1、數學建模能力與數學實踐能力數學建模能力與數學實踐能力實際問題數學化實際問題數學化1.熟悉問題提供的背景；熟悉問題提供的背景；2.能閱讀理解對問題進行陳述的材料；能閱讀理解對問題進行陳述的材料； 3.能運用數學知識、思想和方法分析題設中各類數量的關能運用數學知識、思想和方法分析題設中各類數量的關系及聯系系及聯系, 構建數學模型構建數學模型, 將實際問題轉化為數學問題；將實際問題轉化為數學問題； 4.運用已有知識運用已有知識, 選擇合理的途徑解答問題選擇合理的途徑解答問題, 解答后還要解答后還要回歸實際背景回歸實際背景, 判定解的合理性判定解的合理性.程序圖程序圖實際問題實際問題抽象概括抽象概括數

2、學模型數學模型求解數學模型求解數學模型實際問題的解實際問題的解運用數學知識運用數學知識思想、方法思想、方法還原、檢驗還原、檢驗審審 題題1.讀題讀題 先通讀先通讀, 分清哪些是為了說明現象或敘述問題的實際背景分清哪些是為了說明現象或敘述問題的實際背景的描述性詞語的描述性詞語, 哪些是為抽象數學問題而給出的數量與關系哪些是為抽象數學問題而給出的數量與關系.2.翻譯翻譯 應用題化為數學問題的關鍵在于對語言的理解與轉換應用題化為數學問題的關鍵在于對語言的理解與轉換. 包包括括: 對陌生名詞、概念的領悟；把文字敘述語言、圖形語言、對陌生名詞、概念的領悟；把文字敘述語言、圖形語言、數學符號語言三者進行等

3、價轉化數學符號語言三者進行等價轉化.3.挖掘挖掘 應用題中的因果關系和內在規律常有隱蔽性應用題中的因果關系和內在規律常有隱蔽性, 需要挖掘題需要挖掘題目中蘊涵的數字信息目中蘊涵的數字信息, 這也是解應用題的難點這也是解應用題的難點.應用題分類應用題分類1.用料最省、造價最低、利潤最高等最優化問題；用料最省、造價最低、利潤最高等最優化問題；( (函數函數) )2.數量間的相等或不等關系數量間的相等或不等關系, 如人口控制、資源保護等；如人口控制、資源保護等；( (方程、不等式方程、不等式) )3.增長率，如存款利息、人口增長等；增長率，如存款利息、人口增長等；( (數列數列) )( (解析幾何解

4、析幾何) )( (立體幾何立體幾何) )4.運行軌道、拱橋形狀等；運行軌道、拱橋形狀等；5.幾何體的形狀、面積、體積等；幾何體的形狀、面積、體積等；6.排列組合、概率排列組合、概率. 解答函數應用題的一般步驟解答函數應用題的一般步驟1.閱讀理解材料閱讀理解材料 讀懂題目所敘述的實際問題的意義讀懂題目所敘述的實際問題的意義, 接受題目所約定的臨接受題目所約定的臨時定義時定義, 理順題目中的量與量的數量關系、位置關系理順題目中的量與量的數量關系、位置關系, 分清變分清變量與常量；量與常量；2.建立函數模型建立函數模型 正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數正確選擇自變量將問題的目標表示為這

5、個變量的函數, 建建立目標函數關系式立目標函數關系式( (關鍵是抓住某些量之間的相等關系列出函關鍵是抓住某些量之間的相等關系列出函數式數式) ), 注意不要忘記考察函數的定義域；注意不要忘記考察函數的定義域；3.求解函數模型求解函數模型討論變量及函數模型的有關性質討論變量及函數模型的有關性質( (單調性單調性) ).典型例題典型例題 例例1 某廠今年某廠今年 1 月月, 2 月月, 3 月生產某種產品分別為月生產某種產品分別為 1 萬件萬件, 1.2 萬件萬件, 1.3 萬件萬件. 為了估測以后每個月的產量為了估測以后每個月的產量, 以這三個月的產量以這三個月的產量為依據為依據, 用一個函數模

6、擬該產品的產量與月份用一個函數模擬該產品的產量與月份 x 的關系的關系, 模擬函模擬函數可選用二次函數或函數數可選用二次函數或函數 y=abx+c( (其中其中a, b, c為常數為常數) ). 已知已知 4 月份該產品的產量為月份該產品的產量為 1.37 萬件萬件, 請問請問, 用以上哪個函數作為模用以上哪個函數作為模擬函數較好擬函數較好? 并說明理由并說明理由.解解: 設設 f(x)=px2+qx+r(p 0)則由則由 f(2)=1.2 即即 4p+2q+r=1.2 得得: f(1)=1 f(3)=1.3 9p+3q+r=1.3 p+q+r=1 p=- -0.05 q=0.35 r=0.7

7、 f(x)=- -0.05x2+0.35x+0.7. f(4)=- -0.05 42+0.35 4+0.7=1.3( (萬件萬件) )又由又由 g(x)=abx+c 可得可得:ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即即 g(4)=- -0.8 0.54+1.4=1.35( (萬件萬件) ) 而而 4 月份的產量為月份的產量為 1.37 萬件萬件,故由故由 , 比較可知比較可知, 用用 y=abx+c 作為模擬函數較好作為模擬函數較好.解得解得: a=- -0.8 b=0.5 c=1.4 g(x)=- -0.8 0.5x+1.4. 例例

8、2 一家報刊攤主從報社買進晚報的價格是每份一家報刊攤主從報社買進晚報的價格是每份 0.20 元元, 賣賣出的價格是每份出的價格是每份 0.30 元元, 賣不掉的報紙還可以以每份賣不掉的報紙還可以以每份 0.08 元的元的價格退回報社價格退回報社. 已知在一個月已知在一個月( (以以30天計算天計算) )里里, 有有 20 天每天可天每天可賣出賣出 400 份份, 其余其余 10 天每天只賣出天每天只賣出 250 份份, 但每天從報社買進的但每天從報社買進的份數必須相同份數必須相同. 問該攤主每天從報社買進多少份問該攤主每天從報社買進多少份, 才能使每月才能使每月獲得的利潤最大獲得的利潤最大?

9、并計算該攤主一個月最多可賺得多少元并計算該攤主一個月最多可賺得多少元.解解: 設每天從報社買進設每天從報社買進 x 份份(250 x400),則每月共銷售則每月共銷售 (20 x+10 250) 份份,又賣出的報紙每份獲利又賣出的報紙每份獲利 0.10 元元, 退回的每份虧損退回的每份虧損 0.12 元元, 退回報社退回報社 10(x- -250) 份份,依題意依題意, 每月獲得的利潤每月獲得的利潤 f(x)=0.10(20 x+10250)- -0.12 10(x- -250)=0.8x+550. f(x) 在在 250, 400 上是增函數上是增函數, 當當 x=400 時時, f(x)

10、取得最大值取得最大值, 最大值為最大值為 870. 答答: 該攤主每天從報社買進該攤主每天從報社買進 400 份時份時, 才能使每月獲得的利潤才能使每月獲得的利潤最大最大,一個月最多可賺一個月最多可賺 870 元元. 例例3 某村計劃建造一個室內面積為某村計劃建造一個室內面積為 800m2 的矩形菜溫室的矩形菜溫室, 在在溫室內溫室內, 沿左右兩側與后側內墻各保留沿左右兩側與后側內墻各保留 1m 寬的通道寬的通道, 沿前側內沿前側內墻保留墻保留 3m 寬的空地寬的空地. 當矩形溫室的邊長各為多少時當矩形溫室的邊長各為多少時, 蔬菜的種蔬菜的種植面積最大植面積最大? 最大種植面積是多少最大種植面

11、積是多少?解解: 設矩形溫室的左側邊長為設矩形溫室的左側邊長為 a m, 后側邊長為后側邊長為 b m, 則則 ab=800, 蔬菜的種植面積蔬菜的種植面積S=(a- -4)(b- -2)=ab- -4b- -2a+8 =808- -2(a+2b).=648.僅當僅當 a=2b, 即即 a=40, b=20 時取等號時取等號.故故當當 a=40(m), b=20(m) 時時, ymax=648(m2).S808- -4 2ab答答: 當矩形溫室的左側邊長為當矩形溫室的左側邊長為 40m, 后側邊長為后側邊長為 20m 時時, 蔬菜蔬菜的種植面積最大的種植面積最大, 最大種植面積為最大種植面積為

12、 648 m2. 解解: 依題意得依題意得:于是框架用料長度于是框架用料長度故故當當 x 約為約為 2.343m, y 約為約為 2.828m 時時, 用料最省用料最省. xy+ x =8, 12x2 y= - (- (0 x4 2 ) ). 8xx4L=2x+2y+2( ) 2 x 2=( + 2 )x+ 32x164 6+4 2 . 僅當僅當 ( + 2 )x= 即即 x=8- -4 2 時時, 取等號取等號. 32x16此時此時 x 2.343, y=2 2 2.828. 例例4 某單位用木料制作如圖所示的框架某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長框架的下部是邊長分別為分別為

13、 x, y( (單位單位: m) )的矩形的矩形, 上部是等腰直角三角形上部是等腰直角三角形, 要求框架圍成的總面積為要求框架圍成的總面積為 8m2. 問問 x, y 分別為多少分別為多少 ( (精確到精確到 0.001 m) )時時 用料最省用料最省?xy 例例5 某租賃公司擁有汽車某租賃公司擁有汽車 100 輛輛, 當每輛車的月租金為當每輛車的月租金為 3000元時元時, 可全部租出可全部租出; 當每輛車的月租金每增加當每輛車的月租金每增加 50 元時元時, 未租出未租出的車將會增加一輛的車將會增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護費租出的車每輛每月需要維護費 150 元元, 未未租出的車每

14、輛每月需要維護費租出的車每輛每月需要維護費 50 元元. (1)當每月每輛車的租金當每月每輛車的租金定為定為 3600 元時元時, 能租出多少輛車能租出多少輛車? (2)當每輛車的月租金定為當每輛車的月租金定為多少元時多少元時, 租賃公司的月收益最大租賃公司的月收益最大? 最大收益是多少最大收益是多少?解解: (1)當每輛車的月租金定為當每輛車的月租金定為 3600 元時元時, 未租出的車輛數為未租出的車輛數為: (3600- -3000) 50=12,則租賃公司的月收益則租賃公司的月收益(2)設每輛車的月租金定為設每輛車的月租金定為 x(x=50k, k N* ) 元元, 這時租出了這時租出

15、了 88 輛車輛車.f(x)=(100- - )(x- -150)- - 50 x- -300050 x- -300050=- - +162x- -2100 x2 50=- - (x- -4050)2+307050. 1 50當當 x=4050 時時, f(x) 取最大值取最大值 307050. 即當即當每輛車的月租金定為每輛車的月租金定為 4050 元元 時時, 租賃公司的月收益最租賃公司的月收益最大大, 最大月收益是最大月收益是 307050 元元. 例例6 上因特網的費用由兩部分組成上因特網的費用由兩部分組成: 電話費和上網費電話費和上網費, 以前某以前某“熱線熱線”上因特網的費用為電話

16、費上因特網的費用為電話費 0.12 元元/3 分鐘分鐘, 上網費上網費 0.12 元元/分鐘分鐘. 根據信息產業部調整因特網資費的要求根據信息產業部調整因特網資費的要求, 自自 1999 年年 3 月月1日起日起, 該地區上因特網的費用調整為電話費該地區上因特網的費用調整為電話費 0.16 元元/3 分鐘分鐘, 上網費每月不超過上網費每月不超過 60 小時小時, 以以 4 元元/小時計算小時計算, 超過超過 60 小時部小時部分分, 以以 8 元元/小時計算小時計算. (1)根據調整后的規定根據調整后的規定, 將每月上因特網的將每月上因特網的費用表示為上網時間費用表示為上網時間( (小時小時)

17、 )的函數的函數( (每月按每月按30天計算天計算) ); (2)若某若某網民在其家庭經濟預算中一直有一筆上網網民在其家庭經濟預算中一直有一筆上網 60 小時的費用開支小時的費用開支, 因特網資費調整后因特網資費調整后, 若要不超過其家庭經濟預算中上網費的支若要不超過其家庭經濟預算中上網費的支出出, 該網民現在每月可上網多少小時該網民現在每月可上網多少小時? 從漲價和降價的角度分從漲價和降價的角度分析該地區調整前后上因特網的費用情況析該地區調整前后上因特網的費用情況.解解: 設調整后上網設調整后上網 x 小時的費用為小時的費用為 f(x) 元元,(1)當當 060 時時, f(x)=4 60+

18、0.16 20 x+(x- -60) 8=11.2x- -240. f(x)= 7.2x (060). 當當 0 x60 時時, f(x)60 時時, 由由 f(x)=g(x) 得得: x=150. 又又當當 60 x150 時時, f(x)150 時時, f(x)g(x).故上網時間小于故上網時間小于 150 小時小時, 調整前的上網費用高調整前的上網費用高;上網上網 150 小時小時, 調整前后的費用一樣高調整前后的費用一樣高;上網時間超過上網時間超過 150 小時小時, 調整后的上網費用高調整后的上網費用高. 例例7 某地區上年度電價為某地區上年度電價為 0.8 元元/kwh, 年用電量

19、為年用電量為 a kwh, 本本年度計劃將電價降到年度計劃將電價降到 0.55 元元/kwh 至至 0.75 元元/kwh 之間之間, 而用戶而用戶期望電價為期望電價為 0.4 元元/kwh. 經測算經測算, 下調電價后新增的用電量與實下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比際電價和用戶期望電價的差成反比( (比例系數為比例系數為k) ), 該地區電該地區電力的成本價為力的成本價為 0.3 元元/kwh. (1)寫出本年度電價下調后寫出本年度電價下調后, 電力部電力部門的收益門的收益 y 與實際電價與實際電價 x 的函數關系式的函數關系式; (2)設設 k=0.2a, 當電價最

20、當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%? ( (注注: 收益收益=實際用電量實際用電量 (實際電價實際電價- -成本價成本價) ).解解: (1)依題意依題意, 0.55x0.75, 本年度用電量為本年度用電量為: a+下調電價后新增用電量為下調電價后新增用電量為:x- -0.4 k . x- -0.4 k , 依題意得依題意得: y=(a+ )(x- -0.3), x- -0.4 k 故所求函數關系式為故所求函數關系式為: y=(a+ )(x- -0.3), 0.55x0.75.x- -0.4 k (2)當當 k=0.2

21、a 時時, y=(a+ )(x- -0.3), x- -0.4 0.2a 依題意依題意 (a+ )(x- -0.3)0.5a(1+20%), x- -0.4 0.2a 整理得整理得: 10 x2- -11x+30. 解得解得: x0.5 或或 x0.6. 0.55x0.75, 0.6x0.75, 最低電價應定為最低電價應定為 0.6元元/kwh. 例例8 某摩托車生產企業某摩托車生產企業, 上年度生產摩托車的投入成本為上年度生產摩托車的投入成本為 1 萬元萬元/輛輛, 出廠價為出廠價為 1.2 萬元萬元/輛輛, 年銷售量為年銷售量為 1000 輛輛. 本年度為本年度為適應市場需求適應市場需求,

22、 計劃提高產品檔次計劃提高產品檔次, 適度增加投入成本適度增加投入成本. 若每若每輛車投入成本增加的比例為輛車投入成本增加的比例為 x(0 x1), 則出廠價相應的提高比則出廠價相應的提高比例為例為 0.75x, 同時預計年銷售量增加的比例為同時預計年銷售量增加的比例為 0.6x, 已知年利潤已知年利潤 =( (出廠價出廠價- -投入成本投入成本) )年銷售量年銷售量. (1)寫出本年度預計的年利寫出本年度預計的年利潤潤 y 與投入成本增加的比例與投入成本增加的比例 x 的關系式的關系式; (2)為使本年度的年利為使本年度的年利潤比上年有所增加潤比上年有所增加, 問投入成本增加的比例問投入成本

23、增加的比例 x 應在什么范圍內應在什么范圍內?解解: (1)依題意得依題意得:y=1.2 (1+0.75x)- -1 (1+x) 1000(1+0.6x),整理得整理得: y=- -60 x2+20 x+200(0 x0, 0 x0, 0 x1, 即即解得解得: 0 x . 13故投入成本增加的比例故投入成本增加的比例 x 應滿足應滿足 0 x .13此即為所求關系式此即為所求關系式. 例例9 甲、乙兩地相距甲、乙兩地相距 s 千米千米, 汽車從甲地勻速行駛到乙地汽車從甲地勻速行駛到乙地, 速速度不得超過度不得超過 c 千米千米/時時, 已知汽車每小時的運輸成本已知汽車每小時的運輸成本( (以

24、元為單位以元為單位) )由可變部分和固定部分組成由可變部分和固定部分組成: 可變部分與速度可變部分與速度 v( (千米千米/時時) )的平的平方成正比方成正比, 比例系數為比例系數為 b, 固定部分為固定部分為 a 元元. (1)把全程運輸成本把全程運輸成本 y( (元元) )表示為速度表示為速度 v( (千米千米/時時) )的函數的函數, 并指出這個函數的定義域并指出這個函數的定義域; (2)為了使全程運輸成本最小為了使全程運輸成本最小, 汽車應以多大速度行駛汽車應以多大速度行駛? 解解: (1)依題意知依題意知, 汽車從甲地勻速行駛到乙地用時汽車從甲地勻速行駛到乙地用時 小時小時,sv其中

25、其中 0bc2, 因而因而 a- -bcva- -bc20. 也即當也即當 v=c 時時, 全程運輸成本全程運輸成本 y 最小最小. 綜上所述綜上所述, 為使全程運輸成本為使全程運輸成本 y 最小最小, 若若 c, 則則當當 v= 時時, 全程運輸成本全程運輸成本 y 最小最小; baba c- -v0, c, ba若若 c, 當當 v (0, c 時時, 有有: bas( +bv)- - s( +bc)avac=s( - - )+(bv- -bc)avac故故s( +bv)s( +bc), avac當當 c 時時, 行駛速度為行駛速度為 c 千米千米/小時小時. ba當當 c 時時, 行駛速

26、度為行駛速度為 千米千米/小小時時; baba 例例10 某蛋糕廠生產某種蛋糕的成本為某蛋糕廠生產某種蛋糕的成本為 40 元元/個個, 出廠價為出廠價為 60元元/個個, 日銷售量為日銷售量為 1000 個個. 為適應市場需求為適應市場需求, 計劃提高蛋糕檔計劃提高蛋糕檔次次, 適度增加成本適度增加成本. 若每個蛋糕成本增加的百分率為若每個蛋糕成本增加的百分率為 x(0 x1), 則每個蛋糕的出廠價相應提高的百分率為則每個蛋糕的出廠價相應提高的百分率為 0.5x, 同時預計日銷同時預計日銷售量增加的百分率為售量增加的百分率為 0.8x, 已知日利潤已知日利潤=( (出廠價出廠價- -成本成本)

27、 )日銷日銷售量售量. (1)寫出寫出 y 與與 x 的關系式的關系式; (2)為使日利潤有所增加為使日利潤有所增加, 問問 x 應應在什么范圍內在什么范圍內?解解: (1)依題意得依題意得:y=60 (1+0.5x)- -40(1+x) 1000(1+0.8x),整理得整理得: y=- -8000 x2+6000 x+20000(0 x0, 0 x0, 0 x1, 即即解得解得: 0 x . 34答答: 為使日利潤有所增加為使日利潤有所增加, x 應滿足應滿足 0 xb0, 記記 h= a2- -b2 , 設設 P 的坐標為的坐標為 (0, y), 則則 P 到三鎮距離的平方和到三鎮距離的平

28、方和 f(y)=2(b2+y2)+(h- -y)2=3(y- - )2+ h2+2b2 . 23h3當當 y= 時時, 函數函數 f(y) 取得最小值取得最小值.h3點點 P 的坐標是的坐標是(0, a2- -b2 ). 13 故當故當 y=y* 時時, 函數函數 g(y) 取最小值取最小值. (2)解法一解法一 P 到三鎮的最遠距離是到三鎮的最遠距離是 g(y)= b2+y2 |h- -y| b2+y2 |h- -y| 時時, b2+y2 |h- -y| 時時. 由由 b2+y2 |h- -y| 解得解得: y . h2- -b2 2h 記記 y*= , 則則 h2- -b2 2h g(y)= b2+y2 |h- -y| yy* 時時, yy* 時時. 當當 y* 0 即即 hb( (此時此時 a22b2) )時時, b2+y2 在在 y*, +) 上是上是增函數增函數, 而而 |h- -y| 在在 (-, y* 上是減函數上是減函數, 當當 y* 0 即即 hb( (此時此時a2b, 故當故當 y=0 時時, 函數函數 g(y) 取最小值取最小值. 當當 a22b2 時時, P 點在原點點在原點. 綜上所述綜上所述, 當當 a22b2 時時, P 點在點在(0, )處處; a2- -2b2 2 a2- -b2 故當故當 y=