1、第第6課時函數與方程課時函數與方程考點探究考點探究挑戰高考挑戰高考考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考雙基研習雙基研習面對高考面對高考第第6課時課時1函數的零點函數的零點(1)函數零點的定義函數零點的定義如果函數如果函數yf(x)在實數在實數a處的值處的值_，即，即_，則，則a叫做這個函數的零點在坐標系中叫做這個函數的零點在坐標系中表示圖象與表示圖象與x軸的公共點是軸的公共點是(a,0)點點(2)幾個等價關系幾個等價關系方程方程f(x)0有實數根有實數根函數函數yf(x)的圖象與的圖象與_有有交點交點函數函數yf(x)有有_.等于零等于零x軸軸零點零點雙基研習雙基研習面對高考面對高考f(a)0思考

2、感悟思考感悟1是否任意函數都有零點？是否任意函數都有零點？提示：提示：并非任意函數都有零點，只有并非任意函數都有零點，只有f(x)0有根的函數有根的函數yf(x)才有零點才有零點(3)函數零點的判定函數零點的判定(零點存在性定理零點存在性定理)如果函數如果函數yf(x)在區間在區間a，b上的圖象是連續上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有不斷的一條曲線，并且有_，那么函，那么函數數yf(x)在區間在區間_內有零點，即存在內有零點，即存在c(a，b)，使得，使得_，這個，這個_也就是也就是f(x)0的根的根f(a)f(b)0(a，b)f(c)0c思考感悟思考感悟2在上面的條件下，在上面的條件下，(

3、a，b)內的零點有幾個？內的零點有幾個？提示：提示：在上面的條件下，在上面的條件下，(a，b)內的零點至少內的零點至少有一個有一個c，還可能有其他零點，個數不確定，還可能有其他零點，個數不確定2二次函數二次函數yax2bxc(a0)的圖象與零點的的圖象與零點的關系關系000二次函數二次函數yax2bxc (a0)的圖的圖象象與與x軸的軸的交點交點_，_(x1,0)或或(x2,0)無交點無交點零點個數零點個數兩個兩個一個一個零個零個(x1,0)(x2,0)3用二分法求函數用二分法求函數yf(x)零點近似值的步驟零點近似值的步驟第一步：確定區間第一步：確定區間a，b，驗證，驗證_；第二步：求區間第

4、二步：求區間a，b的中點的中點x1；第三步：計算第三步：計算f(x1)和和f(a)，并判斷：，并判斷：若若_，則，則x1就是函數的零點；就是函數的零點；若若_，則令，則令bx1(此時零點此時零點x0a，x1)；若若_，則令，則令ax1(此時零點此時零點x0 x1，b)；第四步：判斷是否達到精確度，否則重復第二、第四步：判斷是否達到精確度，否則重復第二、三、四步三、四步f(a)f(b)0f(x1)0f(a)f(x1)01(教材習題改編教材習題改編)如圖所示的函數圖象與如圖所示的函數圖象與x軸軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是標的是()ABC

5、D答案：答案：B2函數函數f(x)x32x2x的零點是的零點是()A0 B1C0和和1 D(0,0)和和(1,0)答案：答案：C3設設f(x)3x3x8，用二分法求方程，用二分法求方程3x3x80在在x(1,2)內近似解的過程中得內近似解的過程中得f(1)0，f(1.25)0且且a1)有兩個零點，則實數有兩個零點，則實數a的取值范圍是的取值范圍是_答案：答案：a1考點探究考點探究挑戰高考挑戰高考函數零點的求解與判斷函數零點的求解與判斷判斷函數判斷函數yf(x)在某個區間上是否存在零點，常在某個區間上是否存在零點，常用以下方法：用以下方法：(1)解方程：當對應方程易解時，解方程：當對應方程易解時

6、，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區間上；可通過解方程，看方程是否有根落在給定區間上；(2)利用函數零點的存在性定理進行判斷；利用函數零點的存在性定理進行判斷；(3)通通過畫函數圖象，觀察圖象與過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是軸在給定區間上是否有交點來判斷否有交點來判斷【規律小結規律小結】方程的根或函數零點的存在性問方程的根或函數零點的存在性問題，可以根據區間端點處的函數值的正負來確定，題，可以根據區間端點處的函數值的正負來確定，但要確定零點的個數還需進一步研究函數在區間但要確定零點的個數還需進一步研究函數在區間上的單調性，在給定的區間上，如果函數是單調上的單調性，在給定的區間上

7、，如果函數是單調的，它至多有一個零點，如果不是單調的，可繼的，它至多有一個零點，如果不是單調的，可繼續細分出小的單調區間，再結合這些小的區間的續細分出小的單調區間，再結合這些小的區間的端點處函數值的正負，作出正確判斷端點處函數值的正負，作出正確判斷互動探究互動探究1若例若例1中中x的范圍改為的范圍改為R，試回答，試回答原來問題原來問題二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解用二分法求函數零點近似值的步驟，可借助于計用二分法求函數零點近似值的步驟，可借助于計算器一步步地求解，也可以借助于表格或數軸逐算器一步步地求解，也可以借助于表格或數軸逐步縮小零點所在的區間，而運算終止的條件是區步縮小零點所在

8、的區間，而運算終止的條件是區間長度小于精確度間長度小于精確度. 用二分法求函數用二分法求函數f(x)x3x1在區間在區間1,1.5內的一個零點內的一個零點(精確度精確度0.1)【思路分析】【思路分析】依據二分法求函數依據二分法求函數f(x)的零點近的零點近似值的步驟似值的步驟【解】由于【解】由于f(1)11110，f(x)在區間在區間1,1.5上上存在零點取區間存在零點取區間(1，1.5)作為計算的初始區間，作為計算的初始區間，用二分法逐次計算列表如下：用二分法逐次計算列表如下：中點的中點的值值中點函數值中點函數值符號符號零點所在區間零點所在區間 區間長度區間長度(1,1.5)0.51.25f

9、(1.25)0(1.25,1.375)0.1251.3125 f(1.3125)0 (1.3125,1.375) 0.0625|1.3751.3125|0.06250.1，函數的零點落在區間長度小于函數的零點落在區間長度小于0.1的區間的區間1.3125，1.375內，故函數零點的近似值為內，故函數零點的近似值為1.3125.【方法指導方法指導】 求函數零點近似值的關鍵是判求函數零點近似值的關鍵是判斷區間長度是否小于精確度斷區間長度是否小于精確度，當區間長度小，當區間長度小于精確度于精確度時，運算即告結束，此時區間內的時，運算即告結束，此時區間內的任何一個值均符合要求，而我們通常取區間的任何一

10、個值均符合要求，而我們通常取區間的一個端點值作為近似解一個端點值作為近似解函數零點的綜合應用函數零點的綜合應用函數零點的應用主要體現了函數與方程的思想，函數零點的應用主要體現了函數與方程的思想，函數與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間函數與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程有著密切的聯系，方程f(x)0的解就是函數的解就是函數yf(x)的圖象與的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數軸的交點的橫坐標，函數yf(x)也也可以看作二元方程可以看作二元方程f(x)y0，然后通過方程進，然后通過方程進行研究許多有關方程的問題可以用函數的方法行研究許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，

11、反之，許多函數問題也可以用方程的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決，函數與方程的思想是中學數學的基本思來解決，函數與方程的思想是中學數學的基本思想想 已知已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零的一個零點比點比1大，一個零點比大，一個零點比1小，求實數小，求實數a的取值范的取值范圍圍【思路分析】【思路分析】可把函數轉化為方程，其方程可把函數轉化為方程，其方程的兩根滿足的兩根滿足x11，利用，利用(x11)(x21)0求求解；也可利用圖象求解解；也可利用圖象求解【解】法一：設方程【解】法一：設方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則，

12、則(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根與系數的關系，由根與系數的關系，得得(a2)(a21)10，即即a2a20，2a1.法二：函數圖象大致如圖，則有法二：函數圖象大致如圖，則有f(1)0，即即1(a21)a20，2a1.【方法指導】【方法指導】此類方程根的分布問題通常此類方程根的分布問題通常有兩種解法：一是方程思想，利用根與系數有兩種解法：一是方程思想，利用根與系數的關系；二是函數思想，構造二次函數利用的關系；二是函數思想，構造二次函數利用其圖象分析，從而求解其圖象分析，從而求解互動探究互動探究2若例若例3中函數不變，后面的內容改中函數不變，后面的內容改為：一個零點在為：一

13、個零點在0與與1之間，另一個零點在之間，另一個零點在1與與2之間，求實數之間，求實數a的范圍，應如何求解？的范圍，應如何求解？解：函數圖象大致如圖：解：函數圖象大致如圖：方法技巧方法技巧1函數零點的判定常用的方法有：函數零點的判定常用的方法有：(1)零點存零點存在性定理；在性定理；(2)數形結合；數形結合；(3)解方程解方程f(x)0.2研究方程研究方程f(x)g(x)的解，實質就是研究的解，實質就是研究G(x)f(x)g(x)的零點的零點3二分法是求方程的根的近似值的一種計算二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法其實質是通過不斷地方法其實質是通過不斷地“取中點取中點”來逐步來逐步縮小零點所

14、在的范圍，當達到一定的精確度要縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區間內的任一點均是這個函數零點求時，所得區間內的任一點均是這個函數零點的近似值的近似值失誤防范失誤防范1把握函數的零點應注意的問題把握函數的零點應注意的問題(1)函數的零點是一個實數，當函數的自變量函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零取這個實數時，其函數值等于零(如課前熱身如課前熱身3題題)(2)函數的零點也就是函數函數的零點也就是函數yf(x)的圖象與的圖象與x軸軸的交點的橫坐標的交點的橫坐標(3)一般我們只討論函數的實數零點一般我們只討論函數的實數零點(4)函數的零點不是點，是方程函

15、數的零點不是點，是方程f(x)0的根的根2對函數零點存在的判斷中，必須強調：對函數零點存在的判斷中，必須強調：(1)f(x)在在a，b上連續；上連續；(2)f(a)f(b)0；(3)在在(a，b)內存在零點內存在零點事實上，這是零點存在的一個充分條件，但不必事實上，這是零點存在的一個充分條件，但不必要要從近幾年的高考試題來看，函數的零點、方程根從近幾年的高考試題來看，函數的零點、方程根的問題是高考的熱點，特別新課改的省份更是新的問題是高考的熱點，特別新課改的省份更是新點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題客點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題客觀題主要考查相應函數的圖象與性質；主觀題考觀題主

16、要考查相應函數的圖象與性質；主觀題考查較為綜合，在考查函數的零點、方程根的基礎查較為綜合，在考查函數的零點、方程根的基礎上，又注重考查函數方程、轉化與化歸、分類討上，又注重考查函數方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合的思想方法如論、數形結合的思想方法如2010年高考天津、年高考天津、福建卷都進行了考查福建卷都進行了考查考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考預測預測2012年高考仍將以函數的零點、方程年高考仍將以函數的零點、方程根的存在問題為主要考點，重點考查相應根的存在問題為主要考點，重點考查相應函數的圖象與性質函數的圖象與性質(2010年高考天津卷年高考天津卷)函數函數f(x)2x3x的零點所在的

17、一個區間是的零點所在的一個區間是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【答案答案】B【名師點評名師點評】本題考查零點所在區間的判斷，本題考查零點所在區間的判斷，其方法是利用零點存在性定理，試題難度不大，其方法是利用零點存在性定理，試題難度不大，本題本題f(x)變為變為exx2時，零點所在區間是哪個？時，零點所在區間是哪個？2函數函數yf(x)在區間在區間2,2上的圖象是連續的，上的圖象是連續的，且方程且方程f(x)0在在(2,2)上僅有一個實根上僅有一個實根0，則，則f(1)f(1)的值的值()A大于大于0 B小于小于0 C等于等于0 D無法確定無法確定解析：解析：選選D.由題意，知由題意，知f(x)在在(1,1)上有零點上有零點0，該零點可能是變號零點，也可能是不變號零點，該零點可能是變號零點，也可能是不變號零點，f(1)f(1)符號不定，如符號不定，如f(x)x2，f(x)x.3用二分法研究函數用二分法研究函數f(x)x33x1的零點的零點時，第一次經計算，時，第一次經計算，f(0)0，可得其，可得其中一個零點中一個