1、文某些結論不當，該文說多組系數假異常只出現該 極值兩側半個數護蓋寬度的地方（見圖9）,多組系數 法只要最后一個系數對應的"達1000伽傅左右，就可 引起明顯的誤差” o假如將1000分別乘以表7和 表9中土£ = 10的整數，所得值分別為176伽彳馬和32 而乘表7系數的值是乘表9的系數55倍。尤 其是用表8中的土 = 10的系數時，問題更大，因為 表8中士"10的系數都大于±"0的系數仍以1000 伽傅為例，若從羊平面上延 = 10的高度，按表8中士 f =】0的系數乘以1000,AZ值吻133.5伽侶'而10C0與 不考慮余項重算的

2、系數相乘，所得的4Z值為15.9伽 佟由此可見，乘表8的系數所得的值為乘新系數值的 84倍，因此，該文由圖9所得的結論是欠妥的。總之. 按手冊，或該文的系數計算（指最未一項系數片只 要最后一個系數對應的AZ值越大，誤差就越大，秩至 于出現假異帑。該文涉及公式（4 ）的結論是不合適的.三、關于系數«磁法解釋推斷下冊中士 $ = 10的系數應改為表1 數值。該文表7中土 = 10時的系數應改為0.0032, 表8中士 £ = 10時的系數應改為表2數值$表9中±£ =20時的系數應改為表3值。 252 252 表1K/(A = 1)K$("2)K,

3、(A»3)K("4)100.00320.00620.00380.0108« 2±6K,(A«5)K,(A = 6)Kf(A = 7)Kf(A = 8)Kf(A = 9)K/(A = 10)100.012?0.01410.01500.01560.015860.01594表3土FKZ(A = 1)Kr(A = 2)K 心=3)K方7Kf(A = 5)K/<A = 6)K/(A=7)K/(A = 8)K,(小 9)K心= 10)200.0007960.001580.002340.003G60.003750.004390.004970.00550

4、0.005970.00634論均方誤差計算公式本身的精確性 252 252 252 一、問題的提出現在衡雖觀測址的精度常用均方誤莖公式。大家 熟知，根據其誤蹇A計算均方誤差的公式為*心士於型！（ 1）按或然改正數。計算均方溟建的公式為,經過間接觀測或條件觀測平差而計算平差后的均方誤差公式則為，"士/更£M - U式中力均為觀測個數）“為未知數個數' « - u = r 顯然是多余觀測數，在條件觀測平差中也就是條件 數，一股也稱它為自由度。有的書刊中用/表示，即 f "=仇_%一般知道，如果觀測次數"不大，公式（1）、（2）本身包含顯著的

5、誤差。同樣若多余觀測數即自 由度很小時，應用（3）式訃算也包含顯著的誤墊。這就產生均方溟菠公式本身的精度估計問題，也就是需 要計算公式本身的均方誤差”切，也簡稱它為均方誤 凳的均方誤差。從實踐中已經發現，應用上述計算均方誤差的公 式來衡量精度，往往將精度估計Q過高了，即按上述 公式計算所得的均方溟差（本文中將稱它們為計算均 方謀淮，均用加表示）把實際可能的梢度人為她抬高 了，即將刪算小了，當"或f很小時.其弟卑更大。用數理統計學的術語來說，任何一種被觀測的 M,它可以隨機地攻值。這種被觀測量可能觀測到的 所有數據的全體構戌-個舉聊也稱孚體）實總觀測 所獲得的任童”個觀測數疵血構成一4

6、字樣；而侮一 個具體得到的現測數據為一個子樣值。五和次數”稱 為樣本數，”大時，稱這子樣為大樣本，佩小時稱為 小樣本。所以上述所謂實際可能的精度是指冊體的標 袪差，而按”次觀測而算得的均方俁差只是樣本數為 «的子樣標準差。標準逐的平方就超方差。子樣的標 準差能否代表母體的標準差，這就是子樣標準差的精 確性問題，也就是木文所討論的本質問題。母體的標 準差用估計值"表示，也稱它為理論上的估計值，它表 示被觀測雖的離散程度。而子樣的標準差目前按經典 方法就是由（1、<2）,或（3）式計算出來的。如果 由部分觀測值計算而得的子樣標準差加的數學期望 E （m）恰好等于被觀測蜃（

7、毎體）的方差則說明 這種術最將度的方法是可靠的，即精度沒有被系統歪 曲。但事實上，下面會證明，而且KM <0,所U提出了計算均方誤差的精確性問題，同時 討論了彌補的辦法。二、按正態分布論證均方誤差公式本身的精確度為了討論方便，我們從公式（2）著手，推導按 或然改正數”計算的均方俁差加的均方俁差如。這 是平差前的衡最，它只是應用了取簡單算術平均值 （也可推廣到不等精度的加權平均值）而求得的或然 改正值必“,2,“n）o任槪率論中，為了更好地反映觀測的離散程度， 可用比值夕來進行衡量，它也可用來分析E（,”）與。的 澄異。為此，首先推求夕的分布密度函數了（手若 被觀測量X服蘭正態分布，-般來

8、說，隨機變址X按 正態分布N（yta）的密度函數/（”）用了式表示而由隨機變最X計算而得的均方謀差為*與“的比值夕為具有參數（”-1）的K變量，它服從所謂兀分布，其分布密皮函數為”-1 （耳刃-2CH專）治。（丁躺（5） 其中廠（專）為埃列爾函數，也稱伽傅函數，一般來 說，它用如下積分來定義2-00廠（力二/-I廠.0"是非負整數，它有待性廠（p+l）=p廠（p）埃列爾 函數與廠分布密切相關具有分布密度為（5式的?的數學期望為，（J倚護心;北）晉®(7)將（5 ）式代入，積分后即有*即E （夕）= =C所以E（w） =Ctf（ 9 ）為了按刃展開（8）式，以便于計算C值，可

9、引 用較梢確的斯蒂令公式，r（p）=/>c ° o 2久（1 + L + _bI 12/>288戸139I八八石莎廠I<10） 可多閱復旦犬學數學系主編概率論與數理統計°上海科學技術版1961年第二章§】（） 可參閱波蘭M費史著< “糖率論及數理統計”中譯本第五章§8.P138-P143分布. 252 0C20.7981.25330.8861.12840.9211.08550.9401J6460.9521.05170.9591.04280.9651.03690.9691.032100.9731.028110.9751.025120

10、.9781.023130.9791.021140.981 '1.019150.9831.017160.9841.016170.9851.015180.9851.015190.9861.014200.9861.014250.9901.010300.9921.008350.9931.007400.9941.006450.9951.005500.9951.005600.9961.004700.9971.003800.9971.003900.9981.0021000.9981.002©O11表1又右關系式 (和-0(7-0取不同的力值，算得C和C"：鴿結果列于表1 中.由表

11、1可見，當於為有限數時，始終存在著關系C<1,即EM<(J(12)只有當傳TOO時，才有C=le這就證明了為什么按 一般公式，例如(1)、(2)式等計算的均方誤差都把 精度估計過高，產生了不可常現象。現在計算均方誤差公式本身的均方誤差，即求 叫 它也是協的方差滬(尬)的平方根。按方差的定，(權)=E(m- E(w)2)(13)將此式展開，有a2(m) = £(ma - 2mE(m) + E2(m)將(9 )式代入上式，有<Jl(m) = E(m2 -2m(T + C2(r2)按數學期望的性質，有工 E(m2) 一 2C</E(m) + C9 = E(m2)-2

12、W + C2 = E(m2) - CM(14)若協按公式(2)算得，則有如下關系：n r n其中丁是觀測值，即子樣的均值，而$是母體的均值。由于(丁1匕+。2二ii+ *-£)2-2(丁一冷(初-£) = 2(T-小+刀5卡 ji-2( % -f)為 3-£)所以 E（m）2 = -i- V （才廣鏟 + 二（；-£）2n - 1厶w 1卑（了-的二斗力5-»M - 1移 一 1按方差定義，故有E(m2) = - <Jlw-1 n-1 n-1所以E(護)二滬(15)將此式代入(14)式，即得我們所要求的結果，二，-C衍5 （l-CJ，（m

13、） = mm = （Jv/ 1 - C?（16）式中C值是觀測個數”的函數，已由（11）式算得其結 果載于表1中。可見當力T8時，CT1,這時協浪- 0,只有在這種情況下，應用（2）式才是最精確的但 若 tt =3,則 C =0.886,這時nim = 6f TO. 785 = 0.463（?可見此i吳差很大，這說明了當”小時，應用協=/啤進行計算是很不可滋的。上述結論同樣適合于公 式（1同樣，在區域重力測址中，若應用閉合環的 增量閉合差計算精度，由于環數少，顯然很不椅確。過去曾經便用過這樣的近似公式，即若觀測結果 的慳著服從正態概率分布，則按真謀差計算的均 方誤差旳m,有公式m畑=J $j（

14、17）而按或然改正數。訃算必（按公式（2）的均方i吳差 力加為tx/2Gi - 1)(18)這兩公式是近似的，這可以從16）式丟棄高階項后 看出來。只要這樣驗證一下，由（U）式，一于. v I " 4 力S2n22(n- 1)1 - CJ-2G-1) 代入(16)式，(19)由于母體的標準差莎仍是未知數，（18）式中用仰來近 似代替0,就更為近似了。但實用上作為一般估計，當 稍大時，也可以便用它，這從表2可以看出。表211-1J 1心7 - 1>2(n-l)10.7070.6030.75620.50C0.4630.52331 0.40EQ.3890.42240.3540.341

15、0.36350.3160.3080.323100.2240.2210.226200.1580.1570J59旳了精確一些，可作這樣變換，由（9）戌知代入（16）式，得= E（m）C-= E（m）心7 （20） 用（18）、（16）、（20）三式，對不同的刃值我們獲 得了計算舛,的三種系數，將計算結來敦于表2中。 它們分別是均方課差,4母體標佳差莎和計算均方 差的數學期望E（協）的比例因子。（18）式是近似式， 另外二式是否精珂，關鍵在于所用。或Eg 是否椎 確。實際計算時，若已知E（nO,則（20）式可用，否 則采用加代替FGn）, 即mm =C*2 - 1（21）但它比（18）式還是要緒確些

16、。從表2還可看出，當"數目較大時，上述三種因 子之間差別兪來愈小了。以上分析了便用現有計算均方誤差公式的缺陷 并推算了它的精確度。那末在實用中怎樣解決這個問 題呢？實際上有了上述推演，問題已很簡單了，只需 應用公式（9）就可以。因為我們實際要求知道的是毋 體的方差。，但它不易知道，甚至E M 也不易求得 在某些測址中它們是可以知道的），那末只有應用枷 來代替E（”）,這時0 = C"!E（m）= mf帥'士士C"礙呂（22）應用此式計算比用（2 ）式要精確，特別當«較小時。 C"值可由表1査得。以上討論均假定觀測址是正態分布，如果存在偏

17、 態，則由下節討論。三、非正態分布時均方課差計算公式本身的均方誤差若觀測結果不是正態分布的，即存在偏態，這時 誤差分布曲線不呈對稱狀態，則上節公式就應有色議 變。設概率分布的偏態量用了表示，由槪率論可知， 計算僞態的公式為y =-3（23）式中從是分布的四階中心矩，/即母體標準殺的四 次方，7是一個無址綱的比例系數。如果觀測得到的是真溟差Ao按它求得的均方 誤蓬（按公式（1）杓 同樣存在謀差，“，當偏態 時，它的計算公式推導如下，因為加=則其方差為 D陽）=巴仲=勿儼（24） 25* 因為 D(A?)»B(AHE(A；»,)-E(An2-2A|(E(A?) + E?(A?)

18、 -E(A；)-2E(A?£(A?) + E(Ea(A?) 由于數學期望的數學期望仍為原數學期望，所以 £)(；) =£(A) -2E(A?)E(AJ) +E2(A?) -F(A；)-E3<AD G = lt2n)(25)按定義E(. E)T 則(；)»-，<26)代入(23)式有 n2E("】= 4E(CAn55 (n- l)a2n+匚2（護.2力+ 30 n經整理后，得D（卩2）=（力二 1）燈“ - l）（”一3r n刃兒-叫-”n2n再將（30）式的如值代入，經初等變換后化為D(W= 2G-1因為加二#并，將加和腫均視作隨機

19、變量，則 按方差的特性，它們的方差之間有關系，）"仆34）4ma(28)將（26）式代入，則D(小 丁；*4wwr(29)由（22）式知代入（29）式則，"廠滬（7+3）(30)再將此式代入（33）式，即有D（”，）語（1 嚀 *）代入（28）式，且用，“代替”（枷）二v/瓦了，則有D(w)=i£r(y+2)=(31)若用計算均方誤差代替上式右端的久則求得偏態 時的”切為*(32容易看出，（32）式是（17）式的普遍形式，因為 正態分布的偏態最7竽于羋，將y =0代入（32）式即 為（17）式。另外，若”，根捋（2）式算得，則偏態時叫又 是另一形式，推證如下：首先

20、將（2 ）式兩邊平方后再取其方差，有T徑爭（33）D（w） = 2（ti）wX1 + IT） （35） 開方后，即為“五給曲乓卑（36） 同樣，若將。近似地用也代替，即得實用的偏態 時”加（其中協按（2）式算得："厶爲）/“專1（3?）它也是一個普遍形式，即對正態分布來說，7 =0,（37） 式即變為（18）式形丸要指出，以上偏態量了是按（23）式定義的，若 按某些書刊上將偏態I：定義為人哼（則以上公式要作相應變換。此式中八代表偏態：t,叫 為分布的三階中心矩。為了使（32） （37）式稍微精確些，可采用如下修改：利用公式（9）,宀去中燦），代人（31）式,由課差理論中已知公式WXQV-鳥丄及關系即為可得D("2E(W)-EUW)若近似地認為Egf 就有-E2( CAlD -(34)(39)(40)類似地相應干（33）式的有要指出，這里所用符號是對所有tG = lt2,n） 求總和。將此式右端展開，考慮到：(41)255最后我們舉例闡明一下觀測謀差的分布是偏