1、第六講 二次函數二次函數是一類十分重要的最基本的初等函數，也是初中數學的主要內容之一，它在中學數學中起著承上啟下的作用，它及一元二次方程、一元二次不等式知識的綜合運用，是初中代數的重點和難點之一另外，二次函數在工程技術、商業、金融以及日常生活中都有著廣泛的應用通過對二次函數的學習，使我們能進一步理解函數思想和函數方法，提高分析問題、解決問題的能力正確掌握二次函數的基本性質是學好二次函數的關鍵1二次函數的圖像及其性質例1 (1)設拋物線y=2x2，把它向右平移p個單位，或向下移q個單位，都能使得拋物線及直線y=x-4恰好有一個交點，求p，q的值(2)把拋物線y=2x2向左平移p個單位，向上平移q

2、個單位，則得到的拋物線經過點(1，3)及(4，9)，求p，q的值(3)把拋物線y=ax2bxc向左平移三個單位，向下平移兩個單位析式 解 (1)拋物線y=2x2向右平移p個單位后，得到的拋物線為y=2(x-p)2于是方程2(x-p)2=x-4有兩個相同的根，即方程2x2-(4p+1)x+2p24=0的判別式=(4p+1)2-4·2·(2p24)=0，拋物線y=2x2向下平移q個單位，得到拋物線y=2x2-q于是方程2x2-q=x-4有兩個相同的根，即=1-4·2(4-q)=0，(2)把y=2x2向左平移p個單位，向上平移q個單位，得到的拋物線為y=2(x+p)2q

3、于是，由題設得解得p=-2，q=1，即拋物線向右平移了兩個單位，向上平移了一個單位解得h=3，k=2原二次函數為說明 將拋物線y=ax2bxc向右平移p個單位，得到的拋物線是y=a(x-p)2b(x-p)c；向左平移p個單位，得到的拋物線是y=a(xp)2b(xp)c；向上平移q個單位，得到y=ax2bxcq；向下平移q個單位，得到y=ax2bxc-q例2 已知拋物線y=ax2bxc的一段圖像如圖37所示(1)確定a，b，c的符號；(2)求abc的取值范圍解 (1)由于拋物線開口向上，所以a0又拋物線經過點(0，-1)，合a0便知b0所以a0，b0，c0(2)記f(x)=ax2bxc由圖像及(

4、1)知所以a+bc=a(a-1)-1=2(a-1)，-2abc0例3 已知拋物線y=ax2-(ac)x+c(其中ac)不經過第二象限(1)判斷這條拋物線的頂點A(x0，y0)所在的象限，并說明理由；(2)若經過這條拋物線頂點A(x0，y0)的直線y=-x+k及拋物線的另一解 (1)因為若a0，則拋物線開口向上，于是拋物線一定經過第二象限，所以當拋物線y=ax2-(ac)x+c的圖像不經過第二象限時，必有a0又當x=0時，y=c，即拋物線及y軸的交點為(0，c)因為拋物線不經過第二象限，所以c0于是所以頂點A(x0，y0)在第一象限B在直線y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1又由于直線y

5、=-x+1經過 -2x2+2x2求二次函數的解析式求二次函數y=ax2bxc(a0)的解析式，需要三個獨立的條件確定三個系數a，b，c一般地有如下幾種情況：(1)已知拋物線經過三點，此時可把三點坐標代入解析式，得到關于a，b，c的三元一次方程組，解方程組可得系數a，b，c或者已知拋物線經過兩點，這時把兩點坐標代入解析式，得兩個方程，再利用其他條件可確定a，b，c或者已知拋物線經過某一點，這時把這點坐標代入解析式，再結合其他條件確定a，b，c(2)已知拋物線的頂點坐標為(h，k)，這時拋物線可設為ya(x-h)2k，再結合其他條件求出a(3)已知拋物線及x軸相交于兩點(x1，0)，(x2，0)，

6、此時的拋物線可設為y=a(x-x1)(x-x2)，再結合其他條件求出a例4 設二次函數f(x)=ax2bxc滿足條件：f(0)=2，f(1)=-1，解 由f(0)=2，f(1)1，得即c=2，b=-(a3)因此所求的二次函數是yax2-(a3)x2由于二次函數的圖像在x軸上所截得的線段長，就是方程ax2-(a3)x2=0兩根差的絕對值，而這二次方程的兩根為于是因此所求的二次函數表達式為例5 設二次函數f(x)=ax2bx+c，當x=3時取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長為4，求a，b，c的值分析 當x=3時，取得最大值10的二次函數可寫成f(x)a(x-3)210，且a0解 因為

7、拋物線的對稱軸是x=3，又因為圖像在x軸上截得的線段長是4，所以由對稱性，圖像及x軸交點的橫坐標分別是1，5因此，二次函數又可寫成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，從而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，所以例6 如圖38，已知二次函數y=ax2bxc(a0，b0)的圖像及x軸、y軸都只有一個公共點，分別為點A，B，且AB=2，b2ac=0(1)求二次函數的解析式；(2)若一次函數y=xk的圖像過點A，并和二次函數的圖像相交于另一點C，求ABC的面積解 (1)因二次函數的圖像及x軸只有一個公共點，故b2-4ac0，而b+2ac=0，所以b22b=0，b=-2(因為b0)點B的坐

8、標為(0，c)，AB=2，由勾股定理得所以 1a2c2=4a2因為ac=1，所以4a2=2，練習六1填空：(1)將拋物線y=2(x-1)2+2向右平移一個單位，再向上平移三個單位，得到的圖像的解析式為_(2)已知y=x2pxq的圖像及x軸只有一個公共點(-1，0)，則(p，q)=_(3)已知二次函數y=a(x-h)2k的圖像經過原點，最小值為-8，且形(4)二次函數y=ax2bxc的圖像過點A(-1，0)，B(-3，2)，且它及x軸的兩個交點間的距離為4，則它的解析式為_(5)已知二次函數y=x2-4xm8的圖像及一次函數y=kx+1的圖像相交于點(3，4)，則m=_，k=_(6)關于自變量x的二次函數y=-x2(2m2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整數，它的圖像及x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊，則這個二次函數的解析式為_2設拋物線y=x22axb及x軸有兩個不同交點(1)把它沿y軸平移，使所得到的拋物線在x軸上截得的線段的長度是原來的2倍，求所得到的拋物線；(2)通過(1)中所得曲線及x軸的兩個交點，及原來的拋物線的頂點，作一條新的拋物線，求它的解析式3已知拋物線y=ax2bxc及x軸交于A，B兩點，頂點為C(2)若ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值；(3)若b2-4ac=12，試判斷ABC的形狀4有兩個關于x的二次函數C1：