1、求遞推數列通項公式的常用方法求遞推數列通項公式是數列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數列來考查學生對知識的探索能力，求遞推數列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數列是一種特殊的數列或原數列的項的某種組合是一種特殊數列，把一些較難處理的數列問題化為中學中所研究的等差或等比數列。一公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有=a-S（n之2）等差數列或等比數列的通項公式。例一已知無窮數列3n的前n項和為Sn，并且*an+Sn=1n=N,）求匕口的通項公式？an1【解析】：丫Sn二1一anan1=1_1an+1-2an，又詡=2,n1an二二2反思：利用相

2、關數列與&的關系：ai=S,an=Sn-Sn_i（n2）與提設條件，建立遞推關系，是本題求解的關鍵.跟蹤訓練1.已知數列6的前n項和&，滿01一，一、,足關系lg=n（n=1,2）.試證數列以是等比數列.二歸納法：由數列前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式，再利用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數列H中，司=1,aa-IG2）求數列a）的通項公式.【解析】：:a=1,an=2ag+1（n之2）,J.a2=2a|+1=3,%=2a2+1猜測a”2n_1（nWNj,再用數學歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數列，首先要熟悉一般數列的通項公式，再就是一定要用數學歸納法證明其正

3、確性.跟蹤訓練2.設41是正數組成的數列，其前n項和為S,并且對于所有自然數n,%與1的等差中項等于Sn與1的等比中項，求數列a#的通項公式.三累加法：利用an=a+(a-a+(na.n喇通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如an+1=anf(n)的遞推數列通項公式的基本方法(f(n)可求前n項和),例三已知無窮數列(an)的的通項公式是1nan=II121,若數列bn滿足燈=1(n31)求數列H)的通項公式.析bn1-bn=(n-1)1nI-I22)bn二(b2bi)(bnbni)1=1+2+n-11-I2反思:用累加法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為ani=anf(n).n跟蹤訓練3.

4、已知a1=-,為書=%+口I(neN)，求數列通項公式.四累乘法：利用恒等式烝=a曳曳,旦(4#0,n圭2)求通項aa2an公式的方法稱為累乘法，累乘法是求型如：*=g(n)an的遞推數列通項公式的基本方法(數列g(n)可求前n項積卜例四已知&=1,an=n(an-an)(nWN*)，求數列凡通項公析】：小同叫-命誓a?a3an一a1a1a2王:0,n_2)=an11X-x-xx=n，當n=1時&=1滿足an=n,an=n.12n-1反思：用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為an1=g(n)an.跟蹤訓練4.已知數列匕滿足a1=1,an=a+2a+3a3+(n1)an(n之2).則的通項

5、公式是.五構造新數列：將遞推公式an+1=q%+d(q,d為常數,q#0,d#0)通過(小書)=q(an+x)與原遞推公式恒等變成anq=q(an+旦)的方法叫構造新數列.q-1q-1例五已知數列aj中，a1=1,an=2an+1（n之2），求（aj的通項公式.【解析】：禾1J用（an+x）=2（an_1+x）,求得an+1=2（anAH-1），二斗+1是首項為ai+1=2，公比為2的等比數列，即an+1=2n廠為=藝1反思：.構造新數列的實質是通過（an+x）=q（an十x）來構造一個我們所熟知的等差或等比數列.跟蹤訓練5.已知數列中，=1產n=3n+an-1（n之2）求數列卜的通項公式.六

6、倒數變換：將遞推數列-=4（舊0人函倒數and變成的形式的方法叫倒數變換.an1canc例六已知數列（MN*）中，劣=1,%書=一，求數2an1列an的通項公式.【解析】：將a一號取倒數得：1an1二2工=2廠是以工=1為首項，公差為2的an1anana1等差數列.；反思：倒數變換有兩個要點需要注意：一是取倒數.二是一定要注意新數列的首項，公差或公比變化了.跟蹤訓練6.已知數列中，ana，求數列an2的通項公式.小結:求遞推數列的通項公式的方法很多，以上只是提供了幾種常見的方法，如果我們想在求遞推數列中游刃有余，需要在平時的練習中多觀察，多思考，還要不斷的總結經驗甚至教訓.參考答案：1 .證明

7、：由已知可得：S=10n-1,當n2時an=Sn-Sn,=9(10尸，n=1時，Q=9滿足上式.，包的通項公式an=9(10)：n之2時旦=10為常數，所以匕為等比數列.an2 .解：由已知可求為=1,a2=3,a3=5，猜測為=2n1.(用數學歸納法證明).3 .由已知1n112an1-an=2,an=a1(a2a1)。a2)an/)=-丁！24 .n2時an=a12a23a3(n-1狂,an1二a12a2(n-1)an4nan作差得：an1an=nan,n-1=n1,曳=3,包=4,n-=n1n=1an/n!n=345n產2=1,an(n-2).街=n!oa22n-225. ann)3-1

8、26. an數列工求遞推數列通項公式基礎類型an由=an+d及an書=qan類型1an1=anf(n)解法：把原遞推公式轉化為an書-an=f（n）利用累加法（逐差相加法）求解。例1：已知數列滿足a1an1=a解：由條件知：an-an=nnn(n1)nn1分別令n=1,2,3,；（n.1）,代入上式得（n1）個等式累加之,即a)(a3a?)a3廣-一an。=(1_)+(1-1)+(1-1)+-1)所以an-a1=1-22334n-1nnan類型2anf(n)an解法:把原遞推公式轉化為況=小），利用累乘法（逐an商相乘法）求解。例2：已知數列Q滿足為=2,37an由=T；an)求an。n1解：

9、由條件知%分別令n=1,2,3,(n_1),代入上ann1(n-1)個等式累乘之a?a3a4aa2a3an二129ann-1,Mnnanan又a1323n例3:已知_3n-1n1=-an3n2(n1),求ano解：an二迎二空3(n-2)-132-13(n-1)23(n-2)23-1a13n-43n-7.523n-13n-485變式：（2004,全國I,理15.）已知數列a“,滿足ai=1,an=a+2a2+3a3+(n-1電(n2)則an的通項n-2a解：由已知,得an+=a+2a2+3a3+(-1)anJnan,用此式減去已知式，得當n至2時a4十一%=Han)anHt=(n+1)ana又

10、a2=a1=15-1也;1生=3也二4,35aa2a3an4,將以上n個式子相乘，得n!an(n-2)2類型3an1=panq(其中p,q均為常數,(pq(p-1)#0)o解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：*.t=p（an-t）,其中1=q,再利用換元法轉化為等比數1-P列求解。例4：已知數列4中，&=1,a。書=2an+3,求.解：設遞推公式&4=2%+3可以轉化為a。書t=2（at）即an+=2an-t=t=-3.故遞推公式為a。書十3=2（a。+3）,令b。=a。+3,則bi=a1+3=4，且吐=3=2.所以匕是以bi=4為首項，27b。a。+37為公比的等比數列，則）=42。=2

11、。1，所以2。=2一3.變式：（2006,重慶，文,14）在數列a。中，若a=1,a。平=2a。+3（。至1）,則該數列的通項an二（key:a。=2。+-3）類型4a。*=pa。+q。（其中p,q均為常數，（pq（p-1）（q-1）#0）。（或a。*=pa。+rq。,其中p,q,r均為常數）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以q,得：等上用+工引入輔助數列bj（其中3=與），得：qqqqqbmb。1再待定系數法解決。qq例5：已知數列G。中，&=：/。書=；a。+（；）。二求a。解：在ae=；a。+（；）。+兩邊乘以2。*得：2。+,a。書=（2。a。）+1令bn=2na、則6+=+1

12、，解之得：bn=3-2(3。所以an=*3(3-2U223類型5遞推公式為anpan小qa。（其中P,q均為常數）。解（特征根法）：對于由遞推公式-=pan+qan,ai=（/生=B給出的數列6,方程x2-px-q=0，叫做數列Qn1的特征方程。若Xi,X2是特征方程的兩個根，當Xi#X2時,數列Q的通項為an=Axin+Bx；,其中A,由ai=口a=P決定(即把a1,a2,Xi,X2和n=i,2,an=Axin，+Bxn,得到關于A、的方程組）；A,an=(A+Bn)Xin;得到關于A、的方程組）。當Xi=X2時，數列匕的通項為an=（A+Bn）廣，其中由ai=u，a2=P決定（即把引色，為

13、，乂2和n=1,25ai=a，a2=b,例6：數列Q：3七-5%J2%=0(n之0,nwN),求an解（特征根法）：的特征方程是：3x2-5x+2=0Xi=1，X2=Z3an=Ax：Bx；=AB0）5求數列aa的通項公式.解：由an書a；兩邊取對數得lgan省=2lgan+lg,aa令bn=lgan則bn卡=2bn+lg1,再利用待定系數法解得：7a/1、2nJ.an=a（一）oa類型8g(n)anh(n)f(n)an解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為an4=pan+q。例9：已知數列an滿足：an=a=1,求數列3a。/1an的通項公式。解：取倒數：工=m=3,anan4an二是

14、等差數列）（n-1）3=1（n-1）3=an=anana13n-2變式：（2006,江西，理,22）已知數列an滿足：ai=-,且an=3nan1（n2,n-N方22an1+n1求數列an的通項公式；解：（1）將條件變為：1口=1（1-口），因此12an3an-1an為一個等比數列，其首項為11=1,公比L從而a1331-=據此得踴=(俏1)類型9周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期c，c1、2an,(0a3n)例10:若數列Q滿足2,；2an*一1/八，1.，、2an-1,(-3n1).2的值為O變式：(2005,湖南，文，5)已知數列an滿足ai=0,an書=anf3(nwN*),貝

15、Ua2。=.3a1A.0C.3D.、3:、數列的求和:(1)公式法：必須記住幾個常見數列前n項和Sn=n(aan)2n(n-1)d=na12na1q=1Sn=a1(1-qn)q11、1-q10.(遼寧卷)已知等差數列的前n項和為&=pn2-2aq(p,qR),nN(I)求q的值；(n)若a1與a5的等差中項為18,bn滿足an=2log2bn,求數列的bn前n項和.(I)解法一：當n=1時，a=G=p-2+q,當n22時,an=g_SnJL=pn2-2n+q-p(n-1)2+2(n1)q=2pn一p2.是等差數列，p2q=2p_p_2,，q=04分解法二：當n=1時,q=Si=p2+q,當n_

16、2時,an=&一Sn2二pn2-2nq-p(n-1)22(n-1)q=2pmp2.當n_3時，s-anj-2pn-p-2-2p(n-1)-p-2-2p.a?=p_2q2P=3p_2q.又a?=2p2-p-2=3p-2,所以3P-2+q=3p-2，得q=0.4分(11)解：。1=寧,a3=18.又a3=6p-p-2,，6p-p-2=18,p=4二4=8n-68分又an=2logzbn得bn=24n”.4(n書1二b=2,詈=24=16抑仙是等比數列.所以數列6的前n項和Tn=2(1-16)=2(16n_1)1-1615(2)分組求和：如：求1+1,14的前n項和(注:(3n+1)n2(3n-1)

17、n2a=1)a:一1(3)裂項法：如一求與常用的裂項有n(n1)nn1J_，)；n(n2)2nn2a=3,b=2,所以f(x)=3x22x.又因為點(n)(nwN)均在函數y=f(x)的圖像上，所以Sn=3n2一2n.當n32時,an=SnSn1=(3n22n)3(n-1)2-2(n-i)=6n5.當n=1時,a1=S1=3M22=6M5,所以,an=6n5(neN*)(n)由(i)得知b3anan13=(6n-5)6(n-1)-51故Tn=Zbii1ii(1-)(-).(7713，(16n-56n12因此，要使j(1舄)20mn沖)成立的m,必須且僅須滿足2w即用10,所以滿足要求的最小正整數m為10.(4)錯位相減法：其特點是Cn=anbn其中an是等差，bn是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1注意討論x,二2.nx=1x-1Sn=(2n_1)xn書_(2n+1)xn+(1+x)(1-x)2(5)倒敘相加法：