1、賞析等比數列的前n項和公式的幾種推導方法(省萊州五中261423 )等比數列的前n項和公式是學習等比數列知識中的重點容之一，其公式：當q 1時，snai(1或Sn 旦刎1 q1 q當 q=1 時，Sn na1本身不僅蘊涵著分類討論的數學思想，而且用以推導等比數列前n項和公式的方法-錯位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現。本文變換視野、轉換思維，從不同的角度加以推導，以加深對公式的理解與應用，希望能起到拋磚引玉的效果。一般地，設等比數列 ai,a2,氏,-an它的前n項和是Sn a1a2a3an公式的推導方法一:當q 1時，由Snana a 2n 1a3anSn a1 a1q 得qSn2a23

2、a1qa1qn 1ag1nag(1 q)Sn a1 aen當q 1時，Sn 也或Sna1 a*q 1 q當 q=1 時，Sn na1當a1, q,n時常用公式；當 a1, q,a.時，常用公式拓展延伸：假設 an是等差數列,bn是等比數列，對形如a/bn的數列，可以用錯位相減法求和。例題 數列an的前n項和Sn n (n 1) 2 (n 2)222 2n 22n 1，那么Sn的表達式為().A Sn2n 12n n2B.Sn2* 1n2C Sn2n n 2D.Sn2* 1n2解析：由 Sn n (n1) 2(n 2)22L J22n2J 12 ，可得 2Sn 2n(n1)22(n 2) 222

3、n 12n，得 Sn2222n 12n n 21耳n 2n 1n 2 ,應選(D) 1 2點評：這個脫胎于課本中等比數列前 n項公式推導方法的求和法，是高考中命題率很高的地 方，應予以高度的重視。公式的推導方法二：當q 1時，由等比數列的定義得,a2a3ana1a2an根據等比的性質，有a?aanSna11 qa：an 1Snan即 Sn a1 q(1 q)Sna1anqSnan當q 1時,Sna1(1 qn)或s，na1 anq1 q1 q當q=1時，Snna1該推導方法圍繞根本概念，從等比數列的定義出發，運用等比的性質，導出了公式, 給我們以耳目一新的另類感覺。導后反思：定義是根底，深刻理

4、解定義，靈活地運用好定義，往往能得到一些很有價值的 結論和規律。例如等比數列的一個常用性質：數列an是等比數列(q1)， Sn是其前n項的和，那么Sq S2k Sk, SkS2k ,，(2)當1 時，氏 31.1 q ,S2k1 q2ka 1 q1 q3k印1 q1 qS2kSk2kC 1 q1 qk , k6q 1 q1 qS3kS2k3k印1 q1 q2ka 1 q1 q2S2kSk2 2kagqk2(1 q)2Sk (S3kS2k)k2kkai 1 qag1 q仍成等比數列。其推導過程可有以下兩種常見的證明過程:證明一：(1)當q=1時，結論顯然成立；2 2kai qqk2(1 q)2(

5、S3kS2k )Sk, S?k Sk, S3k S?k成等比數列這一過程也可如下證明:證明：S2k Sk = (ai a2a3a2k) (aia2a?aQak 1 ak 2ak 3a2k = qk(aia2a3ak)=q"Sk同理，S3k S2k =a2k 1a2k 2 a2k 3a3k = q2kSk- Sk, S2k Sk, S3k S2k 成等比數列。比照以上兩種證明過程， 我們不難看出，利用好定義在解決某些問題的過程中可以收到 很簡捷的效果。公式的推導方法三：Sna1a2a3an = a1q(a1a 2a3an 1)a1 qSn 1 = a1q (Sn an )(1 q)Sna1 a.q當 q 1 時，Sna1(1 qn)1 q或Sn當 q=1 時，Sn na1“方程在代數課程里占有重要的地位，是應用十分廣泛的一種數學思想，在數列一章 的公式考察中常利用方程思想構造方程或方程組，在量和未知量之間搭起橋梁，來求解根本量，使問題得到解決。這種推導方是運用了該思想，使我們的思維不拘泥于書本。.以上三種推導方法，從不同的思維角度切入等比數列前n項和的表達式，著眼點不同，側重點各異，從而在推導方法的運用上也各有千秋，推導方法一注重補因子后錯位相減；推導方法二那么側重于前 n項的和式與定義式的聯系；而推導方法