1、§平面向雖的實際背景及基本概念1、數量與向量的區別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小A（起點）2. 向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b（黑體，印刷用）等表示;用有向線段的起點與終點字母：AB;向量AB的大小一一長度稱為向量的模，記作|AB|.3. 有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向

2、線段.4、零向量、單位向量概念： 長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區別. 長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a/b/c.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量a與b相等，記作a=b;（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與再向線段的起點無關.7、共線向量與平行向量關系：平行向量

3、就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與再向線段的起點無關）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系§2.2.1向雖的加法運算及其幾何意義二、探索研究：1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、b.在平面內任取一點A,作AB=a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和，記作a+b,即a+bABBCAC,規定:a+0-=0+aba+b探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當向量a與b不共線時，a+b的方向不同向，

4、且|a+b|<|a|+|b|；（3）當a與b同向時，則a+b、a、b同向,且|a+b|=|a|+|b|,當a與b反向時，若|a|>|b|,貝Ua+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，貝Ua+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）"向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b作法：在平面內取一點，作OAaABb,則OBab.4.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b+a的結果與a+b是否相同？驗證結果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法

5、則（對于兩個向量共線不適應）2)向量加法的交換律：a+b=b+a5.向量加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c)證：如圖：使ABa,BCb,CDc則(a+b)+C=AcCDAD,a+(b+C)=ABBDAD(a+b)+c=a+(b+c)從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行第3課時a.1. 用"相反向量"定義向量的減法(1) "相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a(2) 規定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0如果a、b互為相反向量，貝Ua=b,b=a,a+b=0(

6、3) 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2. 用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作ab3. 求作差向量：已知向量a、b,求作向量a(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面內取一點O,bz*作OA=a,AB=b則BA=ab即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.4. 探究：1)如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是babab*>OBABOBAabab*OAbbBO2 ）若a/b,如何作出ab§2.3.

7、1平面向雖基本定理復習引入：1. 實數與向量的積：實數入與向量a的積是一個向量，記作：入a(1) |入a|=|入|a|;(2)入0時入a與a方向相同；入0時入a與a方向相反；入=0時入a=02. 運算定律入（a+b）=入a+入b結合律：入(a)=(入訴)a；分配律：(入+)a=A.a+a,3. 向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數入，使平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數入1,入2使3=入ie1+入2e2.探究：(1) 我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)

8、 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ei、e2的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一.入1,入2是被a,e1,e2唯一確定的數量§2.3.2-§平面向雖的正交分解和坐標表示及運算一、復習引入：1 平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數入1,入2使3=入ie1+入2e2(1) 我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ei、e2的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式

9、惟一.入1,入2是被a,a,葛唯一確定的數量二、講解新課：1. 平面向量的坐標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y,使得axiyjO1我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a(x,y)C2其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與a七目等的向量的坐標也為(x,y).特別地，i(1,0),j(0,1),0(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點。為起點作OAa,則點A的位置由a唯一確定.設OAxiyj,貝U向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標

10、；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯表小.2. 平面向量的坐標運算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2)，貝Uab(xx2,yy?)，ab(x1x2,yiy2)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差設基底為i、j,則ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(xix2，yiy?),同理可得ab(xx2,yiy)(2) 若A(xi，yi),B(x2,y2),則ABx2為心y一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標AB=OBOA=(x2，y2)(xi,y

11、i)=(x2xi,y2yi)(3) 若a(x,y)和實數，則a(x,y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標設基底為i、j,則a(xiyj)xiyj,即a(x,y)第6課時§2.3.4平面向雖共線的坐標表示一、復習引入：1. 平面向量的坐標表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y,使得axiyj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i(i,0),j(0,i),0(0,0).2. 平面向量的坐標運算若a(xw),

12、bgM),則ab(xx2,yiy2),ab(xx2,yy)，a(x,y).若A(xi,yi),B(x2,y2)，則AB由x，y2Vi二、講解新課：taHb(b0)的充要條件是xiy2-x2yi=0設a=(xi,yi),b=(x2,y2)其中ba-Xix2由3=入b礙，(xi,yi)=入(x2,y2)消去入，xiy2-x2yi=0yiy2探究：(i)消去入時不能兩式相除，yi,y2有可能為0,-b0/.x2,y2中至少有一個不為0(2) 充要條件不能寫成業巨xi,x2有可能為0xx2(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式:a/b(b0)abxy2x2y0§平面向雖的數雖積一、平面向雖的

13、數雖積的物理背景及其含義一、復習引入：1. 向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數入，使b=入a-2. 平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數入i,入2使3=入i§+入2e23. 平面向量的坐標表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y,使得axiyj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a(x,y)4. 平面向量的坐標運算若a(為，貝)，b(x2,y2)，則ab(xx2,y火)，ab(xx2,y火)，a

14、(x,y).若A(xi,yi),B(X2,y2),則ABX2x，y2y5. a/b(b0)的充要條件是xly2-x2y1=06. 線段的定比分點及入P1,P2是直線l上的兩點，P是l上不同于Pi,?2的任一點，存在實數入，使而=入麗，入叫做點P分PE所成的比，有三種情況：入0(內分)(外分)入0(入-1)(外分)入0(-1入0)7. 定比分點坐標公式：若點Pi(xi,yi),P2(x2,y2),入為實數，且P1P=入PP2，則點P的坐標為(xi一,絲)，我們稱入為點P分PE所成的比.ii8. 點P的位置與入的范圍的關系： 當入。時，PP與PP2同向共線，這時稱點P為RP2的內分點. 當入VO(

15、i)時，PP與PP2反向共線，這時稱點P為雨的外分點.9. 線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內任取一點O,設OR=a,OP2=b,可得OP=abJab.10. 力做的功：W=|F|s|cos,是F與s的夾角.二、講解新課：i. 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則ZAOB=。(0兀)叫a與b的夾角.說明：(i)當。=0時，a與b同向；(2) 當。=兀時，a與b反向；(3) 當。=一時，a與b垂直，記aXb;2a與b,它們的夾角是0,貝U數量(4) 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的2. 平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量|a|b|cos

16、叫a與b的數量積，記作ab,即有ab=|a|b|cos,(ovev兀).并規定0與任何向量的數量積為0.探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別Ccos的符號所決定(1)兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由(2) 兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab；今后要學到兩個向量的外積axb,而ab是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“x”代替.(3) 在實數中，若a0,且ab=0,則b=0；但是在數量積中，若a0,且ab=0,不能推出b=0.因為其中cos有可能為0.(4) 已知實數a、b、c(b0),貝Uab=bca=c.但是ab=b

17、ca=c如右圖：ab=|a|b|cos=|b|OA|,bc=|b|c|cos=|b|OA|ab=bc但ac(5) 在實數中，有(ab)c=a(bc),但是(ab)ca(bc)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3. “投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0;當=0時投影為|b|;當=180時投影為|b|.4. 向量的數量積的幾何意義：數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5. 兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個

18、非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea=ae=|a|cos2 abab=03 當a與b同向時，ab=|a|b|;當a與b反向時，ab=|a|b|.特別的aa=|a|2或|a|v'aa4 cos|a|b|ab|<|a|b|、平面向量數量積的運算律、復習引入：1.兩個非零向量夾角的概念a與b,它們的夾角是0,貝U數量a|b|cos,已知非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則ZAOB=。2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量|a|b|cos叫a與b的數量積，記作ab,即有a）.并規定0與任何向量的數量積為0.3.“投影”的概念:作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向

19、上的投影.投影也是一個數量，為直角時投影為0;當為鈍角時投影為負值;時投影為|b|.不是向量；當為銳角時投影為正值；當=0時投影為|b|;當=1804. 向量的數量積的幾何意義:數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5. 兩個向量的數量積的性質:設a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.當a與b同向時，ab|v|a|b|二、講解新課:平面向量數量積的運算律1.交換律：aa=|b|a|cos證：設a,b夾角為，則ab=|a|b|cos,.ab=b2.數乘結合律:a)(ab)=ab)證：若>0,=|a|b|cosa)|a|b|cos(ab)|a|b|cosb)若&

20、lt;0,(ab)=|a|b|cosa)b=|a|b|cos(|a|b|(cos)=|a|b|cos,a(b)=|a|b|cos(|a|b|(cos)=|a|b|cos3 .分配律：(a+b)c=ac+bc在平面內取一點Q作OA=a,AB=b,OC=c,va+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2.|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2,c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc說明：(1)一般地，(a-b)c乒a(b-c)(2) ac=bc,c乒Oa=b(3) 有如下常用性質：a2=IaI2,(a+b)(c+d)=a-c+a-d+b-c+b-d._、22-一一2(a+b)=a+2ab+b三、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角一、復習引入：1. 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作QA=a,QB=b，則ZAOB=。(0<兀)叫a與b的夾角.2. 平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是0,貝U數量|a|b|cos叫a與b的數量積，記作ab,即有ab=|a|b|cos,(0v