1、1 / 9學而思小學奧數知識點梳理學而思教材編寫組 侍春雷.、八、一前言小學奧數知識點梳理，對于學而思的小學奧數大綱建設尤其必要，不過，對于知識點 的概括很可能出現以偏概全掛一漏萬的現象，為此，本人參考了單尊主編的小學數學奧 林匹克、中國少年報社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓指南以及學而思的寒 假班系列教材和華羅庚學校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構 建十七塊體系(其第十七為解題方法匯集，可補充相應雜題)，原則上簡明扼要，努力刻 畫小學奧數知識的主樹干。概述一、計算1 四則混合運算繁分數 運算順序 分數、小數混合運算技巧一般而言：1加減運算中，能化成有限小數的統一以小數形式；

2、2乘除運算中，統一以分數形式。帶分數與假分數的互化繁分數的化簡2 簡便計算湊整思想基準數思想裂項與拆分提取公因數商不變性質改變運算順序 運算定律的綜合運用 連減的性質 連除的性質 同級運算移項的性質 增減括號的性質 變式提取公因數形如：a1b a2b . anb(a1a2 . an)b3 估算 求某式的整數部分：擴縮法4 比較大小1通分a.通分母2 / 91323a2b2a b a b二、數論1.奇偶性問題奇奇=偶奇偶=奇偶偶=偶2.位值原則形如：abc=100a+10b+c3.數的整除特征:整除數特征2:末尾是0、2、4、6、83各數位上數字的和是3的倍數5末尾是0或59:各數位上數字的和是

3、9的倍數11奇數位上數字的和與偶數位上數字的和，兩者之差是11的倍數4和25末兩位數是4（或25）的倍數8和125末三位數是8（或125）的倍數7、11、13:末三位數與前幾位數的差是7（或11或13）的倍數4.整除性質1如果c|a、c|b，那么c|（a b）。2如果bc|a，那么b|a,c|a。3如果b|a,。國，且(b,c)=1,那么bc|a。4如果c|b,b|a,那么c|a.1 1右 一1，則cba.。形如：m1m2a bcn2b.通分子2跟“中介”比3利用倒數性質m3m3，則一1m1匹m2m35.定義新運算6.特殊數列求和運用相關公式:11 2 3 n21222ann n 1n n 1

4、22n n 1 2n 1 n62n nabcabc abc 1001abc 7 11 13n2n1+2+3+4n-1)+n+(n-1)2+4+3+2+1=n3 / 95a個連續自然數中必恰有一個數能被a整除。5 帶余除法一般地，如果a是整數，b是整數(b豐0),那么一定有另外兩個整數q和r,0rvb,使得a=bxq+r當r=0時，我們稱a能被b整除。當r豐0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數除式又可以表示為a十b=q.r, 0rvb a=bxq+r6.唯一分解定理任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即n= p1a1xp2a2

5、x.xpkak7.約數個數與約數和定理設自然數n的質因子分解式如n= pla1xp2a2x.xpkak那么：n的約數個數：d( n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)2a12a22akn的所有約數口：(1+P1+P1 +p1)(1+P2+P2 +p2)(1+Pk+Pk +pk)8.同余定理1同余定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的余數，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為a=b(mod m)2若兩個數a，b除以同一個數c得到的余數相同，則a，b的差一定能被c整 除。3兩數的和除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數和。4兩數的差除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數差。5兩數的

6、積除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數積。9完全平方數性質1平方差：A2-B2=(A+B)(A-B)，其中我們還得注意A+B A-B同奇偶性。2約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。約數個數為3的是質數的平方。3質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。4平方和。10孫子定理(中國剩余定理)11輾轉相除法12數論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構造、配對、估計三、幾何圖形1 平面圖形多邊形的內角和N邊形的內角和=(N-2)x1804 / 9等積變形（位移、割補）1三角形內等底等高的三角形2平行線內等底等高的三角形Si:S2=S4:S3或者SiXS3=S2XS4相似三角形性質（份數、比例

7、）1bCA；SI：S2=a2:AA BCHSABGA SABGC= SAAGF SAGFG= AF:FC;SAAGC SABCG= SAADG SADGB= AD DB差不變原理知5-2=3，則圓點比方點多3。3公共部分的傳遞性4極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關系SAABGSAAGC= SABGESAGEG=BE:EC燕尾定理A5 / 9隱含條件的等價代換 例如弦圖中長短邊長的關系。組合圖形的思考方法 化整為零2先補后去3正反結合2 立體圖形規則立體圖形的表面積和體積公式不規則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物2測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展

8、開圖最短線路與展開圖形狀問題染色問題幾面染色的塊數與“芯”、棱長、頂點、面數的關系。四、典型應用題1 植樹問題開放型與封閉型間隔與株數的關系2 方陣問題外層邊長數-2=內層邊長數（外層邊長數-1）x4=外周長數外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數3 列車過橋問題1車長+橋長=速度X時間2車長甲+車長乙=速度和X相遇時間3車長甲+車長乙=速度差X追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長=速度和X相遇時間車長=速度差X追及時間4 年齡問題差不變原理5 雞兔同籠假設法的解題思想6 牛吃草問題原有草量=（牛吃速度-草長速度）X時間7 平均數問題8 盈虧問題6 / 9分析差量關系

9、9和差問題10和倍問題11差倍問題12逆推問題還原法，從結果入手13代換問題列表消元法 等價條件代換五、行程問題1 相遇問題路程和=速度和X相遇時間2 追及問題路程差=速度差X追及時間3 流水行船順水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（順水速度+逆水速度）十2水速=（順水速度-逆水速度）十24 多次相遇線型路程：甲乙共行全程數=相遇次數X2-1環型路程： 甲乙共行全程數=相遇次數 其中甲共行路程=單在單個全程所行路程X共行全程數5 環形跑道6 行程問題中正反比例關系的應用 路程一定，速度和時間成反比。 速度一定，路程和時間成正比。 時間一定，路程和速度成正比。7 鐘面上的追及問題。

10、1時針和分針成直線；2時針和分針成直角。8 結合分數、工程、和差問題的一些類型。9 行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、計數問題1 加法原理：分類枚舉2 乘法原理：排列組合3 容斥原理：1總數量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC2常用：總數量=A+B-AB4 抽屜原理：7 / 9至多至少問題5.握手問題在圖形計數中應用廣泛1角、線段、三角形，2長方形、梯形、平行四邊形3正方形七、分數問題1.量率對應2.以不變量為“1”3.利潤問題4.濃度問題倒三角原理95%6Q%2(1:15例：4-35.工程問題1合作問題2水池進出水問題6.按比例分配八、方程解題1.等量關系1相

11、關聯量的表示法例： 甲+乙=100甲十乙=3x 100-x3x x2解方程技巧恒等變形2.二元一次方程組的求解代入法、消元法3.不定方程的分析求解以系數大者為試值角度4.不等方程的分析求解九、找規律周期性問題1年月日、星期幾問題8 / 92余數的應用9 / 9數列問題1等差數列通項公式an=ai+( n-1)d求項數：n=anai1d求和：S=(aian)n22等比數列求和：S=q(q1) q i3裴波那契數列策略問題1搶報302放硬幣最值問題1最短線路a.一個字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數2最優化問題a.統籌方法b烙餅問題十、算式謎1.填充型2.替代型3. 填運算符號4. 橫式變豎式5. 結合數論知識點十一、數陣問題1.相等和值問題2.數列分組知行列數，求某數知某數，求行列數3.幻方奇階幻方問題：楊輝法羅伯法偶階幻方問題：雙偶階：對稱交換法單偶階：同心方陣法10 / 9十二、二進制1.二進制計數法二進制位值原則二進制數與十進制數的互相轉化二進制的運算2.其它進制（十六進制）十三、一筆畫1.一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有0個或兩個奇點；兩個奇點進必須從一個奇點進，另一個奇點出；2.哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈宀竹一亠奇點數3.多筆畫定理 筆畫數=2十四、邏輯推理1.等價條件的轉換2.列表法3.對陣圖競賽問題，涉及體育比賽常識十五、火柴棒問題1