1、新課標回歸教材函數1.函數的概念.理解注意(1):都是非空數集;(2)任意性:集合中的任意一個元素;(3)唯一性:在集合中有唯一確定的數和它對應;(3)定不定:集合一定是函數的定義域,集合不一定是函數的值域,函數值域一定是集合的子集.典例:(1)函數圖像與直線至多有一個公共點,但與直線的公共點可能沒有,也可能有任意個.(2)已知,則集合中元素有 0或1 個;(3)若函數的定義域、值域都是閉區間,則 2 .2.同一函數.函數三要素是:定義域,值域和對應法則.而值域可由定義域和對應法則唯一確定,因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時,它們一定為同一函數.典例:若一系列函數的解析式相同,值域相同,但

2、其定義域不同,則稱這些函數為“孿生函數”,那么解析式為,值域為4,1的“孿生函數”共有 9 個.3.映射的概念.理解注意:映射是函數概念的推廣,表現在集合可以為任意非空集合,不一定是表示數,可以是其它人或事物本身.典例:(1)設集合,映射滿足條件“對任意的,是奇數”,這樣的映射有 12 個;(2)設是集合到集合的映射,若,則一定是.4.求函數定義域的常用方法（一切函數問題:定義域優先）(1)使函數的解析式有意義.解析式求定義域解析式求定義域解析式求定義域為偶數)(,)典例:(1)函數的定義域是;(2)若函數的定義域為R,則;(3)函數定義域是,且,則函數定義域是;(4)設函數,若的定義域是R,

3、求實數的取值范圍;若的值域是R,求實數的取值范圍（答:; ）(2)使實際問題有意義.實際問題有意義實際問題有意義實際問題有意義三角形中，最大角,最小角距離或弧長或面積或體積等為正數年月日等為正整數(3)復合函數的定義域.簡單函數定義域復合函數定義域求法備注若已知的定義域為則的定義域由不等式解出解不等式復合函數定義域簡單函數定義域求法備注若的定義域為則的定義域為在上的值域求值域法典例:(1)若函數的定義域為,則的定義域為;(2)若函數的定義域為,則函數的定義域為5.求函數值域(最值)的方法:(1)配方法二次函數（二次函數在給出區間上的最值有兩類:一是求閉區間上的最值;二是求區間定（動）,對稱軸動

4、（定）的最值問題.求二次函數的最值問題,勿忘數形結合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系）.典例:(1)函數的值域是;(2)已知在時有最大值,則;(2)換元法通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數,其函數特征是函數解析式含有根式.典例:(1)的值域為;(2)的值域為;（令,注意:換元要等價）;(3)的值域為;()(4)的值域為;(令)(3)函數有界性法利用已學過函數的有界性,如三角函數的有界性.典例:函數,值域分別是:;(4)單調性法利用函數的單調性.典例:(1)求,的值域為;(5)數形結合法函數解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率等.典例

5、:(1)若點,則及的取值范圍;(2)函數的值域;(3)函數的值域注意:異側和最小,同側差最大.(6)判別式法分式函數(分子或分母中有一個是二次),其定義域通常為典例:(1)函數的值域(2)若的定義域為R,值域為0,2,求常數的值（答:）(7)不等式法利用基本不等式求函數的最值或值域.其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和平方等技巧.典例:(1)型,可直接用不等式性質,如函數的值域.(2)型, ,如函數的值域(3)型,如函數的值域;函數的值域 .(4) 設成等差數列,成等比數列,則的取值范圍是.(8)導數法一般適用于高次多項式函數.典例:函數

6、,的最小值是.提醒:(1)寫函數的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數的最值與值域之間有何關系？典例:函數且的值域是,不要錯覺為.6.分段函數的概念.分段函數是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數,它是一類較特殊的函數.在求分段函數的值時,一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集,然后再代相應的關系式;分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集.典例:(1)設函數,則不等式的解集為;(2)已知,則不等式的解集是.7.求函數解析式的常用方法:(1)待定系數法已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種:一般式:;頂點式:;零點式:,要會根

7、據已知條件的特點,靈活地選用二次函數的表達形式.典例:若為二次函數,且,且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式.（答:）(2)代換(配湊)法已知形如的表達式,求的表達式.典例:(1)已知求的解析式（答:）;這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性,即的定義域應是的值域.(2)若,則函數=;(3)若是奇函數,且,那么時,= . (3)方程的思想已知條件是含有及另外一個函數的等式,可抓住等式的特征對等式的進行賦值,從而得到關于及另外一個函數的方程組.典例:(1)已知,求的解析式（答:）;(2)已知是奇函數,是偶函數,且+= ,則=.8.函數的奇偶性.(1)具有奇偶性的函數的定

8、義域的特征:定義域必須關于原點對稱！為此確定函數的奇偶性時,務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.典例:若為奇函數,其中,則值是 0 ;(2)確定函數奇偶性的常用方法（若函數解析式較為復雜,應先化簡,再判斷其奇偶性）:定義法: 典例:(1)判斷函數的奇偶性 奇函數_.(2)判斷函數的奇偶性 既是奇函數又是偶函數 ;利用函數奇偶性定義的等價形式:或().典例:判斷的奇偶性 偶函數 .圖像法:奇函數的圖象關于原點對稱;偶函數的圖象關于軸對稱.典例:判斷的奇偶性 奇函數 .(3)函數奇偶性的性質:奇(偶)函數在關于原點對稱的區間上若有單調性,則其單調性完全相同(反).若為偶函數,則.典例:若偶函數在

9、上單調遞減,且=2,則不等式的解集為若奇函數定義域中含有0,則必有.故是為奇函數的既不充分也不必要條件. 典例:若為奇函數,則實數 1 .定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數,都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”.典例:設是定義域為R的任一函數, ,.判斷與的奇偶性; 答案:;若將函數,表示成一個奇函數和一個偶函數之和,則復合函數的奇偶性特點是:“內偶則偶,內奇同外”.既奇又偶函數有無窮多個(,定義域是關于原點對稱的任意一個數集).9.函數的單調性.(1)確定函數的單調性或單調區間的常用方法:在解答題中常用:定義法（取值作差變形定號）、導數法（在區間內,若總有,則為增函數;反之,

10、若在區間內為增函數,則,請注意兩者的區別所在.典例:已知函數在區間上是增函數,則的取值范圍是;在小題中還可用數形結合法、特殊值法等等,特別要注意雙勾函數圖象和單調性在解題中的運用:增區間為,減區間為和.典例:(1)若函數在上是減函數,則取值范圍是;(2)已知函數在區間上為增函數,則實數的取值范圍;(3)若函數的值域為R,則的取值范圍是;復合函數法:復合函數單調性的特點是同增異減.典例:函數的單調遞增區間是.特別提醒:求單調區間時,第一,勿忘定義域;典例:若在區間上為減函數,則的取值范圍;第二,在多個單調區間之間不一定能添加符號“”和“或”;第三,單調區間應該用區間表示,不能用集合或不等式表示;

11、 第四,你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?比較大小;解不等式;求參數范圍. 典例:已知奇函數是定義在上的減函數,若,求實數的取值范圍.（答:）10. 常見的圖象變換的圖象是把函數圖象沿軸向左平移個單位得到的.典例:設的圖像與的圖像關于直線對稱,的圖像由的圖像向右平移1個單位得到,則為(的圖象是把函數圖象沿軸向右平移個單位得到的.典例: (1)若,則函數的最小值為 2 ;(2)要得到的圖像,需作關于 y 軸對稱圖像,再向右平移3個單位而得到;(3)函數的圖象與軸的交點個數有 2 個.函數+圖象是把函數的圖象沿軸向上平移個單位得到的;函數+圖象是把函數的圖象沿軸向下平移個單位得到的; 典例:將

12、函數的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 ( C ) 函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的得到的.典例:(1)將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變),再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位,所得圖像對應的函數為;(2)如若函數是偶函數,則函數的對稱軸方程是函數圖象是把函數圖象上各點縱坐標變為原來的倍得到的. 11. 函數的對稱性.滿足條件的函數的圖象關于直線對稱.典例:若滿足且方程有等根,則.點關于軸對稱點為;函數關于軸的對稱曲線方程為;點關于軸對稱點為;函數關于軸的對稱曲線方程為; 點關于原點對稱點為;函數關于原點對稱曲線方程為;

13、L:點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為.特別地,點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為;點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為.典例:己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是;曲線關于點的對稱曲線的方程為.典例:若函數與的圖象關于點（-2,3）對稱,則.形如的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數確定),對稱中心是點.典例:已知函數圖象與關于直線對稱,且圖象關于點對稱,則a的值為 2 .的圖象先保留原來在軸上方的圖象,作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形,然后擦去軸下方的圖

14、象得到;的圖象先保留在軸右方的圖象,擦去軸左方的圖象,然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到.典例:(1)作出函數及的圖象; (2)若函數是定義在R上的奇函數,則函數的圖象關于對稱.提醒:(1)從結論可看出,求對稱曲線方程的問題,實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題;(2)證明函數圖像的對稱性,即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上;(3)證明圖像與的對稱性,需證兩方面:證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上;證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上.典例:(1)已知函數.求證:函數的圖像關于點成中心對稱圖形; (2)設曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正

15、方向分別平行移動單位長度后得曲線.寫出曲線的方程（答:）;證明曲線C與關于點對稱.12. 函數的周期性.(1)類比“三角函數圖像”得若圖像有兩條對稱軸,則必是周期函數,且一周期為;若圖像有兩個對稱中心,則是周期函數,且一周期為;如果函數的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,則函數必是周期函數,且一周期為;典例:(1)已知定義在上的函數是以2為周期的奇函數,則方程在上至少有 5 個實數根.(2)由周期函數的定義“函數滿足,則是周期為的周期函數”得:函數滿足,則是周期為2的周期函數;若恒成立,則;若恒成立,則.若恒成立,則.類比記憶.典例:(1)設是上的奇函數,當時,則=;(2)定義在上的偶函數滿足,

16、且在上是減函數,若是銳角三角形的兩個內角,則的大小關系為;(3)已知是偶函數,且=993,=是奇函數,求的值(答:993);(4)設,又,則=.13.指數式、對數式:, .典例:(1)的值為 8 ;(2)的值為(3)已知函數,定義使為整數的數叫做企盼數,則在區間內這樣的企盼數共有 9 個.14. 指數、對數值的大小比較:(1)化同底后利用函數的單調性; (2)作差或作商法; (3)利用中間量(0或1); (4)化同指數(或同真數)后利用圖象比較. 15. 函數的應用. (1)求解數學應用題的一般步驟:審題認真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,尋找各量之間的內存聯系;建模通過抽象概括,將實

17、際問題轉化為相應的數學問題,別忘了注上符合實際意義的定義域;解模求解所得的數學問題;回歸將所解得的數學結果,回歸到實際問題中去. (2)常見的函數模型有:建立一次函數或二次函數模型;建立分段函數模型;建立指數函數模型;建立雙勾函數型.典例:某旅店有客床100張,各床每天收費10元時可全部額滿.若每床每天收費每提高2元,則減少10張客床租出,這樣,為了減少投入多獲利,每床每天收費應提高( B )A 2元 B 4元 C 6元 D 8元16. 抽象函數抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式,只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題.求解抽象函數問題的常用方法是:(1)借鑒模特函數進行類比探究.幾類常見的抽象函數:正比例函數型: -;冪函數型: -,;指數函數型: -,; 對數函數型: -,; 三角函數型: - .典例:若是R上的奇函數,且為周期函數,若它的周期為T,則 0 .(2)利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究典例:(1)設函數表示除以3