)列解析 :由 an 為等差數(shù)列知由此得歷年試題（ 2015 年試題）若等比數(shù)列an 的公比為 3, a49,則 a1A.1B.193C.3D.27（ 2014 年試題）等 比 數(shù) 列an中 , 若 a28 , 公 比 為 14a5_（2015 年試題）, 則已 知 等 差 數(shù)列 a的公 差 d0,

16、 a1，且n12a1,a2 , a5 成等比數(shù)列（I ）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式（II ）若數(shù)列 an 的前項(xiàng)和 Sn50，求 n.（2013 年試題）已 知 公 比 為 q 的 等 比 數(shù) 列an中 ,a24,a532（ I ）求 q；（ II ）求 an 的前 6項(xiàng)和 S6解: （I ）由已知得 a q3a ，即 4q332，解得 q225（II） aa q 1212（ 2012 年試題）已知等比數(shù)列an中,a1a2a327（I ）求 a ；2（ II ）若 an的公比 q1,且 aaa13，123求 an 的前 5項(xiàng)和解析 :（I ）因?yàn)?an為等比數(shù)列，所以 a1a3a22 ，又 a1a2a3 27，可得 a23 27，所以 a23（II）由 a1a2a313，a23得 a1 a310，由 a a a27,a3得 a a9，123213解方程組a1 a310，得a1或9a1a391 a1a11a19由 a（舍去）3，得或12q3q3所以 an的前 5項(xiàng)和 S1(1 35)121513（ 2010 年試題）已知數(shù)列1an 中， a12,an 12 an（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式（