1、三角形等高模型與鳥頭模型模型二鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角) 兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中， D , E 分別是 AB , AC 上的點如圖(或 D 在 BA的延長線上， E 在 AC 上如圖 2)，則 SABC : S ADE ( ABAC): (ADAE )ADADEEBCBC圖圖【例1】如圖在 ABC 中， D ,E 分別是 AB, AC 上的點，且 AD : AB 2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE

2、: S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE: AC4 :7(45) :(75)，所以S ADE : S ABC(2 4):(75)，設 S ADE8 份，則 S ABC35份， S ADE16平方厘米，所以1份是2 平方厘米，35 份就是 70平方厘米， ABC 的面積是 70平方厘米 由此我們得到一個重要的定理，共角定理： 共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC中， AB是 AD 的 5倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面積等于1，那么三角形 ABC 的面積是多少？AADE

3、DEBCBC【解析】 連接 BE EC3AES ABC3S ABE又 AB5ADS ADES ABE5 S ABC 15 ，S ABC15S ADE 15 【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲 ( 陰影部分 ) 、乙兩部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？AAE甲B【解析】 連接 AD BE3，AE 6 AB3BE ， S ABD乙E乙甲CBCDD3S BDE又 BDDC 4，S ABC2S ABD ，S ABC 6S BDE ， S乙5S甲 【例2】如圖在 ABC 中， D 在 BA的延長線上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5: 2，AE:EC

4、3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(23): (53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，設 SADE6 份，則 S ABC25 份， S ADE 12 平方厘米，所以 1 份是 2平方厘米，25份就是50 平方厘米， ABC 的面積是 50 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【例3】如圖所

5、示，在平行四邊形ABCD 中， E 為 AB 的中點， AF2CF ，三角形 AFE( 圖中陰影部分 ) 的面積為 8 平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？DCFAEB【解析】 連接 FB三角形 AFB 面積是三角形CFB 面積的2 倍，而三角形AFB 面積是三角形AEF 面積的 2倍，所以三角形ABC 面積是三角形AEF 面積的 3 倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC 面積的2 倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的（3 2）6 倍因此，平行四邊形的面積為8 6 48( 平方厘米 ) 【例4】已知 DEF 的面積為 7 平方厘米，BECE, AD2 BD ,CF3AF ，求

6、ABC 的面積AFDBCE【解析】 S BDE : S ABC(BDBE) : (BA BC)(11): (23)1: 6，S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA)(13) :(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (AB AC)(21) :(34) 1:6設 S ABC 24份，則 S BDE 4份， S ADF4 份， S CEF9 份， S DEF2444 9 7份，恰好是 7平方厘米，所以 S ABC 24 平方厘米【例5】如圖，三角形 ABC 的面積為3 平方厘米，其中AB:BE2:5 ， BC:CD3: 2，三角形 BDE 的面積是多少？AB

7、EABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，設AB 2份， BC3份，則 BE 5 份，BD 3 2 5 份，由共角定理S ABC : S BDE( ABBC):(BEBD) (23):(55) 6:25，設S ABC6 份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5 平方厘米，25 份就是250.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面積是 12.5平方厘米【例6】 ( 2007 年”走美”五年級初賽試題 ) 如圖所示，正方形 ABCD 邊長為 6 厘米， AE1 AC ，CF1BC 三角形 DEF 的面積為 _ 平方厘米33ADEBFC【解析】 由題意知 AE1AC、C

8、F1 BC ，可得 CE2 AC 根據”共角定理”可得，333S CEF : S ABC(CF CE) : (CBAC )12: (33) 2:9；而 SABC 6 6 218 ；所以 S CEF 4 ；同理得， S CDE : S ACD2:3 ;，SCDE183212 ， SCDF 6故 S DEF S CEFS DECS DFC412610 (平方厘米 )【例7】如圖，已知三角形ABC面積為 1，延長 AB 至 D ，使 BDAB；延長 BC 至 E，使 CE2BC ；延長CA至 F ，使 AF3AC，求三角形 DEF 的面積FFACEAECBBDD【解析】 ( 法 1) 本題是性質的反

9、復使用連接 AE、 CD S ABC11，S ABCS DBC1S DBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面積18( 法 2 ) 用共角定理在ABC 和 CFE 中，ACB 與FCE 互補，S ABCACBC111 S FCEFCCE428又SABC1 ，所以SFCE 8同理可得SADF6，SBDE3 所以 S DEFS ABCS FCESADF SBDE 1 8 6 3 18【例8】如圖，平行四邊形 ABCD ， BEAB，CF2CB ， GD 3DC ， HA4AD ，平行四邊形ABCD 的面積是 2 ， 求平行四邊形ABCD 與四邊形EFGH 的面積比HHABEABEGDCGDCF

10、F【解析】 連接 AC 、 BD 根據共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 與FBE 互補，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1 ，所以 S FBE3 同理可得S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH 8所以 SEFGHS AEH S CFG S DHG S BEF SABCD 8 8 15+3+2 36 SABCD21所以3618SEFGH【例9】如圖，四邊形 EFGH 的面積是 66 平方米， EAAB ，CBBF ，DCCG ，HDDA ，求四邊形 ABCD的面積HHDCGDCGABFABFEE【解析】 連接 BD 由共角定理得S BCD : S

11、CGF(CD CB ) : (CGCF ) 1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2 ，即 S AHE 2 S ABD所以 S AHESCGF2( SCBD S ADB )2S四邊形 ABCD連接 AC ，同理可以得到S DHGS BEF2S四邊形 ABCDS四邊形 EFGHS AHES CGFS HDGS BEFS四邊形 ABCD5S四邊形 ABCD所以 S四邊形 ABCD66513.2 平方米【例10】如圖，將四邊形ABCD 的四條邊 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分別延長兩倍至點E、F、G、H，若四邊形 ABCD 的面積為5，則四邊形 EFGH

12、的面積是FFEBAEBAGCGCDDHH【解析】 連接 AC 、 BD 由于 BE2AB， BF2BC ，于是 S BEF4S ABC ，同理 S HDG 4S ADC 于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB ，AH 3AD ，于是 S AEH9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD 12SABCD 60 【例11】如圖，在 ABC 中，延長 AB 至 D ，使 BDAB ，延長

13、BC至 E，使 CE1BC，F是AC的中點，若 ABC 的面積是2 ，則 DEF 的面積是多少？2AFBCED【解析】 在 ABC 和 CFE 中，ACB 與FCE 互補， S ABCACBC224S FCEFCCE111又SABC 2，所以 SFCE0.5同理可得 S ADF2 ， SBDE3 所以 S DEFS ABCS CEFS DEB S ADF 2 0.5 3 2 3.5【例12】如圖， S ABC1， BC 5BD ， AC4EC ， DG GSSE， AF FG 求 S FGS AFGEBSCD【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩

14、個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況 最后求得 SFGS 的面積為 S FGS432111 5432210【例13】如圖所示，正方形ABCD邊長為 8 厘米， E 是 AD 的中點， F 是 CE 的中點， G 是 BF 的中點，三角形 ABG的面積是多少平方厘米？AEAEDDFFGGCBCB【解析】 連接 AF 、 EG 因為1216 ，根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積S BCF S CDE84比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”S AEF8， S EFG8 ，

15、再根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時， 這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到 S BFC 16 ， SABFE32 ，S ABF24 ，所以 S ABG12平方厘米【例14】四個面積為 1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積FH AEBGCD【解析】 如圖，將原圖擴展成一個大正三角形DEF，則AGF與CEH都是正三角形假設正六邊形的邊長為為a ，則AGF與CEH的邊長都是4a ，所以大正三角形DEF的邊長為4 217 ，那么它的面積為單位小正三角形面積的49 倍而一個正六邊形是由6 個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為1 ，三角形 DEF 的面積為

16、 49 66由于 FA4a， FB 3a ，所以AFB 與三角形 DEF 的面積之比為4312 7749同理可知BDC 、 AEC 與三角形 DEF 的面積之比都為12 ，所以ABC 的面積占三角形DEF 面積49的 112313 ，所以 ABC 的面積的面積為491313 49496496【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形ABCDE 的面積是EADBC【解析】 從圖中可以看出，虛線AB 和虛線CD 外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就是都等于一個正六邊形的面積； 虛線BC 和虛線DE外的圖形都等于一個正六邊形的一半，那么它們合起來等于一個正六邊形的面積；虛線AE 外的圖形是兩個三角形，從右圖中可以看出，每個三角形都是一個正六邊形面積的1 ，所以虛線外圖形的面積等于131123，所以五邊形的面積是10316266333清代 “紅頂商人 ”胡雪巖說：“做生意頂要緊的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外國，就能做外國的生意。希望和夢想，決定了他的人生暗淡或輝煌。”可見，一個人的心胸和眼光，決定了他志向的短淺或高遠；一個人的人生能有幾回搏，有生不搏待何時！所有的機遇和成功，都在充滿陽光，充滿希望的大道之上！我們走過了黑夜，就迎來了黎明；走過了荊棘，