1、M是拋物線是拋物線y2 = 2px（p0）上一點(diǎn)，若）上一點(diǎn)，若點(diǎn)點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距到焦點(diǎn)的距離是離是x0 + 2pOyxFM焦半徑及焦半徑公式焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF XY拋物線的幾何性質(zhì)：拋物線的幾何性質(zhì)：xy XYXYXY 6、焦點(diǎn)弦和通徑、焦點(diǎn)弦和通徑通徑是焦點(diǎn)弦中通徑是焦點(diǎn)弦中最短的弦，最短的弦，

2、通徑通徑|AB|=2pXyF（ ，0）OBy2=2px(p0)A2p設(shè)設(shè)AB是拋物線是拋物線y2=2px(p0)過焦點(diǎn)過焦點(diǎn)F的的一條弦。設(shè)一條弦。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M(x0,y0),過過A,B,M分別向拋物線的準(zhǔn)線分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為作垂線，垂足為A1,B1,M1,則則yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1A(x1,y1)(1)|AB|x1+x2+p (2)x1x2= ,y1y2= - p224pPBFAF2|1|1)3( XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p0)三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線11,)4(AOB

3、BOAyFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)證明證明:以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切y2=2px(p0)AM1B=Rt , A1FB1=Rt N練習(xí)練習(xí)1：已知拋物線方程為已知拋物線方程為y2=4x，直線，直線l過定點(diǎn)過定點(diǎn)P（- -2，1），斜率為），斜率為k.則則k為何值時(shí)，直線為何值時(shí)，直線l與拋物線與拋物線y2=4x 只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)呢。公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)呢。提出問題提出問題 過拋物線過拋物線 的焦的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩交點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 . .求證：求證

4、： . .（焦點(diǎn)弦的其中（焦點(diǎn)弦的其中一條性質(zhì)）一條性質(zhì)） pxy2221, yy221pyy 探究探究1 過焦點(diǎn)的直線具有上述性質(zhì)，過焦點(diǎn)的直線具有上述性質(zhì)，反之，若直線反之，若直線AB與拋物線與拋物線 的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為 ，且且 ，那么直線，那么直線AB是否經(jīng)是否經(jīng)過焦點(diǎn)過焦點(diǎn)F 呢？呢？ pxy22 21, yy221pyy 探究探究2 既然過拋物線焦點(diǎn)的直線與既然過拋物線焦點(diǎn)的直線與其相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積是一其相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值，那么過拋物線對(duì)稱軸上其個(gè)定值，那么過拋物線對(duì)稱軸上其他任意一定點(diǎn)，是否也有這個(gè)性質(zhì)他任意一定點(diǎn)，是否也有這個(gè)性

5、質(zhì)呢呢?探究探究3 設(shè)拋物線設(shè)拋物線 上兩動(dòng)點(diǎn)上兩動(dòng)點(diǎn) ，且滿足，且滿足 ，問，問AB是否恒過是否恒過某一定點(diǎn)？某一定點(diǎn)？ pxy22 ),(),(2211yxByxA)(21為為常常數(shù)數(shù)kkyy pxy22 探究探究4 設(shè)拋物線設(shè)拋物線 上兩動(dòng)點(diǎn)上兩動(dòng)點(diǎn) ，且滿足，且滿足 ，求求AB中點(diǎn)中點(diǎn)P的的軌跡方程軌跡方程.),(),(2211yxByxA)(21為為常常數(shù)數(shù)kkyy pxy22 探究探究5 設(shè)拋物線設(shè)拋物線 上兩動(dòng)點(diǎn)上兩動(dòng)點(diǎn) ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAOB，則直線，則直線AB是否過定點(diǎn)？是否過定點(diǎn)？求求AB中點(diǎn)中點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程.),(),(2211yxByxApxy2

6、2 探究探究6 設(shè)拋物線設(shè)拋物線 上兩動(dòng)點(diǎn)上兩動(dòng)點(diǎn) ，M為該拋物線為該拋物線上一定點(diǎn)，且上一定點(diǎn)，且MAMB，則直線，則直線AB是否過定點(diǎn)？是否過定點(diǎn)？),(),(2211yxByxA探究探究7 若若M為拋物線為拋物線 上一個(gè)定點(diǎn)，上一個(gè)定點(diǎn)，A、B是拋物線上的兩是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 (r為非零常為非零常數(shù)數(shù))，求證：直線，求證：直線AB過定點(diǎn)。過定點(diǎn)。 22(0)ypx pMAMBkkr將將“探究探究6”的的 “直線直線MA與直線與直線MB的傾斜角之差為的傾斜角之差為900”變?yōu)樽優(yōu)椤爸本€直線MA與直線與直線MB的傾斜角之和的傾斜角之和為為900”，即，即 ，r =1,=1,直

7、線直線AB過定點(diǎn)過定點(diǎn). .MAMBMAMBkkr將將“探究探究6”的的 “直線直線MA與直線與直線MB的傾斜角之差為的傾斜角之差為900”變?yōu)樽優(yōu)椤爸本€直線MA與直線與直線MB的傾斜角之和的傾斜角之和為為1800”，直線，直線AB不過定點(diǎn)，但可得不過定點(diǎn)，但可得到到. . MAMB探究探究8 若若M為拋物線為拋物線 上一個(gè)定點(diǎn)，上一個(gè)定點(diǎn)，A、B是拋物線上的兩是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線與直線MB的傾的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線斜角互補(bǔ)，求證：直線AB的斜率為的斜率為定值。定值。 22(0)ypx p設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)我們研究數(shù)學(xué)問題的一般思想培養(yǎng)我們研究數(shù)學(xué)問題的

8、一般思想方法：方法：一是考慮原命題的逆命題是否成立；一是考慮原命題的逆命題是否成立；二是考慮能否把原命題進(jìn)行一般推二是考慮能否把原命題進(jìn)行一般推 廣；廣；三是考慮從原命題條件中還能推出三是考慮從原命題條件中還能推出什么結(jié)論？什么結(jié)論？四是考慮把原命題進(jìn)行適當(dāng)變式進(jìn)四是考慮把原命題進(jìn)行適當(dāng)變式進(jìn)行拓展。行拓展。 問題問題 過拋物線過拋物線 上一定點(diǎn)上一定點(diǎn) ，作兩條直線分別，作兩條直線分別交拋物線于交拋物線于 .當(dāng)當(dāng)PA與與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求求 的值，并證明直線的值，并證明直線AB的斜的斜率為非零常數(shù)率為非零常數(shù).)0(22ppxy)0)(,(000yyx

9、P),(),(2211yxByxA021yyy 變式變式1過拋物線過拋物線 上一定上一定點(diǎn)點(diǎn) ，作兩條直線分別，作兩條直線分別交拋物線于交拋物線于 ，若，若直線直線AB的斜率為定值的斜率為定值 ，證明直，證明直線線PA與與PB的傾斜角互補(bǔ)的傾斜角互補(bǔ).)0(22 ppxy)0)(,(000 yyxP),(),(2211yxByxA0yp 設(shè)動(dòng)直線設(shè)動(dòng)直線AB：y=- -x+b與拋與拋物 線物 線 , , 相 交 于 兩相 交 于 兩點(diǎn)點(diǎn) ，問在直線，問在直線MN：x=2上能否找到一定點(diǎn)上能否找到一定點(diǎn)P（坐標(biāo)與（坐標(biāo)與b 的值無關(guān)），使得直線的值無關(guān)），使得直線PA與與PB的的傾斜角互補(bǔ)？?jī)A斜

10、角互補(bǔ)？變式變式2),(),(2211yxByxAxy82 變式變式3 如圖，拋物線如圖，拋物線 ，過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,0)作斜率為作斜率為k的直線的直線l交拋交拋物線于物線于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，A關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)軸的對(duì)稱點(diǎn)為稱點(diǎn)為C，直線，直線BC交交x軸于軸于Q點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)k變化時(shí)，探究點(diǎn)變化時(shí)，探究點(diǎn)Q是否為定點(diǎn)？是否為定點(diǎn)？)0(22 ppxy練習(xí)練習(xí)1：如圖，定長(zhǎng)為如圖，定長(zhǎng)為3的線段的線段AB的兩的兩端點(diǎn)在拋物線端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，設(shè)上移動(dòng)，設(shè)線段線段AB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)，求點(diǎn)M到到y(tǒng)軸的最短距離。軸的最短距離。練習(xí)練習(xí)2：正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線拋物線y2=2px(p0)上，求這個(gè)上，求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)。三角形的邊長(zhǎng)。變式：變式：已知在拋物線已知在拋物線y=x2上三個(gè)上三個(gè)點(diǎn)點(diǎn)A、B、C組成一個(gè)等腰直角三組成一個(gè)等腰直角三角形，且頂點(diǎn)角形，且頂點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)，是直角頂點(diǎn)， (1)設(shè)直線設(shè)直線BC的斜率為的斜率為k，求頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)求等腰直角三角形的面積的最求等腰直