1、探索與研究圓錐曲線中拋物線的有關結論山東省德州市實驗中學肖成榮由于拋物線的離心率是常數，導致了許多自身具有的規律性，再加上拋物線的方程比較簡單，所以靈活性就更加顯現，了解了拋物線的規律性后在處理拋物線的相關問題時會起到事半功倍的效果。下面就拋物線的結論作以歸整，供參考！一、焦點 F ( p ,0) 處的結論21、焦半徑長：A(x1 , y1) ， F ( p ,0) ， | AF | x1p ；222、焦點弦長： A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 在拋物線上，且 AB 過焦點 F ，則 | AB | x1 x2p ，或|AB|2p（ 為直線 l與拋物線對稱軸的夾角） ；si

2、n 23、過焦點的直線與拋物線相交于A 、B 兩點，分別過 A 、B 兩點作準線的垂線， 垂足分別為 M 、N， MN 的中點為 G。（ 1）兩相切： 以焦半徑 AF為直徑的圓與 y 軸相切；以焦點弦 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切 .（2）三直角： AGB90 0y MFN 90 0 GFAB（ 3）六定值： 焦點弦兩端點A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 的對應坐標MRA的乘積是定值： x1 x2p2, y1 y2p2 ，4G3 p 2 ；p2pxOA OBOSE4FD AFm, BF n ，則 112，NBmnp| GF |mn .p2S AOB2sin二、點 D

3、 ( p,0) 處的結論例：拋物線 y 22 px 上的點到 A( a,0) 的最近距離是多少？結論： D ( p,0) 是拋物線y 22 px 上到點 A( a,0) 的距離最近的點為頂點的分界點，A(a,0) 在 D ( p,0) 左邊頂點到點 A( a,0) 的距離最近，右邊橫坐標為 ap 的那兩個拋物線上的點到點 A(a,0) 的距離最近 .三、 點 E(2 p,0) 處的結論A, B 是拋物線 y 22 px( p0) 上的兩點， OAOB ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則. x1 x24 p2 ，y1 y24p2 ；. 直線 AB 過定點 (2 p,

4、0) ； . 求 AB中點的軌跡方程；. 過 O向 AB引垂線，求垂足T 的軌跡方程； . 求AOB 面積的最小值 .結論： A(x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是拋物線 y 22 px( p 0)上的兩點， O為拋物線的頂點，（1）AOB 900直線 AB過點 E(2 p,0) .122122.（2） x x4 p， y y4 p四、 準線上的有關結論過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點A, B ，再以 A, B 為切點作拋物線的切線，其交點在拋物線的準線上，且兩切線垂直。 反過來， 準線上任意一點做拋物線的切線有兩條，且兩條切線垂直，兩切點連線過拋物線的焦點。1下面對上面的

5、結論做出證明。ABx1x2pp(tan22)p 2 p(11)2 p ）.一、焦點 F ( p ,0) 處的結論tan 2tan2sin 23、過焦點的直線與拋物線相交于A 、B 兩點， 分別過 A、B 兩點作準線的垂線， 垂足分別為 M 、21、焦半徑長： A( x1 , y1 ) ， F ( p ,0) ， | AF |x1p .N，MN 的中點為 G22（ 1）兩相切 ： 以焦半徑 AF為直徑的圓與 y 軸相切；證明：根據拋物線的定義 ,|AF|AM x1p .證明：焦半徑 AF的中點到 y 軸的距離為 ( 利用梯形中位線等于兩底和的一半 )211pAMAF( OFAA )AA )2、焦

6、點弦長： A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 在拋物線上，且 AB 過焦點 F ，則d(22( A 為 AM與 y 軸的交點 ) ，這就證明了222|AB|x1 x2 p ，或 | AB |2 p（為直線 l 與拋物線對稱軸的夾角） .圓心到 y 軸的距離等于直徑 AF的一半，所以以焦半徑AF為直徑的圓與 y 軸相切 .sin 2以焦點弦 AB為直徑的圓與拋物線的準線相切 .證明：根據焦半徑公式， | AF | x1p ， | BF |x2p .證明：焦點弦 AB的中點到拋物線的準線的距離為( 利用梯形中位線等于兩底和的一22半 ) d1(AM1(AFABABAFp) (

7、x2px2p .BN )BF )這就證明了圓心到準線的距離等于直BF ( x1) x122222徑 AB的一半，所以以焦點弦AB為直徑的圓與拋物線的準線相切 .根據拋物線的定義， | AF |AMpAF cos, 可得|AF |p.1cos| BF | BN pBF cos , 得 | BF |p.1cos|AB| AF BFp1p2p2 p .1 coscos1 cos2sin 2（或采用代數法通過聯立方程組求出，如下a) 直線 AB斜率不存在時，經檢驗符合結論 .b) 直線 AB斜率存在時，方程為 ytan ( xp ) ，由2p22ytan( x2 )消去 y 得 tan2x2p(tan

8、 22) xtan4p0y22 px得 x1x2p(tan 22) , x1 x2 p2.tan24（ 2）三直角 ： AGB900 MFN 900 GFAB證明：根據以焦點弦AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，設切點為G，則 G為 MN的中點， AGB900 . AM / FC / BN (C 為準線與對稱軸的交點 )AMFMFC ( 內錯角 ).又 AMAFAMFAFM ,AFMMFC .同理BFNNFC,得MFN900 .在 AMG 與 AFG 中，AM AF , AG AG, FGGM .AMG 與 AFG 全等，AFGAMF900 .（ 3）六定值 ： 焦點弦兩端點 A(x1, y1

9、) 、 B( x2 , y2 ) 的對應坐標的乘積是定值：x1 x2p2, y1 y2p 2 ， OA OB3 p2 .442證明：依據 2、焦點弦長的代數法推導過程可知， x1x2p 2.4因為 y122 px1 , y2 22 px2 ( y1 y20) 得 y1 y2p2 .所以 OA OB x1 x2y1 y23 p2 .4 AFm, BF n ，則 112 ，|GF |mn .mnp證明：特殊的，當AB垂直于對稱軸時，檢驗符合結論。當 AB不垂直于對稱軸時，以圖例，過 B做 AM的垂線 BR交 AM于 R,交 x 軸于 S，則BFS與 BAR相似，npn ，即 mnn2pmpnmnn

10、2 ，mn mnpmpn2mn ，兩邊同除以 pmn 得 112 .mnp在 Rt AGB 中， GFAB , 由射影定理， GF 2mn，所以 | GF |mn .SAOBp2.2sin證明：因為 | AB |2 p ，點 O到 AB的距離 dp sin .sin 22所以 S AOB1 dABp2.22sin二、點 D ( p,0) 處的結論例：拋物線 y 22 px 上的點到 A(a,0) 的最近距離是多少？解：設拋物線上任一點 P( x0 , y0 ) ，則 y022 px0 .PA22y022a 22 px0x02p x0a2 （ x00 ）.x0a0x0 2ax02 a此關于 x0

11、 二次函數對稱軸為 x0ap .（1） 當 x0a p0 即 a22a2 .p 時， PA minPAx00（2） 當 x0a p0 即 ap 時，22ap 22 ap 2a22app2 .PA minPAx0 ap綜上所述， D ( p,0) 是拋物線 y22 px 上到點 A(a,0) 的距離最近的點為頂點的分界點， A(a,0) 在 D ( p,0) 左邊時頂點 O到點 A( a,0)的距離最近，最近距離為 a ; A(a,0) 在D ( p,0) 右邊時橫坐標為 ap 的兩個拋物線上的點到點A(a,0) 的距離最近，最近距離為 2ap p2 .三、 點 E(2 p,0) 處的結論例：

12、A, B 是拋物線 y 22 px ( p0) 上的兩點， OAOB ， A(x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則. x1 x24 p2 ，y1 y24p2；. 直線 AB 過定點 (2 p,0) 。 . 求 AB中點的軌跡方程；. 過 O向 AB引垂線，求垂足 T 的軌跡方程。 . 求 AOB 面積的最小值 .22解： A, B 是拋物線 y 22 px( p0) 上的兩點，所以 A( y1, y1 ) ， B( y2, y2 ) ，2 p2 p22. OA OB ，得 OA OB0 ，即 y1 y2y1 y20 .y1 y20 y1 y24 p2 ；4 p2y12 y22

13、2x1x24 p 24 p. 當過 AB的直線與 x 軸垂直時，y12y22, y1y2y1y2 又 y1 y24 p2 .2 p2 p3y12 p ，AB的直線方程為 x2 p ，過 ( 2 p,0) .2xy12pyy1 ，化簡得當過 AB的直線與 x 軸不垂直時，由兩點式得22y2y1y2y12 p2 py2 py1 y22 p(x 2 p) .xy1 y2y1 y2y1y2所以上面直線恒過點(2 p,0) .綜上所述直線 AB 過定點 (2 p,0) .y12y22. 設 AB中點為 K(2 p2 py1y2) ，即點 K 的坐標的參數方程為2,2xy12y2222可化為 4 pxy1

14、4 py1y2消去 y1, y2 得 4 y 24 px 8 p 2 .yy22 yy1y22即 y 2p( x2 p)所以 AB中點的軌跡方程為 y2p( x2 p) . . 設 T 點坐標為 x, y，因為點 (2p,0) 在直線 AB上，T 點在直線 AB上，且 OTAB .得 OTAB0 得出 x, yx2 p, y0 ，化簡得 x22 px y20 .所以垂足 T 的軌跡方程為 x22 pxy20 . .12Py1 y2 ；AOB 面積為 S AOB2y1y2y1y22y1 (y2 )24 p24p（利用均值定理， 當且僅當 y1y2 時取等號，即當且僅當直線AB 與對稱軸垂直時取到

15、），此時AOB 面積的最小值為4 p2 .結論： A(x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是拋物線 y 22 px( p0) 上的兩點， O為拋物線的頂點，（1）AOB900直線 AB過點 E(2 p,0) ；（2） x1 x24 p2 ， y1 y24 p2 .對于結論中的已知直線AB 過點 E(2 p,0)AOB900 ，可以根據上面的結論x1 x24 p2 ， y1 y24 p2 ，利用數量積證明：因為直線AB過 點 E(2 p,0) ， 所 以 x1 x24 p 2 ， y1 y24 p2 ， 所 以OA OBx1 x2y1 y20 證得AOB900 .四、 準線上的有關

16、結論過拋物線的焦點 FP ,0 的直線交拋物線于兩點 A, B ，再以 A, B 為切點作拋物2線 y22 px 的切線，其交點在拋物線的準線xp 上，且兩切線垂直。 反過來，2準線 xp 上任意一點做拋物線 y22 px 的切線有兩條，且兩條切線垂2直，兩切點連線過拋物線的焦點P,0 .F2證明：拋物線 y 22 px 上的點 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 處的切線方程為：y1 yp( x x1 ) ,y2 y p( x x2 ) .兩切線的交點坐標為p x2 y1x1 y2, p x1x2即P , y1y2. 所以兩切線的交p y2y1y1y2224點坐標在直線

17、xp 上.答案：AC 1623兩切線斜率分別為 k1p ， k2p ，得 k1k2p pp2p21 .y1y2y1 y2y1 y2p2所以兩切線垂直 .反過來，設準線上的點坐標為P , y0 ，做兩條切線切點分別為A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) ，2那么以 A(x1 , y1 ) 為切點的 切線 為 y1 y p( xx1 ) ，以 B( x2 , y2 ) 為 切點 的切線為y2 y p( x x2 ) ，都過點P , y0，所以滿足y1 y0 p(px1) ，y2 y0p(px2 ) ，222也就是說點 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) 都在直線 y0 yp( xp ) 上，2過點 A, B 的直線有且只有一條，所以直線 AB 的方程為 y0 yp(xp ) ，該直