1、可測函數與連續函數實變大作業2011/4/27可測函數與連續函數【摘要】：主要介紹幾乎可測函數的定義與性質，及幾乎處處有限的可測函數與連續函數的關系。由于連續函數不是本章所學的內容，故不對其介紹?！娟P鍵詞】：可測函數、連續函數、關系這一章中主要學習了可測函數，這是一類新的函數，所以搞清它的性質及其與其它函數之間的關第是十分重要與必要的。特別是我們十分熟悉的函數之間的關系。一、基本概念1、幾乎處處：給定一個可測集E,假如存在E的一個子集？，？?（?？?）=0,且使得性質P在？?上處處成立，則稱性質P在E上幾乎處處成立。2、可測函數：設？?？是Lebesgue可測集，？是？也的實值函數。假如對于任

2、意實數？?>?=?£?>?都是可測集，則稱？是？左的Lebesgue可測函數（簡稱？是？左的可測函數）。3、幾乎處處有限的可測函數：設？?？是Lebesgue可測集，給定一個可測集E,存在E的一個子集？，?（?1）=0，?在?1上有限，假如對于任意實數?>?=?£?>?都是可測集，則稱？是？也幾乎處處有限的的Lebesgue可測函數4、連續函數：設？?？，？是定義于？?勺函數，？?C?假如lim?,?=?則稱？沿D在？連續；假如？沿D內任意一點都連續，則稱?帶D連續。5、預備定理、引理定理2.2設f是一個緊集，fnn2是一列沿F連續的函數。若fn在F

3、上一致收斂于f,則f也沿F連續。定理2.3(Egoroff)設f和fn(n>1)都是測度有限的集D上的幾乎處處有限的可測函數。若fn在D上幾乎處處收斂于f,則對任何£>0,有D的閉子集F,使m(D-F)<e,并且fn在F上一致收斂于f。引理2.1設F是R中的閉集，函數f沿F連續，則f可以開拓成R上的連續函數f?,并且sup|f?(x)|=sup|f(x)|。x£Rx£R引理2.2設f是可測集D上的簡單函數。則對任何£>0,有沿D連續的函數f?使m(fwf?)<£0二、可測函數和連續的關系1、連續函數的可測性定理1可

4、測集上的連續函數都是可測函數。證明：對任意aR,設xE(f>?,則由連續性假設，存在x的某鄰域U(x),使U(x)PE?E(f>?。因此，令6=?x£E(f>?)U(x),則：GAE=?U(x)nE=?U(x)n(f>?)xE(f>?)xE(f>?)反之,顯然有E(f>?G,因此：?>?n?>?n?B/fII從而：?>?=?n?>?但g是開集(因為它是一族開集這并)，而e為可測集，故其交？?n?仍為可測集，即?(?>?)?為可測集，由定義知：f(x)是可測函數。但可測函數不一定連續例例：可測函數Dirichlit

5、函數在0,1上處處間斷2、用連續函數逼近可測函數，可測函數的連續性引理1:設F是R中的閉集，函數f沒F連續，則f可以開拓成R的連續函數f?,并且：sup|f?(x)|=sup|f(x)|xRxR證明：此時Fc=?(an,bn)是開集，其中開區間族(an,bn)兩兩不相交。今定義f(x),若x6Ff?(x)=線性，若x6an，bn,且an，bn有界f(an),若x6an,bn),其中bn=8f(bn),若X6(an,bn,其中an=-°°則顯然f?(x)是R上的連續函數，它是f的開拓。引理得證。引理2:設f是可測集D上的簡單函數。則對任何£>0,有沒D的連續的

6、函數f?使m(E(fwf?)<&證明：不妨設f(D)=ajivkv,其中ak都是實數且兩兩不同。令Ek=E(f=ak),則Ekivkv網兩不相交且D=?n=1Ek.現對每一k,令Fk是Ek的閉子集且m(Ek-Fk)<；,k=1,2，,n.此時易知f沿閉集F=?n=iEk連續。由引理1,f作為F上的函數可以開拓成沿D連續的函數f?,此時nnm(E(f")<m(D-F)=m(?Ek-?Fk)k=1k=1nn<m(?(Ek-Fk)m(Ek-Fk)<?k=1k=1引理證畢。定理1(Lusin)設？的可測集？?h幾乎處處有限的可測函數，則對任意的?>

7、0,有沿？?1續的函數？?使?(?上?)<?并且max?cf?(x)|<sup?£?f(x)|。(去掉一個小測度集，在留下的集合上連續)證明：不失一般性設f在D上處處有限。先設皿有限可測集。由定理2.3,有D上的簡單函數列fn,使fn(x)一f(x)(xCD)?，F對每一n>1,由引理2.2,存在沿D連續的函數f?,使m(f")<舟，n=1,2,-令E=?n=1fn-fn?,則m(E)<2并且在D-E上fn?(x)一f(x)0由于D有界，所以存在D-E的有界閉子集F，使得f?在F上一致收斂于f并且m(D-E-F)<2o再由定理2.2,f沿F

8、連續.這樣由引理2.1,f作為F上的函數可以開拓成沿D連續的函數f?。止匕時m(fwf?)<m(D-F)<&這樣我們在D有界的條件下證明了定理。對一般的D?R,此時對每一整數n,令Dn=DAn,n+1),n=0,±1,±2；則Dn都是有界的。從而由上段證明，對每一n,存在Dn的閉子集Fn,使f沿Fn連續，并且£m(Dn-Fn)<21n+r,n=0,±1,±2,此時F=?；ooFn是閉集，并且f沿F連續。由引理2.1,f作為F上的函數可以開拓成D上的連續的函數f?,并且m(fwf?)<m(D-F)=m(UDn-UF

9、n)<m(U(Dn-Fn)<£m(Dn-Fn)n=-°°£0021n|+1<&有?h連定理證畢。推論若?！?上幾乎處處有限的可測函數，則對任何？0,續函數？，使？?(?w?)<?并且max|f?(x)|&sup|f(x)|。定理2設E為可測集，f為E上的實函數，如果對任何？?>0,存在閉集？?？?使f在？?h連續，且?；?<?則？先？也可測。定理3設E為R上的可測集，f是E上幾乎處處有限的可測函數，則對任何2?0,存在閉集？?？及心的連續函數？，使(1) 在？?t?；?=?。(2) ?；?<?如果

10、在E上|?|W?,還可要求|?7?|<?.證明：由定理1,有閉集？?？使？?(？?？<?而?是？?t的連續函數,因此問題在于擴張？江的？?,使其在整個空間上連續。?是有界閉集，因此是從一閉區間?,?(?,?)中去掉有限個或可數多個互不相交的開區間而成，設這些開區間是(?,?)?，現在我們定義一個函數?(?)，使0,當？C?或?/>?時?(?)?=f(x)，當x6F時止匕外，當？?e(?時，令？?的圖形是聯(?鈔)，(?)的直線，當?e(?及(?時，分別聯(?0),(?)及(？?0),(?力的直線，于是?是整個直線上的連續函數，且滿足定理的各項要求。三、小結一方面，可測集上的連續函數是可測的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可測函數可以用連續函數逼近?？蓽y集