1、第7章參數估計一、根本要求1理解參數的點估計、估計量與估計值的概念，了解評選估計量的根本標準一一無偏性、有效性最小方差性與相合性一致性的概念，并會證明估計量的無偏性；會比擬兩個無偏估計量的方差；會利用 大數定律證明估計量的相合性.2掌握求估計量的方法一一矩估計法和最大似然估計法；矩估計法一般只涉及一階和二階矩.3掌握建立未知參數的單側或雙側置信區間的一般方法，掌握正態總體的均值、方差、標準差和矩，以及與其相聯系的特征的置信區間的求法.4掌握建立兩個正態總體的均值差和方差比，以及與其相聯系的特征的置信區間的一般求法.二、內容提要統計推斷，就是由樣本推斷總體，是統計學的核心內容，其兩個根本問題是統

2、計估計和統計檢驗統計推斷的眾多分支、應用、方法及原理都是圍繞著估計與檢驗建立和展開的參數估計，就是根據樣本來估計總體的未知參數，分為點估計和區間估計.評選估計量的標準點估計是用統計量的值估計未知參數的值；作估計用的統計量稱為估計量；估計量是隨機變量，它所取的具體值稱為估計值例如，對于任意總體X，可以分別用樣本均值 X和樣本方差S2做總體的數學期望EX和方差DX的估計量.我們用統計量 彳二g XX2,，Xn 有時簡記為 孑做未知參數二的估計量， 其中g Xi,X2/ ,Xn是簡單隨機樣本 Xi,X2,，Xn的函數.同一個未知參數 二一般有多個可供選擇的估計量評選估計量的標準，是對于估計量優良性的

3、要求，考試大綱要求掌握無偏性、有效性最小方差性、相合性.1、 無偏性 稱估計量役為未知參數二的無偏估計量，如果 E彳2、 有效性 假設耳和$都是日的無偏估計量，那么如果D目蘭D區，那么稱估計量色比色更有效在 未知參數 二任何兩個無偏估計量中，顯然應該選更有效者 方差較小者.3、相合性 稱估計量 彳=g Xi,X2,，Xn為未知參數 二的相合估計量，如果金依概率收斂于 二.換 句話說，當 n充分大時，相合估計量 彳以十分接近1的概率近似等于它所估計的未知參數-，即pq, w相合性一般是大數定律的推論.求估計量的方法考試大綱要求掌握最常用的兩種求估計量的方法：矩估計法和最大似然估計法.1、矩估計法

4、矩估計法，是用樣本矩估計相應的總體矩、用樣本矩的函數估計總體矩相應函數的一種估計方法矩估計法無需知道總體的分布總體的k階原點矩和k階中心矩定義分別定義為:-k =EXk 和 人=E X -EX k(k=0,1,2,).考試大綱只涉及一階矩和二階矩矩估計法的步驟為：(1)用k階樣本原點矩？k估計k階總體原點矩-：:k，用k階樣本中心矩 ?k估計總體的k階中心矩% 例如，用一階樣本原點矩一一樣本均值X =?1估計總體的數學期望 EX =宀，用二階樣本中心矩一一未修正樣本方差S： = ?2估計總體的方差DX = "2 (2) 設V - f ： 1 / 2是一階原點矩-1和二階原點矩2的函數

5、，那么= f ?1,：?2就是二-f12的矩估計量(見例7.19) (3) 設= fi(i=1,2)是一階原點矩：'1和二階原點矩 I 2的函數，那么 呀二fi -?1，-?2就是耳二fi m/'2 (i=1,2)的矩估計量(見例7.5、例7.187.20) 2、最大似然估計法最大似然估計法要求事先知道總體分布的數學表達式.我們用概率函數f X門表示總體X的概率分布，其中 二是一維參數或31 -刊門2是二維參數.對于離散型總體X,其概率函數為f(X；日)=*QX =X"，假設x是X的可能值；0,假設x不是X的可能值對于連續型總體X，其概率函數 f x；d就是概率密度.

6、(1)似然函數設總體X的概率函數為fXJ，X1,X2/,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，那么稱函數L J - f Xi f X2P f Xn；d為參數d的似然函數；稱函數In L v -1n f X 時 v In f X2； vIn f X n ； v為對數似然函數，亦簡稱似然函數.2最大似然估計量 對于給定的樣本值 x1,x2 / ,xn，使似然函數Lr或InLr到達最大值的參數值？，稱做未知參數 二的最大似然估計值.對于幾乎一切樣本值 x1,x2- ,xn，使似然函數Lili或InLr 到達最大值的估計量稱做未知參數 二的最大似然估計量， 即最大似然估計量 J 以概率1決定于條件：L?二L

7、Xi,X2, ,Xn； T? =maxL Xi,X2, ,Xn； ： a3似然方程由函數有極值的必要條件，得方程0chdInL r1 df XjR 0dr 一 y f Xi 門 dr 一 '稱做參數的似然方程；假設未知參數二-宀，匕是二維的，那么得似然方程組皿0,_-0；遼;dnL，二亠yfXiC rn 1 汗 XiC _0i f Xi-乜-在相當廣泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估計量一般，要用微積分中判斷最大值的方法來 判斷似然方程的解是否最大似然估計量有時，只能用近似計算的方法求解似然方程在有些情形下，似然函數對二的導數不存在，這時應采用其他方法求最大似然估計量見例7.19，

8、例7.21和例7.27 4最大似然估計量的函數假設參數二的函數.有唯一反函數， 而彳是二的最大似然估計量,那么1? =g 是的最大似然估計量.參數的區間估計未知參數o的區間估計，亦稱“置信區間，是以統計量為端點的隨機區間岡，壓2,它以充分大的概率包含未知參數 日的值，其中區間的端點 &和$是統計量.遼東學院?概率論與數理統計I?教案1、置信區間設二是總體X的未知參數，X1,X2/ ,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本， 鄉,纟是兩個統計量，滿足P fc? £日 £鎧=1 Ct，那么稱隨機區間？，區為參數日的置信度為 心的區間估計或置信區間，簡稱為 日的1 F 置信區間；

9、區間 的端點一一統計量 ?1tff2分別稱做置信下限和置信上限對于具體的樣本值為公2；、，Xn,農，祕是直線上一個普通的區間，稱做置信區間的一個實現.置信度是隨機區間§,£ “包含或“覆蓋未知參數二的值的概率.置信度一般選充分接近1的數,例如1 - :- = 0.95 直觀上，如果屢次使用置信度為95%的實現包含 二的值，不包含 二值的情形大致只有0.95的置信區間呂，傀估計參數日，那么該區間平均有5%左 右.2、 單側置信區間設 & b和a, ff都是參數e的1 -G置信區間，其中 a和b是常數或無窮大， 那么？,b稱做下置信區間，而a,詢一一上置信區間.7.26

10、 和例 7.27 ):3、置信區間的求法 設二是總體X的未知參數，X = Xi,X2，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本.建立未知參數 門的1 -:-置信區間的一般步驟為見例1選擇一個包含參數二的樣本的函數 T = f X;二，但是其分布不依賴于參數二；假設二-g X; T2對于給定的置信度1 -a，根據T的概率分布選兩個常數分位數耐，扎2使之滿足條件P '1 : T 2 =1 -；3利用v - g X; T和T =f X; 之間的反函數關系，由7.11式可得1a =卩打 T C2=日皿其中，假設T=f X;日是日的增函數，那么q=g X;人，馬=g X; ；假設T = f X;日堤日的減

11、函數,那么=gX;人，$ =gX;，2;由此得參數日的1一a置信區間$1尼注 式7.11中I, 的選擇有一定任意性，因此具有相同置信度的置信區間并不惟一.對于對稱分布如正態分布、t分布以及偏度不大的分布如 2分布和F分布，通常按如下原那么選取'1/ 2:p I" P 七. 正態總體參數的區間估計正態總體參數的置信區間，主要是一個正態總體均值和方差的置信區間，以及兩個正態總體均值差和 方差比的置信區間.1、一個正態總體參數的區間估計假設總體XN d；2 , Xi,X2/ ,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本；X是樣本均值，S2是樣本方差.表7-1列岀了二和二2的1 置信區間.表7-

12、1和二2的1 -：置信區間未知參數1 -a置信區間分位 數42 2 =°0區一電/衍,x +電0"0/亦附表22石未知區-tan4 s/石,X +02 S旺附表2CT2：n -1 S2n-1p2、72, y2l / «2, n4I憨2,n丿附表32、兩個正態總體參數的區間估計 假設X Na2，丫NbQ： ； X1,X2/i ,Xm 和Y,Y2,，Yn分別是來自總體 X和Y的簡單隨機樣本，X，S2，丫，Sy是相應的樣本均值和樣本方差；S：是聯合樣本方差見6.16式.ab和 2/坊：的1a置信區間列入表 7-2 .表7-2 均值差ab和方差比牡的1 -a置信區間未知參

13、數1 a置信區間分位數ab2 2或，byX -Y ux + y , x 一丫+u唧 2 + yI m n m nIJ附表22 2 x , y未知er2 “ yxyX 一丫 一匕宀丫丄中丄，X 丫*如s jIVmnHmn,附表2Y = m +n 2a2xyFQm-1, n-1皐，尸心n-1,m-1負<SySy J附表4三、典型例題及其分析例設Xj，Xn是從正態總體 NC,2)中抽岀的樣本，要求估計 和二2.2 2 2【解】 "=E(X), D(X) =E(X ) - E (X).因此可用樣本一階原點矩和二階原點矩去估計 A J、Xin i 二i1 n:?2 二 A2 _A；=八

14、X： 一(丄XJ2n i 二n y1 n21 n2Xi -X(Xi -X)2.n i 呂n i 二【解畢】實際上，不管總體服從什么分布，其總體均值的矩估計量都是樣本均值X二1 J Xj，總體方差的矩n i呂估計量都是二階樣本中心矩，即1 nB2(Xi-X)2.n y例722設Xi,Xn是從區間0,二上均勻分布的總體中抽岀的樣本，求的矩估計.解eE(X),2因此 An1'，Xi =X.2n i m4_所以二_ 2X,就是二的矩估計量.【解畢】例 設總體XN( = ；2)，樣本值x1/ xn，求=；"的極大似然估計值解總體分布密度2)2-e卍2(x J)2樣本的似然函數為Ln(X

15、i,n -=(/2 廣口 e 2cF二;i =1取對數，得對數似然函數In Lnnn-In(2 二) In 匚22對二二求偏導數，并令其為零，得似然方程組In Ln；:C2n 1 、 /、2 c區2* 肓 t/X)2 1 n 2Xi =X,* = 送(x X). n in i丄2這就是與二2的極大似然估計值(數學上可以驗證，Ln確實在，二 處到達極大值)I,匚2的極大似然估計量為【解畢】丄、Xj 二乂,；：?2 二1' (XX)2.n i 二例7.2.4 設總體XU 0門，來自總體X的樣本Xn .求二的極大似然估計.【注】此例說明了求未知參數極大似然估計的方法1【解】X的分布密度f (

16、x; R - J0,其他.樣本為，Xn的似然函數為Ln(XX2人；力二-【0,n, 0 X!,X2Xn 汀其他.由此式可見，要 Ln最大，只要最小，而由Ln的表達式知，當 v -max(x,X2xj時，為最小,此時Lp最大.故二的極大似然估計值為v - max(x-!,x xn)，而似然估計量為【解畢】二-maxgX Xn).1例7.3.1 設X!，Xn是從某總體中抽岀的樣本，那么樣本均值 XXi是總體分布均值 二的無偏估計.n巳【證明】設總體X的分布的期望E(X) 7，每個樣本Xi的分布與總體分布相同，因此其均值E(XJ = v而 E(X)3=n2jn因此，樣本均值 X是總體均值的無偏估計量

17、【證畢】2 1【注】 由此例題可知：在正態總體中，用X估計弋在指數分布總體中，用X估計一指3x 0數分布密度函數為fx=<'；在二項分布總體中用X/N估計p 二項分布概率分布為0,x"px =k =cNpk1pN七k = 0,1,2;_ N，以及在泊松分布總體中用X估計九泊松分布概率分布i ke為 P(X 二k)二一Aj,k = 0,1,2，等，都是無偏估計. k!1 n例 的無偏估計.樣本方差S2Xj _x2是總體分布方差n 1 i -1【思路】2將樣本方差S表達式分解，再求期望【證明】設總體分布期望為，方差為c2，那么n_n_2' (Xj -X)2 二

18、9; (X： -2XjX X )i 4inn2 + Xi2 -2X' Xi nXi 1iXi2 -nX2.E(X：)二 D(XJ E2(XJ 二 D(X) E2(X) = ；222 2E(X ) =D(X) E2(X),其中D(X) =D( XJ 舌 D(Xi)n y nD(X)冷nn所以2 1E(X )22. 于是n2 1 n 2 1n 22肓E(X)E(X )n 2 n 2J E(X-E(X ) n -1 in -1_2n 2|2| 22 = n Tn故S2是匚2的無偏估計.【證畢】【注】二階樣本中心矩 B2二丄 Xi - X 2是正態總體N C，二2方差二2的矩估計和極大似然估計

19、.但n i壬是，它卻不是二2的無偏估計，因為E (B2)二E(n_1(XiE(S2)二例733 設總體X的樣本Xj，Xn，那么當D(X)=O時，Xk比Xk有效.【思路】 首先想到樣本均值是總體均值的無偏估計，那么比擬哪個有效的問題就轉化為方差大小的比擬問題1 k _ 1 k【證明】XkXi,XkdXi.k i_1k 1 i由例7.3.1 知， E(Xk) =E(X),E(X k J )= E(X).1 1 由例 7.3.2 知，D(Xk)D(X), D(Xkj)D(X).kk 1顯然D(Xk) ： D(Xk),所以Xk比XZ有效.例試證：樣本均值Xi是總體均值n i 二J的相合估計【證明】由大

20、數定律知，樣本的算術平均值是依概率收斂于總體均值的，即對于任給；0，有lim P(Xn -衛 g =0. n'【證畢】因此，X n是"的相合估計1 n 一例7.3.5試證明二階樣本中心矩B2( n)(Xj-Xn)2是總體方差C2的相合估計n i#【思路】此題只要能證明limP( B2( n)-坊2王 =0.即可，仍要基于大數定律來證【證明】 設總體X的均值為 巴方差為2.nn_、(Xi)2 八(Xi -Xn)2 (Xn)2i :1inn八(Xi -Xn)2 n(Xn)2 2(Xn)' (XXn),i =1i dn_那么、(Xi -Xn)二nXn -nXn =0,所以i

21、 =1_n_2(Xn(Xi -Xn) =0.il因此 B2( n)二丄V (Xi Xn)2(Xi)2 (Xn)2.nn i 二1 n_依大數定律(Xj - 92依概率收斂于E(X - 92二C-2，而Xn - L依概率收斂于 o,故B2(n)依概率n i 4收斂于匚2，即它是總體方差 c2的相合估計.【證畢】【注】樣本方差S2也是總體方差二2的相合估計.例7.4.1用某儀器間接測量溫度，重復測量5次，得1250 ,1265 ,1245 ,1260 ,1275.試問，溫度的真值在什么范圍內？【思路】先把問題化為數學問題.用表示溫度的真值，X表示測量值.X通常是一個正態隨機變量, 假定儀器無系統偏

22、差.E(X) - '-.現測量5次，得到X的5個樣本值.問題就是在未知方差(儀器的精度) 的情況下，找 的置信區間.設二=0.05.【解】禾U用式(7.2)，的置信區間為X “0.025 (n - 1)-,x+t°.025(n - 1)孚.Jn寸nn =5,而1x (12501275)=1259,5S2L (1250-1259)21275-1259)25-1=92 62 142 12 162二570于是4 4=5.339,n 1=4.查 t分布表得 t0.025(4) = 2.776,故S t:./2(n - 2.776 5.339 =14.8,Sx -t：./2(n -1)

23、一 1259 -14.1244.2,_sx t-./2(n T)= ： 1259 14.8 =1273.8.Vn【解畢】于是溫度真值J的0.95置信度的置信區間為1244.2,1273.8.【注】X-1“( n_1)莘,X+t&2( n- 1)莘.QnQn(7.2)綜例設總體X，其簡單隨機樣本為 X1/ Xn,Xn1,那么分別用Xn,X-x Xi, n i 二Xn1 Jn 1X Xi，估計總體的數學期望時( n 1 y)最有效.【思路】 先看它們是否是總體均值的無偏估計，如果是,那么進一步比擬其方差的大小，方差最小者最有效.【解】設總體期望為為方差為；2.樣本與總體同分布.所以 E(X

24、n)二，E(Xn)二，E(Xn 1)=，三者均是J的無偏估計.D(Xn) =D(X) =：;2. 21 2 ；-D(Xn)2n；二nn1 2DE【解畢】x1,x2/ xn為樣本的觀察值.三者比擬，X n .1的方差最小，故為最有效綜例7.5.2 設總體X的概率密度函數為f(X) = 0,其中0和都是參數.又假設X1/ Xn,Xn 1,為總體的簡單隨機樣本，而(1)設 人，求 卩的極大似然估計卩.(2)設.二，求的矩估計.【思路】此題是考察點估計的兩個根本方法，逐一解之【解】 (1)，寫岀似然函數(nLn(X1,Xn；A 'ne i1 ,當 Xi時(i =1,2/ n),0,其他.nnl

25、n 丸4(遲人一n»),當x 工卩時(i =1,2： n),ln Ln 二二u其他.這說明lnLn是隨的增加而增加的.由于N，x2, 人均大于等于 ，所以要使lnLn最大，只須 最大,而Jax二mi ng,Xn),此值即為的極大似然估計，即二二min(Xpxn).(2)直接求E(X)- _ 1E(X)二 x e-'xdx二(y： ；)eiydy由矩估計法，這里，故的矩估計為亠 41'L其中XZ【解畢】【技巧】 求的矩估計，可利用指數分布的期望公式，做變換:令Y = X -譏于是Y的概率密度為f (y八 0,yy 0.1因此，丫的期望E(Y) ，從而1e(XXE(Y)“

26、 * 利用 X=E(X),故一 一綜例7.5.3 設總體x 4 N(1,b2)®未知,抽取簡單隨機樣本 X1r xn,xn41,，問金=丄元區一1是否為二的無偏估計?【思路】要判斷一個估計量是否無偏估計，就是要求估計量的數學期望，此題估計量個和式，根據數學期望的性質，首先求其中每一項的期望，然后求岀期望的和【解】設隨機變量 丫二X -1,因為XN2),所以丫N(0f2),E X -1y22；'dy-COy2=2 . y 尸dyE(»n131匚送EXi -1=-JmEn=2： T 二；(因為樣本Xi與總體X同分布)，故為二的無偏估計.【解畢】綜例7.5.4 設總體XU

27、0, r( U為均勻分布)，來自該總體 X的樣本X1,X2/ Xn,在例和例7.2.4 中已求岀過0的矩估計量日=2X和極大似然估計量 0? = max(X1Xn),試判斷他們的無偏性和比擬有效性.【思路】對極大似然估計量 住求期望和方差，需要先求岀處的概率密度函數.要用到極值分布，然后利用積分求極值和方差解E(另=E(2X) =2E(X) =2,所以二是二的無偏估計量.2由于 g =max(Xj，Xn),而XX2，Xn,獨立與總體X同分布.由xU0,日，所以1f (x) - V【0,0, x c 0, xF (x), 0 乞 x 乞其他.-61, X X(z)二 Fx,(z)Fx2(z)卩冷

28、(z)二F (z)n,fg (z) = Fa (z) = nF n(z) f (z)=zn' n - n0,其他.日“-E何)=zn|dz=詩百嚴n -1Zn4, 所以不是無偏估計.但是. n 14假設令"山兒那么nE(g)4 - .因此-1是二的無偏估計.n n 1D(的二 D(2X) = 4D(X) = 4 D (X )nn 12.2D(dL)二 E(vl) -E2(vl),日n -1E何2)字n養論2-24D(=l)= 2 _(亠旳2 二n于n 2 n 1 (n 1)2(n 2)D&) =(n 】)2D(和二1nn(n 2)4當n>1時，總有n(n 2)3

29、n,故除非n = 1,小的方差總比4二的方差小，且不管未知參數V取什么值都對，故在“方差小者為優這個準那么下,力優于二，當n =1時，二與r i重合.44對于-L，由于-L不是無偏估計，可計算其均方誤差444E(dL 一專2 二 D(m) El) T2n *(亠 n+12(n 1) (n 2)")2( n 1)( n 2)'所以，從均方誤差小者為優來看，4E(dL 一汀，與E口 -旳2二DG) 比擬，當n 3時3n44E(vl -二)？ ：: E(v - J)?,故當 n 3 時,44n =1,2時，二與二l重合.4綜上分析可知：矩估計v是二的無偏估計，當 n42-3時，均方

30、誤差 E& -門)較大；極大似然估計量4呀二max(X1，Xn),是二的有偏估計，但當 n 一 3時，均方誤差小于前者 .即二l的誤差平均講比前者小【解畢】綜例7.5.5 設總體X U(0, e)，X1,X2,X3是X的一個容量為3的樣本，X的分布函數為1 X,XF(D, X (0門)，I00, x_0.4試證：一 maxXj,4min Xi都是的無偏估計，并比擬它們哪個更有效？3 1唸1« i【思路】要討論無偏性和有效性，就要計算估計量的期望和方差，這就必須知道它們的概率密度函數于此題的兩個估計量，其概率密度是極大值、極小值分布.亠 44 亠【解】設二 1 max Xi m

31、 ,二2 = 4mjn Xi = 4N.由于1, X,xF(xy), x (0J),I90, x 乞 0.故統計量M的分布函數為1,xjFm (x)珂F(x;d)3 = (f)3,x (0J),0,x_0.而統計量N的分布函數為Fn(x) =1(1 F(x;R)3 = 1-(1-為3,X (0,0°，從而m二maxXi,N二mXi的密度函數分別為工3x2fMx=療 X 呻0 其他3( 1-x )2fM(x)二二0x (0,"其他.e故 E(M )二 x0日3 x1E(N x-(-)2d-A4A因此 E(R)=E(M)-> E(T2) = E(4N)3故V 1,2均為無

32、偏估計.22& 2 3x23D(M)=E(ME (心。如滬D(小 E(N2)E2(N)x2» 為気亡)-看2因此由于D(g) =D(4M )二16。 )=址2日2 =丄日2399 80D(纟)二 D(4N) =16D(N) =1628044A AD(x) ： D(h2)，所以 X較二2更有效.155【解畢】綜例設X1,X2/ Xn,是來自總體X的簡單隨機樣本，X的概率密度為-1x：'f(xwx e，當 X 0, 當x豈0.其中0為未知參數，-為常數，求'的極大似然估計.【解】 設一組樣本值為 ,X2,xn，似然函數為n(益押 n n n(-.J)i j.Ln(

33、Xi, X2,Xn； J -X 一 e -,nln Ln 二 n In ； ：； n In 二 n n ( :- -1) In x；=x,7d in | n nn.將樣本值以樣本隨機變量替代,巳1巴=丄_7 xf=O得，=n/v x< ,次即為的極大似然估計值 d 幾'. i 4i A【解畢】那么得的極大似然估計量為綜例7.5.7 箱中有100個球，其中只有紅色和白色兩種球，現從箱中有放回地每次抽岀一球，共取6次.如岀現紅球記為1，岀現白球記為 0,得數據1,1, 0，1，1，1.試用矩估計法估計紅球的個數r.【思路】 為有放回抽球 6次，相當于作n =6的獨立重復試驗，設每次抽

34、岀的紅球個數為X個，其可能取值為0，1,那么X服從參數為p的兩點分布，其中 p為每次抽到紅球的概率，這里 p = r/100，因此 只要估計岀p，即可得r的估計值.【解】 由兩點分布可知，E(X) = p,x =E(X),而X15(110111),所以0®6.由 p"100，于是，10" 10>.6 6故8紅球的矩估計值為r = 83個.【解畢】 綜例7.5.8 設X1,X2/ X2n,為來自總體 N(j二2)的簡單隨機樣本，現有未知參數 的兩個估計量,1£ =Xi,T2' X2i,問T|,T2是否為亠的無偏估計？假設是，哪一個更有效?n

35、7【思路】求兩個估計量的期望和方差，然后比擬2n解T X =2n1 Xi,i -1E(T二E(Xi)2n1 n1E(T2)E(X2i) (E(X2) E(X4) E(X2n)n i 二n1n -n故Ti ,丁2均是I的無偏估計量.D(TJ1 2n二 D(L Xi)2 n i 二1 o 2戸2n二4n2122n D(X) 4n22CT2n，1 ni_ 2二 D(丄' X2i)D(X) =n ynn故D(TJ ： D(T2)，久較丁2更為有效.【解畢】綜例7.5.9 設XX2,Xn,和YU Ym是兩組簡單隨機樣本，分別取自總體XN(巴1)和nmYN(»22),的一個無偏估計有形式

36、TXiYj,那么a,b應滿足條件 ；又當i呂ja =， b =時，T最有效.【思路】因為要討論無偏性，要求E(T)-，從而可求岀 a,b應滿足的條件.要求T最有效，那么應使其方差最小，此時 a,b應取一特定值.nmnm【解】E(T) =E(a、Xi b、Yj)=a、E(XJ b、E(Yj)i =1j =1i =1j =1=an 二訂 bm=(an bm ).當 an bm =1時，E(T)二故a,b間應滿足an bm = 1的條件.nmD(T)二a2' D(XJ B2' D(Yj)二 a2n b24m,=1j =1代入an bm =1關系式，得D(T) =(1-bm)2/n 4

37、mb2.求 dDIKdb一如(1 bm) 8bm =0,得b 1 ,a m 4n=(1 -bm)/ n = 4/m 4n = 4b.因為曽旦伽0,dbn故當b 二 m 4n11一，a=4b時，D仃最小.即此時估計量 T最有效.【解畢】綜例設X1,X2/ Xn,是來自正態總體 XNO,；2的一個簡單隨機樣本，試求二2的極大似然估計量，判斷是否為 c2的無偏估計量，并求估計量的方差【解】樣本聯合密度函數即似然函數為n qx2L為，X2，召；二e 2二i二寸2兀坊兩邊取對數，得n21In LIn(22)222crn 2瓦x ,i生2對二求導，得d I n L ndL) 一 2；2令斜=0,得唯一駐點

38、少1n丄x2.n i a<0,故&為極大值點也為最大值點，所以2 1 n 2 2x為二的極大似然估計值.n i呂1 n匚2的極大似然估計量為：:?2X：.，為判別：？2是否為匚2的無偏估計，對：？2求期望n im1 n1 n1E(；?2)=E(' Xi2)-1' E(x2)=丄門匚2=；2n yn yn1 n故；？2Xi2.是二2的無偏估計量.n i #1 n1D(；?)=D(v Xj2)2nD(X：)(易證 X；, , X；相互獨立)，n巳n而 D(X；) = E(Xi4)-E2(X：),y；x241 時&e dx., 2 二；xLE(X：)= Jx4e

39、2Cfdx=2 Jx q (2g0用分部積分法易算得 E(Xi4 = 4,因此D(X：)-(；2)2 =2，,從而DC'?2 .【解畢】n綜例7.5.11設某種電纜有內外兩個絕緣層記外絕緣層的壽命為 X，內絕緣層的壽命為 Y,(X,Y)有聯合密度.f (x, y) = 2v 2e 4x y)/: x y ；：.設(XjM),(Xn,YJ為(X,Y)的一組簡單樣本， 求二的極大似然估計.此估計是否為無偏估計？說明 理由.【思路】這是二維總體隨機變量(X,Y)，總體分布是聯合密度函數，樣本也是二維獨立隨機變量對，欲求極大似然估計，應取樣本值，即(Xi , yj(Xn, yn),判斷無偏性會

40、涉及到二維隨機變量的數學期望計算【解】二的似然函數為nL(R -ji.Ii =1nf (人$;旳：丨2二o 一；(士 xi 云 )e i 1 n In L(v) = n In 2-2n In ('d In L 2n 1 八n2 (Xi“ iyi).d l n L1 n令0,解得(Xj ' yi),易判斷二為極大值點，也是最大值點，故所求極大似然dr2n id1 n估計量為，一(Xi .丫).2n i m亠 1 n 1Eg禮(Eg) E(Y)匕(E(X) Eg.分別求岀E(X), E(Y).先求X ,Y的邊緣概率密度fX(：f(x,y)dyPeIdy#/x 0,XfY(y)彳e Jx 二(eWe令),y .0,0廿廿'迓 2_3xE(X)二 x0日E(Y)= y2(eMe3dy=2 寸2->1/3 '所以E(r)= ( ) - v,故v是v的無偏估計量.2 2 2【解畢】綜例 7.5.12 設某種清漆的9個樣品，其枯燥時間以小時計分別為6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.設枯燥時間總體服從正態分布N,；2，求的置信度為0.95的置信區間方差；2未知.解由于巴坊2均未知，應選隨機變量 T =Mt n-1s/Jn從而有p(S/2 卜0.025 (8)=0.