1、一輪復習知識點精編集合知識要點試題1、集合的根本概念集合某些指定的對象成為一個集合。集合中的每個叫做這個集合的元素。一些常見的數集 全體非負整數的集合非負整數集或自然數集記作 非負整數集內排除0的集正整數集,表示成或 全體整數的集合-一整數集記作 全體有理數的集合-一有理數集記作 全體實數的集合-一實數集記作 全體復數的集合-復數集記作注意：1自然數集含有0;2整數集、有理數、實數集內排除 0的集合分別表示為：或、或、 或。集合與元素的關系 如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a A ； 如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A ,記作aA。注意：“ 、“ 只能用在元素與集合之間。集

2、合元素的特性集合的分類有限集一一含有有限個元素的集合。無限集含有無限個元素的集合。特別地，不含任何元素的集合叫做 ，記作。集合的表示法 列舉法把集合中的元素一一列舉出來的方法。如x1 , x2，xn或xi,i 1。 描述法：有時也可寫成 x : px x ； px 文氏圖又叫韋恩圖： 區間表示法 注意：區分“ a與“ a。對于列舉法中用“表示的集 合，應按次序排列。 代表元素不是一定要用x，還可用如：y、t、u、v、x,y、x,y,z等來表示。定義符號表示或數學表達式性質集合與集合的關系子集 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說集合A是集合B的子集。A B或(B A) ? A特別地

3、？ A A 假設A_ B,BC,那么A? Co相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集 合A的元素.A=B? A B,B A如果A B,同時B A，那么A =B。真子集：如果A B,并且A B,我們就說集合A是集合B的真子集。記作A B 假設A工那么有A o 如果AB,BC, 那么A? C運算全集與補集設S是一個集合，A是S的一個子集即A S，由S中所有不屬于A的元素組成 的集合，叫做S中子集A的補集或余集。如果集合S含有我們所要研究的各個 集合的全部元素，這個集合就可以看作一。個全集。CjA=x| x S,x A Cj U= C j= Cj (CjA)=

4、(CjA) n A= (CjA) J A= ) =(C jA ) J (Cj B) )=(C jA ) n (Cj B)交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集。A n B=x| x A,且 x B a n a= a n= a n b= A n B A，A n B B A n B=A 那么 A B并集由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做 A與B的并集。A J B=x| x _ A,或 x_ B A J A= A U= A U B= A A U B , B A U B A U B=B 那么 A B2、集合與集合的關系說明：“,只能用在與集合之間。“，等

5、只能用在與集合之間。一般地，假設一個集合有 n個元素，那么它有 _個子集，個真子集。個非空子集個非空真子集一般地，對任意兩個有限集合 A,B,有card(A U B)=對映射的概念了解嗎？映射f: A B，一對一，多對一，允許B中有元素無原象。 注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，那么從A到 B的映射個數有nm個。函數 的圖象與直線 交點的個數為個。8. 函數的三要素相同函數的判斷方法：(兩點必須同時具備)9. 求函數的定義域常見類型？函數定義域求法：分式中的不為零；偶次方根下的數或式零；指數式的底數；對數式的底數真數零。正切函數余切函數 實際問題有意義當以上幾個方面

6、有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。10. 復合函數的定義域 復合函數定義域的求法： f(x)的定義域為D，求f(h(x)的定義域，可由h(x) D解出x的范圍， 即為f(h(x)的定義域。 f(h(x)的定義域為D，求f(x)的定義域，求得(h(x)的值域，解即為f(x)的 定義域。 f(h(x)的定義域為D，求f(gx)的定義域，先求h(x)值域E由g(x) E解出x的范圍，即為fgx的定義域 2求函數的解析式的主要方法有：1湊配法2待定系數法3換元法4消元法函數值域的求法1、直接觀察法對于一些比擬簡單的函數，其值域可通過

7、觀察得到。例求函數y=x的值域2、配方法配方法是求二次函數值域最根本的方法之一。3、判別式法對二次函數或者分式函數分子或分母中有一個是二次 都可通用，但這類題型有 時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂5、函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我 們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。6、函數單調性法通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容7、換元法通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三 角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一， 在求

8、函數的值域中同 樣發揮作用。8數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等， 這類題目假設運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。9、不等式法利用根本不等式a+b>，a, b，求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添 項和兩邊平方等技巧。10、別離常數法適用于題型11導數法證明函數的單調性判斷函數單調性的方法有三種：(1) 定義法:根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系 步驟：也可以變形為求的正負號或者與1的關系(2) 參照圖象： 假設函數f(x)

9、的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間具有相同的單調性；特例：奇函數 假設函數f(x)的圖象關于直線x二a對稱，貝U函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間 里具有相反的單調性。特例：偶函數(3) 利用單調函數的性質： 函數f(x)與f(x) + c(c是常數)是同增同減的 當c> 0時函數f(x)與cf(x)(c是常數)，它們的單調性是 ；相同，相反當CV 0時，它們的單調性是 。相同，相反 如果函數fl(x)，f2(x)單調性相同，那么函數fl(x) + f2(x)和的單調性函數相加 如果正值函數fl(x) , f2(x)單調性相同，貝U函數fl(x)f

10、2(x)和它們的單調性 ； 如果負值函數fl(2)與f2(x)單調性相同，那么函數fl(x)f2(x)和它們的單調性；函數相乘 函數f(x)與在f(x)的同號區間里單調性相反。 假設函數 u=© (x)，x a， B 與函數 y= F(u)，u © ( a )， © (B )或 u © ( p ), © (a )同向變化，那么在a，B 上復合函數y= F © (x)是遞增的；假設函數u=© (x),x a，B 與函數 y= F(u)，u © ( a )，© (B )或 u © (B )，

11、9; (a )反向變化， 那么在a，B 上復合函數y = F © (x)是遞減的。同增異減f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數增增增增增增減減減增減減減增減減如何利用導數判斷函數的單調性 ？奇偶性注意如下結論：1在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數; 一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。判斷函數奇偶性的方法首先判斷定義域是否關于遠點對稱一個函數是奇偶函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇偶函數的 必要條件假設函數的定義域不關于原點對稱，那么函數為非奇非偶函數一.奇偶函數定義法在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算

12、，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性二和差法.奇函數做和偶函數做差三做商法f(x)與f(-x)做商與 或 比擬 三、復合函數奇偶性f(g )g(x) fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶周期函數f(a+x)=f(a-x)貝U f(x)關于直線 對稱f(2a+x)=f(-x)那么f(x)關于直線對稱f(a+x)=f(b-x)那么f(x)關于直線對稱f(a+x)=-f(a-x)貝U f(x)關于點 對稱f(2a+x)= -f(-x)那么 f(x)關于點 對稱f(2a+x)=-f(-x)+2b 那么 f(x)關于點對稱f(x)關于直線

13、x=a和直線x=b對稱那么是f(x)的一個周期f(x)關于點a,0和點b,0對稱那么是f(x)的一個周期f(x)關于直線x=b和點(b,0)對稱 那么是f(x)的一個周期4. 兩個函數圖象的對稱性 函數f(x)與函數f(-x)的圖象關于直線 (即軸)對稱.(2) 函數f(x)與函數-f(x)的圖象關于直線(即軸)對稱. 函數f(x)與函數-f(-x)的圖象關于點 (即)對稱(4) 函數y=ax和y=logax的圖象關于直線對稱.6.幾個常見的函數方程(1) 正比例函數,.(2) 指數函數,.(3) 對數函數,.(4) 幕函數 ,.(5) 余弦函數，正弦函數指數函數與對數函數知識點總結一指數與指

14、數幕的運算1. 根式的概念：一般地，如果xn a ,那么蘭叫做亙的n_次方根, 其中0，且n±n*.負數沒有偶次方根；_0的任何次方根都是_0,記作no 0。當n是數時，nd a，當n是 數時，nan |a|a (a 0)a (a 0)2 分數指數幕正數的分數指數幕的意義，規定：man x am (a 0, m, n N* ,n 1)*=(a 0, m,n N ,n 1)n f m* a0的正分數指數幕等于0, 0的負分數指數幕沒有意義3實數指數幕的運算性質rrr s0, r,s R);1a a ar srs2(a ) a(a(a0,r,sR)；3(ab)r aras(a0,r,sR

15、).二指數函數及其性質1、 指數函數的概念：一般地，函數y ax(a 0,且a 1)叫做 指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.2、指數函數的圖象和性質a>10<a<11一f11-定義域R定義域R值域y > 0值域y > 0在R上單調遞( )在R上單調遞()非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點函數圖象都過 定點注意：禾I用函數的單調性，結合圖象還可以看出：1在a , b上，f(x) ax(a 0且a 1)值域是f (a),f (b)或2丨假設x 0，那么f(x) 1 ; f(x)取遍所有正數當且僅當

16、x R ;3對于指數函數f(x) ax(a 0且a 1)，總有f(1) a ;f(x) ax(a 0且a 1)與f(x)=(1/a) x圖像關于_軸對稱5f(x) ax (a 0且a 1)的底數在一二象限 增大乙對數函數一對數1.對數的概念：一般地，如果ax N (a 0,a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：x loga N a 底數，N 真 數，loga N 對數式說明：。注意底數的限制; ax Nloga N x;注意對數的書寫格式.loga N兩個重要對數：常用對數：以10為底的對數;自然對數：以無理數e 2.71828 為底的對數的對數In N . 指數式與對數式的互化幕值 真

17、數ab = N loga N = b底數指數對數二對數的運算性質如果a 0，且a 1 , M 0, loga(M N) loga MN loga M n n7(n注意：換底公式,log c b loga blogcaa 0，且a利用換底公式推導下面的結論1log am bnn , log a b ;m2二對數函數1、對數函數的概念：函數yN 0,那么：R) 1; c 0 ,且 c 1 ； b 0.1loga blog baloga x(a 0，且 a 1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是0, + X. 注意：。對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意區分。如：y 2log2

18、x，y log 5都不是對數函數，而5只能稱其為對數型函數.對數函數對底數的限制：(a 0,且a 1).2、對數函數的性質：a>10<a<1亠-2.1 十'111二，0-T 1:、r:定義域值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都 過 定 點 函數圖象都過定點注意：禾I用函數的單調性，結合圖象還可以看出：1在a， b 上, y loga x(a 0值域是f(a), f(b)或f(b),f(a)；2對于指數函數y log a x(a 0，總有f(a)= f(1)=；(3) y loga x(a 0與f(x)=圖像關于x軸對稱4y loga x(a 0的底數在一四象

19、限 增大5y loga x(a 0丨與f(x) ax(a 0且a 1)互為反函數關于 直線對稱1) 將y=f(x)看成方程，解出x=f-1(y)2) 將 x,y 互換，得 y=f-1(x)3) 寫出反函數定義域，即原函數值域幕函數性質歸納.1所有的幕函數在0 , + %都有定義并且圖象都過點1 , 1；20時，幕函數的圖象通過原點，并且在區間0,)上是增函數特別地，當 1時，幕函數的圖象下凸；當01時，幕函數的圖象上凸；30時，幕函數的圖象在區間(0,)上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在 y軸右方無限 地逼近y軸正半軸，當x趨于 時，圖象在x軸上方無限地 逼近x軸正半軸.4

20、令指數為p/q ，p,q是奇數是時，幕函數為奇函數。p 是偶數q是奇數時幕函數是偶函數。q是偶數時，幕函數是 非奇非偶函數第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的 x叫做函數y f (x)(x D)的零點。2、 函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數y f (x)的圖象與x軸交點的。即：方程f (x) 0有實數根函數y f (x)的圖象與x軸有交點 函數y f (x)有.3、函數零點的求法：。代數法求方程f(x) 0的實數根；©幾何法對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y f (x)的圖象聯

21、系起來，并利用函數的性質找出零點.4、二次函數的零點：二次函數 y ax2 bx c(a 0).1 0,方程ax2 bx c 0有兩不等實根，二次函數 的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.2厶=0，方程ax2 bx c 0有兩相等實根，二次函數 的圖象與x軸有_個交點，二次函數有一個二重零點或二階 零點3亠0，方程ax2 bx c 0無實根，二次函數的圖象與 x軸無交點，二次函數無零點.5. 函數的模型高中數學函數的圖象變換1、對稱變換yf(x) yf( x)，關于丫軸對稱與偶函數聯系起來記憶7yf(x) yf( x)，關于坐標原點對稱與奇函數聯系起來記憶；yf(x) yf(x)，關于

22、X軸對稱；yf(x) yf(x)利用y o作圖，保存圖像，將x軸下方的圖象上翻。yf(x) yf(x)利用偶函數作圖，保存圖象，并作它關于y軸對稱的2、平移變換 yf(x) y f (x a),(a 0)向左或向右平移a個單位左“ + 右“一； yf (x) y f (x) b,(b 0)向上或向下平移b個單位上“ + 下“丨；4、幾個結論： 假設函數y f(x)是偶函數f (x) f( x) f(x a) f( x a) f(x)關于直線x = 0對稱； 假設函數y f (x a)是偶函數f (x a) f( x a) f(x)關于直線x= a對稱 函數y f (x a)關于直線x= 0對稱

23、2. 導數的幾何意義函數y=fx在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=fx在點px0, fx0處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=fx在點pxo, fxo處的切線的斜率是 f ' x 0。相應地，切線方程為y y0=f，x0x-x0二、導數的運算1. 根本函數的導數公式： C 0;C為常數 xnnxn1; (sin x)cosx; (cos x) si nx; (ex) ex; (ax)axl na;1 In x 丄；x1 loga x -logae.x2. 導數的運算法那么法那么1:兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)，即：(u v) u v.法那么2:兩個函數

24、的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個 函數乘以第二個函數的導數，即：(uv)' u'v uv'.假設C為常數,那么(Cu)' C'u Cu' 0 Cu' Cu.即常數與函數的積的導數等于 常數乘以函數的導數：(Cu)' Cu.法那么3:兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分 子的積，再除以分母的平方：u U，v 2UV，v 0。vv3. 復合函數的導數形如y=f (x)的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解 > 求導 > 回代。法那么：yz I x = y7 I u

25、uz | x 或者 f (x) f()*(x).三、導數的應用1. 函數的單調性與導數1設函數y f(x)在某個區間a, b可導，如果f，(x) 0，那么f(x)在此區間上為增函數；如果f'(x)0，貝U f (x)在此區間上為減函數。2如果在某區間內 恒有f (x)0，那么f (x)為常數。2 極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導數為0;曲線在極大值點左側切線 的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；3. 最值：在區間a , b上連續的函數f (x)在a , b上必有最大值與最小值。但在開區間a， b內連續函數fx不一定有最大值，例如f (

26、x) x3,x ( 1,1)1函數的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區間上所有 函數值中的最大值，最小值必須在整個區間上所有函數值中的最小值。2函數的最大值、最小值是比擬整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值 是比擬極值點附件的函數值得出來的。函數的極值可以有多有少，但最值只有一個， 極值只能在區間內取得，最值那么可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的 未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。三角函數公式總結一、誘導公式1. sin(180 ° a=,cos(180 °+ a)=2. sin ( a+k 360)= , cos(

27、a+k 360)= , tan ( a+k 360)=3. sin(- a=,cos(-a)= 4*. tan(180 ° a)=, tan(- a)=-tan a5. sin (180 ° a)=sin a,cos(180 ° a=6. sin(360 0- a)=-sin acos(360 ° a)=7. sin(冗/2- a)=cos acos( n/2- oc)=8*. Sin(3 tt/2- a)=-cos acos(3 tt/2- a)=9*. Sin( tt/2+ a)=cos acos( n2+a)=10*.sin(3 冗/2+ a)=-cos acos(3 tt/2+ a=記憶口訣奇變偶不變，符號看象限二、兩角和與差的三角函數1. 兩點距離公式P1 P2(x2 X1 )2 (y2 y1 )22. S( a+ ®： sin( a+ B)=C(a+ B)