1、學案 20 萬有引力定律及其應用、概念規律題組1.對于質量分別為 mi和 m2的兩個物體間的萬有引力的表達式F =G,下列說法中正確的是（）A 公式中的 G 是引力常量，它不是由實驗得出的，而是人為規定的C. m1和 m2所受引力大小總是相等的D 兩個物體間的引力總是大小相等、方向相反的，是一對平衡力2已知萬有引力常量為 G,現在給出下列各組數據，不可以計算出地球質量的是（）A地球繞太陽運行的周期 T 和地球離太陽中心的距離 RB .月球繞地球運行的周期 T 和月球離地球中心的距離 RC 人造地球衛星在地面附近運行的速度v 和運動周期 T課前取基兇厘挖冑*回扣魁念規律和方法核魚率幕突破講域結合

2、，宛破重點、熱點和難點D .地球的自轉周期T、地球的自轉線速度和地球的平均密度3如圖 1 所示，a、b、c 是地球大氣層外圓形軌道上運動的三顆衛星, 且小于 c 的質量，則下列說法錯誤的是（）A.b 所需向心力最小B.b、c 的周期相同且大于 a 的周期C.b、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度D . b、c 的線速度大小相等，且小于 a 的線速度二、思想方法題組a 和 b 質量相等4 如圖 2 所示，同步衛星離地心距離為 r，運行速率為 V1,加速度為 a1,地球赤道上的 物體隨地球自轉的向心加速度為 a2,第一宇宙速度為 V2,地球的半徑為 R，則下列比值 正確的是（ ）A

3、.ai_丄a2RV1rC. V2=R5.宇宙飛船和空間站在同一軌道上運動,軌道空間站，可采取的方法是（）A 飛船加速直到追上空間站，完成對接若飛船想與前面的空間站對接，飛船為了追上B 飛船從原軌道減速至一個較低軌道， 再加速追上空間站完成對接 C飛船加速至一個較高軌道再減速追上空間站完成對接D 無論飛船采取何種措施，均不能與空間站對接圖 1核魚率幕突破講域結合，宛破重點、熱點和難點一、萬有引力定律及其應用重力與重力加速度1 .關于重力(1) 在地面上，忽略地球自轉時，認為物體的向心力為零.各處位置均有GMmmg = -R2-由于 Fn= mRo2非常小，所以對一般問題的研究認為Fn= 0, m

4、g =R2.重力加速度(1) 任意星球表面的重力加速度：在星球表面處，由于萬有引力近似等于重力，GMmg, g= R.(R 為星球半徑，M 為星球質量)(2) 星球上空某一高度 h 處的重力加速度：Mm, GMGR+ h2=mg，g= R+ h2隨著高度的增加，重力加速度逐漸減小.【例 1】(2009 江蘇單科 3)英國新科學家(New Scientist)雜志評選出了 2008 年度世界 8 項科學之最，在 XTEJ1650 500 雙星系統中發現的最小黑洞位列其中，若某黑洞M2的半徑 R 約為 45 km,質量 M 和半徑 R 的關系滿足=三(其中 c 為光速，G 為引力常R 2G)10

5、210 m/s214210 m/s二、天體質量和密度的估算1解決天體圓周運動問題的一般思路利用萬有引力定律解決天體運動的一般步驟(1) 兩條線索1萬有引力提供向心力 F = Fn.2重力近似等于萬有引力提供向心力.(2) 兩組公式2 21Gpr=mV：=mo2r=m4jnT2 22mgr= m = mo2r = m4jnr(gr為軌道所在處重力加速度)2天體質量和密度的計算(1) 利用天體表面的重力加速度g 和天體半徑 R.由于 ? = mg,故天體質量 M = 誓，天體密度P=V = 4 = 4氏 4 定(2) 通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T 和軌道半徑 r 進行計算.22 3由萬

6、有引力等于向心力，即GMrm- = m4jnr,得出中心天體質量M =吉學；量)，則該黑洞表面重力加速度的數量級為8 2A. 10 m/s12 2C. 10 m/s規范思維(B.D.32若已知天體的半徑R，則天體的密度p=M=-=-=弟弟3；V 43GT R3KR3若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑3n則天體密度p=亓可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期天體的密度.【例 2】 已知萬有引力常量 G,地球半徑 R,月球和地球之間的距離r,同步衛星距地面的高度 h,月球繞地球的運轉周期 Ti,地球的自轉周期 T2,地球表面的重力加速度g.某同學根據以上條件，提出一種估算地

7、球質量M 的方法：同步衛星繞地心做圓周運動，2 3Mm/口由G_h= m得 M =GTJ.(1) 請判斷上面的結果是否正確，并說明理由如不正確，請給出正確的解法和結果.(2) 請根據已知條件再提出兩種估算地球質量的方法并解得結果.動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛星一旦進入新的軌道運行，由 知其運行速度要減小，但重力勢能、機械能均增加.2當衛星的速度突然減小時，向心力皿減小，即萬有引力大于衛星所需的向心力，因rr 等于天體半徑 R,T,就可估算出中心三、對人造衛星的認識及變軌問題1人造衛星的動力學特征 萬有引力提供向心力，即GMTm_=m*=mrw2=口口( (罕罕22人造衛星的運動學特

8、征 (1)線速度v :由GMJm =m得v=角速度3：由 G r2= m $r得w=周期：由GMJm =m4fnr，得 T =2n增大.3衛星的穩定運行與變軌運行分析(1)什么情況下衛星穩定運行？ 衛星所受萬有引力恰等于做勻速圓周運動的向心力時，將保持勻速圓周運動.當衛星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關閉發動機或空氣阻力作用)，萬有引力就當 v增大時，所需向心力 嚴增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運,隨著軌道半徑的增大，衛星的線速度減小.產,隨著軌道半徑的增大，衛星的角速度減小.，隨著軌道半徑的增大，衛星的運行周期此衛星將做向心運動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進入

9、新軌道運行時由【例 3】（2010 江蘇單科 6）2009 年 5 月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在 A 點從圓形軌道I進入橢圓軌道n, B 為軌道n上的一點，如圖 3 所示.關 于航天飛機的運動，下列說法中不正確的有（）A 在軌道n上經過 A 的速度小于經過 B 的速度B 在軌道n上經過 A 的動能小于在軌道I上經過 A 的動能C 在軌道n上運動的周期小于在軌道I上運動的周期D 在軌道n上經過 A 的加速度小于在軌道I上經過 A 的加速度規范思維四、 環繞速度與發射速度的比較及地球同步衛星1. 環繞速度與發射速度的比較近地衛星的環繞速度 v =，;GR= .gR = 7.9

10、 km/s,通常稱為第一宇宙速度，它是地球周圍所有衛星的最大環繞速度，是在地面上發射衛星的最小發射速度.不同高度處的人造衛星在圓軌道上的運行速度v= “： G*，其大小隨半徑的增大而減小但是，由于在人造地球衛星發射過程中火箭要克服地球引力做功，所以將衛星發射 到離地球越遠的軌道，在地面上所需的發射速度就越大.2. 地球同步衛星特點（1）地球同步衛星只能在赤道上空.（2）地球同步衛星與地球自轉具有相同的角速度和周期.（3）地球同步衛星相對地面靜止.（4）同步衛星的高度是一定的.【例 4】我國成功發射一顆繞月運行的探月衛星“嫦娥一號”.設該衛星的運行軌道是1圓形的，且貼近月球表面.已知月球的質量約

11、為地球質量的81，月球的半徑約為地球半徑的1,地球上的第一宇宙速度約為7.9 km/s,則該探月衛星繞月運行的速率約為（）4A. 0.4 km/sB. 1.8 km/sC. 11 km/sD. 36 km/s五、 雙星問題【例 5】（2010 重慶理綜）月球與地球質量之比約為1 : 80有研究者認為月球和地球可視為一個由兩質點構成的雙星系統，它們都圍繞月地連線上某點O 做勻速圓周運動.據此觀點，可知月球與地球繞O 點運動的線速度大小之比約為（）A. 1 : 6400B. 1 : 80C. 80 : 1D . 6400 : 1規范思維但重力勢能、機械能均減少（衛星的發射和回收就是利用了這一原理）

12、v =六、萬有引力定律與拋體運動的結合【例 6】（2011 象山北倉兩城適應性考試）在太陽系中有一顆行星的半徑為 R,若在該星 球表面以初速度 vo豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為 H.已知該物體所受的其 他力與行星對它的萬有引力相比較可忽略不計（萬有引力常量 G 未知）.則根據這些條件，可以求出的物理量是（）A. 該行星的密度B. 該行星的自轉周期C. 該星球的第一宇宙速度D. 該行星附近運行的衛星的最小周期承時效果橙測限時自虬期速度”練規范丄提龍力【基礎演練】1 . （2009 山東 18 改編）2008 年 9 月 25 日至 28 日,我國成功實施了 “神舟”七號載人航 天飛行

13、并實現了航天員首次出艙.飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343 千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343 千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘.下列判斷正確的是（）A .飛船變軌前后的機械能相等B .飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態C .飛船在此圓軌道上運動的角速度小于同步衛星運動的角速度D .飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度2. （2011 山東濟寧聯考）某同學通過 In ternet 查詢到“神舟”六號飛船在圓形軌道上運行一周的時間約為 90 分鐘，他將這一信息與地球同步衛星進行比較，由此可知（ ）A .“神舟”六號在圓形軌道

14、上運行時的向心加速度比地球同步衛星小B .“神舟”六號在圓形軌道上運行時的速率比地球同步衛星小C .“神舟”六號在圓形軌道上運行時離地面的高度比地球同步衛星低D .“神舟”六號在圓形軌道上運行時的角速度比地球同步衛星小3. （2010 廣元市第三次適應性考試）“嫦娥一號”探月飛船繞月球做“近月”勻速圓周運動，周期為 T,則月球的平均密度p的表達式為（k 為某個常數）（）k2A. p=TB. p=kTC. p=T2D. p=kT圖 44.（2011 遼寧鐵嶺模擬）如圖 4 所示，假設月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛船在距月球表面高度為3R 的圓形軌道I運動，到達軌道的A 點點火變軌進

15、入橢圓軌道H,到達軌道的近月點B 再次點火進入近月軌道川繞月球做圓周運動.貝U（）A .飛船在軌道I上的運行速度為B .飛船在 A 點處點火時，動能增加C .飛船在軌道I上運行時通過A 點的加速度大于在軌道n上運行時通過A 點的加速度D .飛船在軌道川繞月球運行一周所需的時間為5. （2010 安徽合肥月考）隨著“神七”飛船發射的圓滿成功，中國航天事業下一步的進展備受關注.“神八”發射前， 將首先發射試驗性質的小型空間站“天宮一號”， 然后才 發射“神八”飛船，兩個航天器將在太空實現空間交會對接.空間交會對接技術包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會和空間對接所謂交會是指兩個或兩個以上的航

16、天器在軌道上按預定位置和時間相會，而對接則為兩個航天器相會后在結構上連成一個 整體關于“天宮一號”和“神八”交會時的情景，以下判斷正確的是（ ）A “神八”加速可追上在同一軌道的“天宮一號”B “神八”減速方可與在同一軌道的“天宮一號”交會C “天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心加速度D “天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心力6.（2010 山東理綜 18）1970 年 4 月 24 日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星 “東方紅一號”發射成功，開創了我國航天事業的新紀元.如圖 5 所示，“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M 和遠地點 N 的高度分別為 43

17、9 km 和 2 384 km，則（ ）A .衛星在 M 點的勢能大于 N 點的勢能B .衛星在 M 點的角速度大于 N 點的角速度C.衛星在 M 點的加速度小于 N 點的加速度D .衛星在 N 點的速度大于 7.9 km/s7.（2010 安徽理綜 17）為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011 年10 月發射第一顆火星探測器“螢火一號” 假設探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和 T2.火星可視為質量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉影響，引力常量為G 僅利用以上數據，可以計算出（）A .火星的密度和火星表面的重力加速度B 火星的質量和火星對

18、“螢火一號”的引力C 火星的半徑和“螢火一號”的質量D 火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力【能力提升】& （2011 大同市一模）2009 年 6 月 19 日凌晨 5 點 32 分（美國東部時間 2009 年 6 月 18 日 下午5 點 32 分），美國航空航天局在佛羅里達州卡納維拉爾角空軍基地41 號發射場用“宇宙神-5”運載火箭將月球勘測軌道飛行器（LRO）送入一條距離月表 31 英里（約合 50km）的圓形極地軌道，LRO 每天在 50 km 的高度穿越月球兩極上空 10 次.若以 T 表示 LRO 在離月球表面高度 h 處的軌道上做勻速圓周運動的周期， 以 R 表示月球

19、的半徑，則（ ）A. LRO 運行的向心加速度為24nR T2B.LRO 運行的向心加速度為4nR+h T2C.月球表面的重力加速度為4nRT2D.月球表面的重力加速度為4T?R+h3T2R2題號12345678答案9.（2009 北京理綜 22）已知地球半徑為 R,地球表面重力加速度為g , 不 考 慮 地 球 自 轉 的影響.（1）推導第一宇宙速度 V1的表達式;（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h,求衛星的運行周期 T 的表達式.10. （2010 全國I 25）iI 、J /liF、一/圖 6如圖 6 所示，質量分別為 m 和 M 的兩個星球 A 和 B 在引力作

20、用下都繞 O 點做勻速圓周 運動，星球 A 和 B 兩者中心之間的距離為L.已知 A、B 的中心和 O 三點始終共線，A和 B 分別在 O 的兩側引力常數為 G.（1）求兩星球做圓周運動的周期；在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A 和 B，月球繞其軌道中心運行的周期記為.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.98X1024kg 和7.35X1022kg.求 T2與兩者平方之比.（結果保留 3 位小數）學案 20 萬有引力定律及其應用【課前雙基回扣】1 . AC 2.BC 3.ABD 4.AD

21、 5.B思維提升1如果對萬有引力定律只適用于質點這一條件缺乏深刻理解（或根本不注意適用條件）,往往不能認識到當兩物體間的距離r 趨于零時，這兩個物體不能看做質點，萬有引力定律不適用于此種情況.m1m22 要弄清楚公式 F=G 的各物理量的含義當兩物體可以看成質點時，r 是指兩質點間距離；對質量分布均勻的球體，r 是指兩球心間距離.Mmv24 n3 .對于繞地球運行的衛星， 應利用 G7 = ma= my = mr3= m來分析衛星的向心加速度、線速度、角速度、周期的大小比較及變化，其中r 是衛星的軌道半徑.4.赤道上的物體的向心加速度a=30.034 m/s ,遠小于地面上物體的重力加速度g=

22、9.8 m/ s2，故近似計算中忽略自轉影響，而認為地面上物體的重力和該物體受到的萬有引力相等，衛星上的物體處于完全失重狀態，故F 引=mg = ma.衛星的向心加速度 a等于衛星所在處的重力加速度g,對近地衛星來講 g = g= 9.8 m/s2.5.赤道上的物體與地球同步衛星的相同之處是：二者具有與地球自轉相同的運轉周期和 運轉角速度，始終與地球保持相對靜止狀態，共同繞地軸做勻速圓周運動.【核心考點突破】例 1 C 可認為黑洞表面物體的重力等于萬有引力,即 mg=GMm，即 g =GM ,MGM，將R2G2 8 2代入上式得 g = 2R= 245iP m/s2= 1X1012m/ S2規

23、范思維在星球表面，由 mg= GRm，得GM = gR2，若知星球表面重力加速度 星球半徑R,可替換 GM，稱為黃金代換；g=罟，由重力加速度 g 可將萬有引力定 律和其它規律相聯系，如運動學公式，機械能守恒定律等，實現綜合解題.例 2 見解析解析(1)上面的結果是錯誤的，地球的半徑R 在計算過程中不能忽略.234nR+hR+ h）得 M =正確的解法和結果：m(R+ h)(2)解法一 在地面上的物體所受的萬有引力近似等于重力,GT2,GMm”由一RL= mg,解得/曰4nr3得M=_GT2.(i)已知衛星的軌道半徑M=誓.解法二 對月球繞地球做圓周運動，由= m(Tn)2r,規范思維本題給出

24、了兩種常用的求星球質量的方法：期 T 求質量(注意 r 為衛星到天體球心的距離)；(2)已知星球表面重力加速度gR2徑 R 和引力常量 G,由 M =青，求星球質量.例 3 ABC 在橢圓軌道上運動，近地點的速度最大，遠地點的速度最小，A 選項正確.由 萬有引力定律可知飛機在 A 點受到的引力是個定值，由此結合牛頓第二定律可知飛機在 A 點的加速度是個定值，故 D 項錯誤.飛機從 A 點進入軌道n相對于軌道I可看成 向心運動，則可知飛機在軌道n上 A 點速度小于軌道I上 A 點速度，再結合動能定義式可知 B 選項正確.根據低軌道衛星的周期小，高軌道衛星周期大可知 C 選項正確.綜上知正確答案為

25、 A、B、C.規范思維衛星的變軌問題注意區分這兩種情況(1)制動變軌：衛星的速率減小，衛星做向心運動，軌道半徑變小，需開動反沖發動機使 衛星做減速運動；(2)加速變軌：衛星的速率增大，衛星做離心運動，軌道半徑變大，需開動反沖發動機使 衛星做加速運動.例 4 B 設地球的質量、半徑分別為M、R,月球的質量、半徑分別為 M、r，則 M=81, r = R.在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質量為 mo,貝 V：R2222M R 16=mog,即 GM = gR ;在月球表面，滿足 GM = g r ,由此可得：g=抽抽2g=8 已，已， 地球表面的第一宇宙速度V1= %t gR= 7.

26、9 km/s，在月球表面，有 v =. g r =討示=9x7.9 km/s1.8 km/s.r 和周星球半規范思維(1)解決此類題的關鍵：要明確衛星的第一宇宙速度等于最大環繞速度.(2)解決萬有引力定律的應用問題，盡管題目很多，但基本方法是不變的，即把天體的運 動看成圓周運動，萬有引力提供向心力.例 5 C 設地球和月球的質量分別為M、m,地月球心間距為 r,地球和月球的轉動半徑分別為仆仆2，由題意知31=32=3,則 G；m = M彳 n, G；m = m%，所以:=帶帶=盤盤. .vir1m 1 二者轉動角速度相同，可知地球和月球繞0 點運動的線速度大小之比為= =亦，V22M 80即月

27、球與地球繞 0 點運動的線速度大小之比為80 : 1，本題只有選項 C 正確.規范思維本題就是經典的雙星模型所謂雙星模型，就是有一些天體的運動并非是 一顆星以另一顆星為中心做圓周運動， 而是兩顆星都不是運動的中心， 它們繞二者連線 上的某一點做圓周運動，好像“被穿在一根桿上的兩個小球”，以兩個小球之間桿上的某一點為中心做圓周運動解決這類問題的關鍵是挖掘出雙星問題的根本特點一一角速度相同，并以此列向心力方程.2例 6 CD 由豎直上拋運動規律得 g =器2 HMmgR2M3V2GMT=mgM=gR 尸廠=8nRH，G未知，故 A 錯;3 戲規范思維 天體表面的拋體運動經常與萬有引力定律結合來求解

28、圍繞天體做勻速圓周 運動的物體的有關物理量，解決問題的辦法是通過拋體運動求天體表面的重力加速度，再根據萬有引力定律求T、3、天體質量或密度.也可以先根據萬有引力定律求重力加10.（1）2nG7Lm解析（1）設兩個星球 A 和 B 做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r 和 R,相互作用的萬有引力大小為 F，運行周期為 T根據萬有引力定律有：F =（R+疔根據已知條件不能分析行星的自轉情況，根據GR?= mg=V= gR=由=m（2T）2R=mg 得 T=2nB 錯;V2R2H=V0R“2HC 正確；R 2H 2nt”=2n 2= ：2RH , D 正確.V0V0速度，再分析拋體運動.【課時效果檢測】1 . BC 2.C3.C 4.AD 5.C 6.BC 7.A9.（1）V1= gR（2）T=暫Rh解析（1）設衛星的質量為 m,地球的質量為8.BD不考慮地球自轉的影響，在地球表面附近滿足衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力則M，地球表面處的某物體質量為Mm ，2 GR2= m g 貝 U GM = R gV1Mm_mR=m將式代入式，得到V1= V Rg由式可MmmgR