1、材料成形計算機模擬第二章材料成形計算機模擬-第二章主要內容 2-1 彈性力學的基本方程彈性力學的基本方程 2-2 彈性力學平面問題的有限元列式彈性力學平面問題的有限元列式 4節點矩形單元節點矩形單元 2-3 軸對稱問題軸對稱問題 2-4 三維問題三維問題單單 元元 分分 析析 的的 內內 容容節點位移(1)單元內部各點位移單元應變單元應力(2)(3)節點力(4)位移協調模式幾何方程物理方程平衡方程邊界條件單元分析單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2-2 彈性力學平面問題的彈性力學平面問題的有限元列式有限元列式 八、八、4節點矩形單元節點矩形單元 矩形單元采用比常應變三角形單元次數矩形單元采用比常應變三

2、角形單元次數更高的位移模式，故可以更好地反映彈更高的位移模式，故可以更好地反映彈性體中的位移狀態和應力狀態。性體中的位移狀態和應力狀態。 xyyxvxyyxu87654321該單元的位移模式該單元的位移模式這種單元的位移模式是完備的和協調的，滿足解的收斂條件，因此4節點矩形單元是協調單元。將4個節點的坐標和位移代入上式可求的18引入一個局部坐標系、，局部坐標的原點取在矩形的形心， 和軸分別與整體坐標軸x和y平行，其坐標變換的關系為00 xxayyb0123401234()/2()/2()/2()/2xxxxxyyyyy式中1 12233441 1223 344uN uN uN uN uvN v

3、N vN vN v用節點位移表示的單元位移模式可在此局部坐標系中表達為1234(1)(1)/4(1)(1)/4(1)(1)/4(1)(1)/4NNNN其中4個角點的自然坐標分別是（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1） 0000,(1,2,3,4)1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiiNieeeeCCuS uB單元應力為單元應變為eeLNuBu 4節點矩形單元的位移模式比常應變三角節點矩形單元的位移模式比常應變三角形單元中采用的線性模式增添了形單元中采用的線性模式增添了xy項，項，所以矩形單元內的應變分量、應力分量所以矩形單元內的應變分量、應力分量都不是常量，而是沿著都不是常

4、量，而是沿著x及及y方向呈線性方向呈線性變化。因此，在彈性體中采用相同數目變化。因此，在彈性體中采用相同數目節點時，矩形單元的精度要比常應變三節點時，矩形單元的精度要比常應變三角形單元高。角形單元高。 但是，矩形單元亦有明顯的缺點，一是不能適應斜交邊界和曲線邊界，二是不便于對不同部位采用不同大小的單元，因此直接應用受到限制。 2-3 軸對稱問題 許多機械零件和結構的幾何形狀、約束條件以及作用的載荷都對稱于某一對稱軸，在這種條件下的物體中的位移、應變和應力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱問題。 應力、應變都與無關，僅是坐標r和z的函數。沿方向的位移為0，因此軸對稱問題可作為二維問題處理。 對軸對

5、稱問題進行計算時，只需取出一個截面進行網格劃分和分析，但應注意到單元是圓環狀的，所有的結點載荷都應理解為作用在單元結點所在的圓周上。 本節主要以3節點三角形軸對稱環狀單元為例進行討論。它具有與平面三角形單元同樣的特點。 在軸對稱問題中，通常采用圓柱坐標（r，z）。以對稱軸作為z軸，所有應力、應變和位移都與方向無關，只是r和z的函數。任一點的位移只有兩個方向的分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的位移w。由于軸對稱，方向的位移v等于零，因此軸對稱問題是二維問題。 離散軸對稱物體時，采用的單元是一些圓環，各單元在rz平面內形成網格。 一、3節點三角形軸對稱單元的插值函數及應力應變矩陣（一）形函數

6、（一）形函數 子午面內的環單元與前面討論過的平面問題3節點三角形是一樣的，它們的形函數也完全一樣。形函數是用單元位移分量來描述位移函數的插值函數。形函數是用單元位移分量來描述位移函數的插值函數。i ijjm mi ijjm muNuNuN uvNvN vN v1()2iiiiNabx cyA(, , )i j m其中 （二）單元應變和應力（二）單元應變和應力 將位移插值函數代入軸對稱問題的幾何方程，得到單元應變：(2)()()TTeerzrzrzijmuuuwuBuBBBurzrzr其中001( , ,)02iiiiiibci j mfAcbB( , ,)iiiiac zfbi j mrr由上

7、式可見，應變分量r、z、rz都是常量，環向應變不是常量。單元應力： ()()TeeeeerzrzijmCC BuSuSSSu101110(1)1(1)(1 2 )101 22(1)eEC對稱軸對稱問題的彈性矩陣為由于不是常量，所以單元中除切應力rz外其它應力分量也不是常量。 二、3節點軸對稱單元的單元剛度矩陣和等效節點載荷eeepTeeTTTcVVSB C BdVuN bdVN pdSN PeTeeVB C BdVKeTebVN bdVP令epTesSN pdSPTeccN PPeeeebscPPPP將軸對稱問題的N、B、Ce和dV=rddrdz代入上式，即可求得軸對稱單元的單元剛度矩陣和等效

8、節點載荷 為了簡化計算和消除在軸對稱上r0對積分所帶來的麻煩，將積分式中的自變量r、z用單元截面形心處的坐標來近似。)(31)(31mjimjizzzzzrrrrr),(mjirzcbraffiiiii這樣(3-56)就近似為 作了這樣的近似后，應變矩陣B和應力矩陣S都成了常量陣，簡化了計算。 在軸對稱問題中，對于單元剛度矩陣和等效節點載荷向量采用上述近似積分方法，就位移和應力而言，其精度是能夠滿足工程計算要求的。 2-4 三維問題 一、常應變四面體單元 二、六面體單元 一、常應變四面體單元 （一）位移函數（一）位移函數 四面體單元以4個角點為節點。每個節點有3個自由度，一個單元共有12個自由

9、度。()()TeeijmluuvwNuININININ u其中I為三階單位矩陣。 ()eTiiijjjmmmllluuvwuvwuvwuvw1()6iiiiiNab xc yd zV( , , )i j m l123456789101112uxyzvxyzwxyz位移函數為整理后可得111( , , )111111jjjimmmllljjimmlljjimmlljjimmllxyzaxyzxyzyzbyzyzi j m lyzcyzyzyzdyzyz V是四面體ijml的體積。為了使四面體的體積不為負值，單元節點編號 必須依照一定的順序。, ,i j m l111161iiijjjmmmlll

10、xyzxyzVxyzxyz設P(x，y，z)為四面體中任一點，記四面體jmlP的體積為Vi，則 111161jjjimmmlllxyzxyzVxyzxyz上式按第4列展開得1()6iiiiiVab xc yd z 定義四面體單元中節點i的體積坐標為 iiVLV1()6iiiiiiiVLab xc yd zNVV與3節點三角形單元的面積坐標相對應,這里形函數,ijmlN NNN即是四面體單元的體積坐標。ijjjjijjjizyxNzyxL),(),(由體積坐標定義可知又因1jimlijmlVVVVLLLLVVVVijmlVVVVV由于位移函數是線性的，相鄰單元交界面上的位移由該界面上三個節點位移

11、所決定，因此是連續的，所以常應變四邊形單元是協調元。 （二）應變矩陣和應力矩陣（二）應變矩陣和應力矩陣 將三維問題的應變分量寫成向量的形式為將三維問題的應變分量寫成向量的形式為(222)()()TTxyzxyyzzxeeijmluvwuvvwwuxyzyxzyxzBuBBBB u式中00010006000rrrTrrrrrrrbcdBcbdVdcb應變矩陣Br的元素均為常數,故四面體單元是一種常應變單元。 單元應力為eeeeCC BuSu平面應變問題和軸對稱問題的彈性矩陣與三維問題彈性矩陣的對應元素是相同。100011100011000(1)1 200(1)(1 2 )2(1)1 202(1)1 22(1)eEC對稱 （三）單元剛度矩陣和等效節點載荷（三）單元剛度矩陣和等效節點載荷 四面體單元的剛度矩陣和等效節點載荷可利用式（3-31）求得，對于三維問題，dV=dxdydz。其中應變矩陣B B為常數矩陣，可提到積分號外。 四面體單元優點：1）適應多種復雜邊界形狀；2）容易實現網格密度的變化；3）有利于對不規則三維空間進行全自動網格剖分。因此得到廣泛應用。 缺點：四面體的拼合較復雜，劃分時容易出錯，不容易直觀地理解。二、六面體單元二、六面體單元 8節點六面體單元，每個節點有3個自由度，一個單元共有24個自由度。插值多項式中包括如下各項： 以