1、word迎風型WENO格式考慮一維標量雙曲守恒型方程s。它的半離散守恒型格式如下(1)其中L是空間離散算子。下面我們將通量進行矢通量分裂為：(2)在此的分裂規那么是：，可以采用多種分裂形式，例如采用簡單的Lax-Friedrichs分裂格式：那么有(3)對于時間項，我們可以使用Runge-Kutta法來提高精度。三階TVD型Runge-Kutta法簡寫為RK-3為：四階非TVD型Runge-Kutta法簡寫為RK-4為：下面我們假定，討論的計算，并且略去上標“+；當時，與關于對稱。簡要介紹一下迎風型WENO格式的重構，詳細過程請參考Jiang和Shu的論文。其根本思想通過線性組合低階通量得到高

2、階通量，這些系數叫做線性權重。WENO格式是基于ENO格式構造出來的，有關ENO格式的構造這里就不再贅述，可以參考Shu和Osher的文章。根據r階精度的ENO格式的選取模板即插值區域思想，考慮迎風效應，選取初始模板為，經過r-1次擴充，可能的模板有r個：r階ENO格式是從上述模板中選取一個最光滑的模板，在其上構造插值多項式來逼近f在附近的數值通量，其數學表達式為： (4)其中是一個插值多項式，它滿足下面的關系式：(5)a2l為常數，可以從Shu和Osher的文章查到，例如：。現以三階的ENO格式為例說明之。此時被選模板有三個：它們對應的數值通量分別為：。首先我們來確定，根據式(4)可以得到其

3、中是在上構造的二次插值多項式，用Newton插值方式表示如下：于是我們可以得到所以(6)同理可得和所以(7)所以(8)ENO的思想就是在假設干個模板里選出一個最光滑的，并由它求出數值通量。在包含間斷的模板里，我們非常希望采用這種方法，因為它能排除包含間斷模板中的不是很精確甚至完全不精確的信息。然而在光滑的模板里面，這種做法卻不是我們所希望的，因為此時所有可能的插值模板都提供著同樣精確的信息，從而浪費了其他r1個模板。事實上對于r階ENO格式而言，有r個被選模板，如果將它們合并在一起將形成一個包含2r1個格點的插值區域，按照式子(4)可以給出網格界面處2r1階的近似：(9)下面，我們依舊以三階E

4、NO為例，它的三個模板一共包含五個點，所以可以構造一個四次插值多項式：那么數值通量函數可以構造為：求得界面處的數值通量： (10)它正好是五階上游中心格式的數值通量，但是它不能排除包含間斷的模板所帶來的不精確信息，用它所計算的通量在間斷附近會產生非物理的振蕩。為此，構造WENO格式以解決此問題。WENO格式的數值通量表達式為： (11)其中由(4)確定，是賦予相應模板的權重，問題的關鍵是如何選擇。為了獲得根本無振蕩的性質，應該使與相應模板的光滑性聯系起來，使得包含間斷的模板被賦予幾乎為零的權重。同時要求在光滑的模板中權重的分布將使得式(11)與式(9)的通量相接近。其實可以組合r1階數值通量來

5、求得2r1階數值通量： (12)通過簡單的代數運算可以確定這些系數，并且它們滿足。對于三階ENO格式而言，把式(6)(7)(8)和(10)帶入(12)就可以確定這些系數，它們的值為： (13)由式(11)和(12)等號兩邊相加，可得因為，如果要求，那么上式就可以改寫為： (14)上式右端第一項為哪一項的2r-1階近似，其精度為。因為式(14)第二項的求和符號內的兩項的乘積的第二項的精度是，所以如果再要求權重系數滿足，那么式(14)右端第二項的精度在光滑區域將到達。也就是說如果的選擇符合下述三個條件，那么式(11)的精度在光滑區域將有；同時此數值通量將有ENO根本無振蕩的性質，此時稱為最正確權重

6、。 組合系數符合； 在光滑區域內組合系數滿足； 任何包含間斷的模板都被賦予幾乎為零的權重，即。Jiang和Shu選取如下符合上面三個條件的系數： (15)其中，是一個小量，一般取10-6，用來防止分母為0；p是大于等于2的正整數，它的作用是放大模板的不光滑性，使得包含間斷的模板的權重更小；ISk是第k個模板的光滑性度量。Jiang和Shu采用如下方法度量模板的光滑性： (16)對于三階ENO而言，將前面的帶入上式，有 (17)當r=3時，我們驗證一下是否符合最正確權重條件。首先，由上述各式構造的符合。其次，分析的精度，將式(17)進行Taylor展開，我們可以得到：如果，有；將進行Taylor

7、展開，有，把它帶入的表達式，并利用Taylor展開和，可得；這說明在光滑區域，WENO格式有五階精度。當，即極值點附近，從Taylor展開有，此時，那么有；這就意味著在極值點附近，WENO的精度將是四階，而不是像Jiang和Shu的文獻所述有五階精度，這一點原文可能有誤。最后，如果模板包含了間斷，那么對應的ISk是很大的值，從而和將是接近于零的值。綜上所述，對于r=3，由式(1)、(2)、(3)、(6)、(7)、(8)、(11)、(13)、(15)和(17)所確定的WENO格式空間極值點附近除外具有五階精度，并且繼承了ENO的根本無振蕩的性質。應當指出的是上述格式只給出了，Jiang和Shu的

8、論文指出與關于對稱，也就是當特征值為負時，上述所有公式的各個節點系數，相對于特征值為正時的節點系數，關于點對稱。因此，對于三階ENO格式而言下述模板的對應節點的系數是相同的：特征值為正的節點：特征值為負的節點：從而可以得到相應的表達式。也可以再重復一遍的推導過程來得到的表達式。下面給出三階ENO格式，也就是五階WENO格式的相應結果。當時，根據迎風思想，初始模板選取為，經過兩次擴充，備選的模板為：在這些模板上的二次插值函數分別為： (18)此時，四次插值多項式為：那么可以求得組合系數：權重的表達式為：每個模板的光滑性度量：下面，我們把上述WENO格式推廣到多維向量雙曲方程。對于一維的Euler方程組，它的半離散格式為：(19)本文采用Lax-Friedrichs(LF)矢通量分裂方法：其中是F的Jacobian矩陣特征值的絕對值的最大值。我們取的Jacobian矩陣的半點平均值。Aj+1/2的左右特征向量矩陣記為