1、將24個志愿者名額分配給 3個學(xué)校，那么每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方 法共有 222 種.解法一用4條棍子間的空隙代表 3個學(xué)校，而用表示名額如I 'Il表示第一、二、三個學(xué)校分別有4, 18 , 2個名額.假設(shè)把每個“與每個“都視為一個位置，由于左右兩端必須是“| ，故不同的分配方法相當(dāng)于24 2 26個位置兩端不在內(nèi)被 2個占領(lǐng)的一種 占位法.每校至少有一個名額的分法 相當(dāng)于在24個“ 之間的23個空隙中選出2個空隙插入 “ ，故有C：253種.又在每校至少有一個名額的分法中至少有兩個學(xué)校的名額數(shù)相同的分配方法有 31種.綜上知，滿足條件的分配方法共有253 31

2、= 222種.解法二設(shè)分配給3個學(xué)校的名額數(shù)分別為 Xi,X2,X3，那么每校至少有一個名額的分法數(shù)為 不定方程x1 x2 x324.的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程 x1 x2 x3 21的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：H? C； C：253 .又在每校至少有一個名額的分法中至少有兩個學(xué)校的名額數(shù)相同的分配方法有 31種.綜上知，滿足條件的分配方法共有253 31 = 222種.一條走廊寬2 m,長8 m,用6種顏色的1 1 m 2的整塊地磚來鋪設(shè)每塊地磚都是 單色的，每種顏色的地磚都足夠多,要求相鄰的兩塊地磚顏色不同 ，那么所有的不同拼色 方法有A. 308 個 B

3、. 30 257 個 C. 30 207 個 D. 30 217 個解：鋪第一列兩塊地磚有30種方法；其次鋪第二列設(shè)第一列的兩格鋪了A、B兩色如圖，那么，第二列的上格不能鋪 A色.假設(shè)鋪 B色，那么有6 1種鋪法；假設(shè)不鋪 B色，那么有6 22 種方法.于是第二列上共有 21種鋪法同理，假設(shè)前一列鋪好，那么其后一列都有21種鋪法.因此，共有30 217種鋪法.應(yīng)選D.直線li與直線丨2平行，ll上有5個不同的點，丨2上有10個不同的點，將li上的點與12上的點連線段，假設(shè)沒有三條線段交于同一點，那么這些線段之間的交點共有個.7 設(shè)集合S 1,2,15，A% a?, %是S的子集，且 a，a?，

4、%滿足:1 ai<a2<a3 15， as a： 6，那么滿足條件的子集的個數(shù)為 .答案：371.2解：當(dāng)2 a2 9時，ai,a2有Cg種選擇方法，as有6種選擇方法，所以&82怎共有6 C； 216種選擇方法；當(dāng)10 a2 14時，一旦a?取定，a1有a? 1種選擇 方法，as有15 a2種選擇方法，所以選擇a1, a2, a3的方法有14a2 1 15 a29 5 10 4 11 3 12 2 13 1 155種.a2 10綜上，滿足條件的子集共有371個.有6本不同的書，其中一本數(shù)學(xué)書，兩本英語書，三本音樂書，將他們排成一排，假設(shè)英語書不相鄰，音樂書也不相鄰的不同排

5、法數(shù)為 1201234567891.用紅、黃、藍三種顏色之一去涂途中標(biāo)號為1,2,9的9個小正方形如圖，使得任意相鄰有公共邊的小正方形所涂顏色都不相同，且“ 3、5、7 號數(shù)字涂相同的顏色，那么符合條件的所有涂法共有108種。設(shè) a1,a2, a3, a°是 1,2,3,4 的任一排列,f 是1,2,3,4到1,2,3,4的映射，且滿足f (i) i ,記數(shù)表aa2a3a4f(aj f2) f(a3)f4)。假設(shè)數(shù)表M,N的對應(yīng)位置上至少有一個不同,說M,N是兩張不同的數(shù)表。那么滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為A144 B192 C216 D576解：對于a1,a2,a3,a4的一個排列

6、，可以9個映射滿足 f (i) i，而a1,a2,a3, a4共有A4 24個排列，所以滿足條件的數(shù)表共有24 9 216張，應(yīng)選C。9.一個立方體，它的每個角都截去一個三棱錐，變成一個新的立體圖形。那么在新圖形頂 點之間的連線中，位于原立方體內(nèi)部的有120 條。解：據(jù)題意新的立體圖形中共有24個頂點，每兩點連一條線，共C；4 12 23 276，其中所有的棱都在原立方體的外表，有36條原立方體的每個面上有 8個點，除去棱以外，還可以連20條，6個面共120條都在設(shè) r,s,t 為整數(shù)，集合a|a 2r 2s 2' ,0 t sr中的數(shù)由小到大組成數(shù)列an:原立方體的外表，除此之外的直

7、線都在原立方體的內(nèi)部。7,11,13,14,，那么 a36131解： r,s,t為整數(shù)且0 t s r , r最小取2,此時符合條件的數(shù)有C；1r 3,s,t 可在0,1,2中取，符合條件有的數(shù)有Cf 3同理，r 4時，符合條件有的數(shù)有 C462r 5時，符合條件有的數(shù)有 C510r 6時，符合條件有的數(shù)有 C；15r 7時，符合條件有的數(shù)有 C；21因此，a36是r 7中的最小值，即a 36131連結(jié)正五邊形 AA2A3A4A5的對角線交另一個正五邊形3B2B3B4B5，兩次連結(jié)正五邊形C1C2C3C4C5如圖，以圖中線段為邊的二角形中，共有等腰三角形()個。A50 B75C85D100答：

8、C.解：對于其中任一點 P,以P為“頂兩腰的公共點的等腰三角形的個數(shù)記為3B2B3B4B5的對角線，又交出一個正五邊形A1B2B5P那么6, ( A1A2A5, A1B3B4,A1A3A4,Ai A2B5,Ai As B2).B9,(Bi A3A4,B1B2B5,B1b3B4 ,B1C3C4,B1B2C5,B1C2 B5 ,B1A2A5,B1 A3B4 ,B1A4B3 )C12,(C1 B3 B4 , C1 B2B5 ),由于圖中沒有等邊三角形，那么每個等腰三角形恰有一個“頂 據(jù)對稱性可知AJ 6, Bi 9, Ci 2, i 1,2,3,4,5 。因此等腰三角形共有 5 (6 92)85個。

9、用標(biāo)有1, 2, 3, 15, 40克的法碼各一個，在某架無刻度的天平上稱量重物，如果天平兩端均可放置法碼，那么該天平所能稱出的不同克數(shù)正整數(shù)的重物至多有 種。答：55。解：用1, 2, 3這三只法碼，可稱出區(qū)間 A 1,6中的全部整克數(shù)，增加15克的法碼后,量程擴充了區(qū)間 B 15 6,1569,21，再增加40克的法碼后，量程又擴充了三個區(qū)間 ：G 406,40 634,46, C24021,40 9 19,31C34019,40 2149,61，但區(qū)間B與C2有三個整數(shù)重復(fù)，計算上述各區(qū)間內(nèi)的整數(shù)個數(shù)，那么得能稱出的不同克數(shù)共有 6+13+ 13+13+13-3=55種。假設(shè)集合A中的每

10、個元素都可表為1,2-,9中兩個不同的數(shù)之積，那么集A中元素個數(shù)的最大值為 .答：31.2解：從1,2,9中每次取一對作乘積，共得 C936個值，但其中有重復(fù)，重復(fù)的情況為1 62 3, 1 82 4, 2 9=3 6, 2 63 4, 3 84 6，共 5種，因此集合 A2 中至多有C9531個數(shù).作出正四面體每個面的中位線，共得12條線段，在這些線段中，相互成異面直線的“線段對有個.答：24個“線段對.解：任取一條中位線 AB考慮，AB所在的側(cè)面沒有與 AB異面的線段；含點 A的另一個側(cè) 面恰有一條中位線與 AB異面；含點B的另一個側(cè)面恰有一條中位線與 AB異面；不含A, B的側(cè)面恰有兩條

11、中位線與 AB異面；因此與 AB異面的中位線共有4條，即含有線段 AB的 異面“線段對共有4個，于是得異面“線段對 12 448個，其中有重復(fù).48但每一個異面“線段對中有兩條線段，故恰被計算了兩次，因此得24個異面“線段2對.用五種不同的顏色給圖中的“五角星的五個頂點染色，每點染一色，有的顏色也可以不用使每條線段上的兩個頂點皆不同色，那么不同的染色方法有種.答：1020種.解：將其轉(zhuǎn)化為具有五個扇形格的 圓盤染五色，使鄰格不同色的染色問題。 設(shè)有k個扇形格的圓盤染五色的方法數(shù)為Xk，那么有Xk Xk 15 4k 1，于是X5X5x4X4 X3X3X2X25 44 43 42 41020將一個

12、三位數(shù)的三個數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，假設(shè)和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，那么稱這個數(shù)為“奇和數(shù)。那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有丨個。A 100B 120C 160D 200a3)10® a2)(印 a3)。A解：設(shè)三位數(shù)是 a1a2a3，貝U a1a2a3 +a3a2a1 100(a1假設(shè)31 33不進位，那么和數(shù)的十位數(shù)必為偶數(shù)，不符合題意，所以31 33=11 ,13, 15,17。因1仁9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有4A；種可能；因13=9+4=8+5=7+6，所以a1,a3取值有3A；種可能；因15=9+6=8+7，所以aa3取值有2A；種可能；因17=9+

13、8，所以a1,a3取值有 A種可能；由于a2a2不能進位，所以a2只能取0, 1, 2, 3, 4。因此，滿足條件的數(shù)共有：5 4A； + 3A； + 2A；+A；=100個.將一個4 4棋盤中的8個小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有兩個黑色方格，那么有 不同的染法用數(shù)字作答2 解：第一行染2個黑格有C4種染法第一行染好后，有如下三種情況：1第二行染的黑格均與第一行的黑格同列，這時其余行都只有一種染法；2第二行染的黑格與第一行的黑格均不同列，這時第三行有C：種染法，第四行的染法隨之確定；3第二行染的黑格恰有一個與第一行的黑格同列，這樣的染法有4種，而在第一、第二這兩行染好后，第三行染的黑格必然