1、曲線積分的計算法1.基本方法r第一類（對弧長）曲線積分定積分I轉化I第二類（對坐標）,用參數方程（1）選擇積分變量<用直角坐標方程,用極坐標方程r第一類：下小上大（2）確定積分上下限I第二類：下始上終對弧長曲線積分的計算定理設f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續，,，、一x=3(t),tL的參數方程為3(aEtwP)其中J=5t),巴t)'(t)在a,P上具有一階連續導數，且P-Lf(x,y)ds=_f：(t)J(t).：2(t)2(t)dt(:工-l：,)汪息：1 .定積分的下限a一定要小于上限B;2 .f(x,y)中x,y不彼此才立，而是相互有關的特殊情形(1) L:y=(x

2、)a_x-b.f(x,y)ds=fx,1-(x),11-2(x)dx.La(2) L:x=(y)c_y_d.ff(x,y)ds=f中(y),yn'1+b2(y)dy.L'c求I"x=acost,(第像卜M).y=bsint,2acostbsint(asint)(bcost)dt二ab7T2-sintcosta2sin222tbcostdtaba一a2-b2u2du(令u2.2.22、asintbcost)3(a-b)求I=lyds,其中L:y24x,從（1,2）到（1,-2）一段.dy=0.求I=.xyzds二kH的一段(0J_2二)a2cosssin二k八a2k2d

3、二2ds,解由對稱性,知¥認=n2ds=$2ds.y2-z2)dsa272二a其中】:x=acos口,y=asin=ss=-(2na=s,球面大圓周長)對坐標的曲線積分的計算設P(x,y),Q(x,y)在曲線弧L上有定義且連_x=qt),、續，L的參數方程為,當參數t單調地由口變J3(t),到P時，點M(x,y)從L的起點A沿L運動到終點B,中(t),中(t)在以U及B為端點的閉區間上具有一階連續導數，且邛°(t)+中,2(t)#0,則曲線積分P(x,y)dx十Q(x,y)dy存在，P=.P：(t)且P(x,y)dxQ(x,y)dy(t)：(t)<：«).(

4、t)=(t)dt特殊情形(1)L:y=y(x)x起點為a,終點為b.b則lPdxQdy=Px,y(x)Qx,y(x)y(x)dx.(2)L:x=x(y)y起點為c,終點為d.d則lPdxQdy=jPx(y),yx(y)Qx(y),ydy.例5計算(2a-y)dx+xdy,其中L為擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)上對應t從0到2n的一段弧.a(t-sint)asintdt提示:(2a-y)dxxdy=a(1cost)a(1-cost)dt2=atsintdt22兀原式=atsintdt-0=a21-tcost-sint1217t_oo2一一2Tta例6計算(rxyzdz其中r由

5、平面y=Z截球面=1所得,從z軸正向看沿逆時針方向提示：因在r上有x23=1,故=4=sint(0<t<2u)原式=2；2n22costsintdt0兀2cos2t(12cost)dt717116曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉化二重積分(1)選擇積分變量一代入曲面方程r第一類：始終非負(2)積分元素投影:第二類：有向投影(3)確定二重積分域一把曲面積分域投影到相關坐標面對面積的曲面積分的計算法定理：設有光滑曲面三：z二z(x,y),(x,y)-DXyf(x,y,Z)在工上連續，則曲面積分1£f(x，y，z)ds存在，且有H±

6、;f(x,y,z)dS=1fh,f(x,y,z(x,y),2,、2,、一1zx(x,y)zy(x,y)dxdy例7計算”(x十y+z)ds,其中工為y22平面y+z=5被柱面x+y=25所截得的部分.解積分曲面工：z=5-y,投影域：Dxy=(x,y)|x2+y2m25dS-1z：zy2dxdy:10(-1)2dxdy='2dxdy,(xy5-y)dxdyDxy2-5=2.0dL(5rcos7l)rdr故(xyz)ds='一2I；(5'x)dxdyDxy=125.2二.對坐標的曲面積分計算:一投、二代、三定號例8.計算曲面擲z2222xy-z=1=1kxyzdxdy,其中工為球面外側在第一和第五卦限部分.解：把Z分為上下兩部分,22.一i：z二一1-x-y(x,y)DxyIl.xyzdxdy二xyzdxdy-."xyzdxdy1二2"xy1-xcos二一=口(z+x)dxdy在曲面工上，有二cosx-1cos二二,cos,1x2y2,1x2y2Il(zx)dydz-zdxdyE二(z2x)(-x)-zdxdy三112222_-(xy)x(-x)(xy)dxdyDxy412-y2dxdy""Dxy=2.d二2-0sin21d1例9計算門(z2+x)dydz-zdx